泊松白噪声激励多自由度碰撞振动系统的平稳响应

3. 泊松白噪声
泊松白噪声是有效应用于工程中的随机脉冲列模型
ξ ( t ) = ∑ Yk δ ( t − tk )
k =1
N (t )
(6)
式中 N (t ) 是泊松计数过程，表示在时间区间 [0, t ] 内到达的脉冲数； {Yk , k ≥ 1} 是相互独立 且同一分布的实值随机变量； Yk 是脉冲的随机分布幅值，独立于脉冲到达时间 tk 。
−
⎛ ∂H ⎞ ∂ ⎡⎛ ∂H ∂H ⎞ ⎤ p c − − − ⎢ ⎜ ⎟ p⎥ ⎜ ⎟ ij ∂p j ⎟ ⎢⎜ ⎥ ⎝ ∂pi ⎠ ∂pi ⎣ ⎝ ∂qi ⎠ ⎦ 1 1 ∂2 p ∂3 p + δ mn λ E[YmYn ] f im f jn − δ mnδ mp λ E[YmYnYp ] fim f jn f kp 2 ∂pi ∂p j 3! ∂pi ∂p j ∂pk ∂ ∂qi =0
Q1 =
∂H , ∂P 1
P 1 = −
∂H ∂H − c1 + ξ1 (t ) ∂Q1 ∂P 1
∂H Q2 = , ∂P2
式中
∂H ∂H − c2 + ξ 2 (t ) P2 = − ∂Q2 ∂P2
(16)
2 p12 p2 1 1 H (q1 , q2 , p1 , p2 ) = + + k1q12 + k2 (q2 − q1 ) 2 + U 2 (q2 ) 2 2 2 2
⎧− Bl (− X 2 − δ l )3/ 2 , ⎪ g 2 ( X 2 ) = ⎨0, ⎪ 3/ 2 ⎩ Br ( X 2 − δ r ) ,
顿系统
(15)
X 2 < −δ l − δl ≤ X 2 ≤ δr X 2 > δr
式中 ξ1 (t ) ，ξ 2 (t ) 是相互独立的泊松白噪声。将系统（15）写成如下随机激励的耗散的哈密
泊松白噪声 ξ ( t ) 的相关函数
R( ) ⎡ ⎣ξ ( t1 ) , ξ ( t2 ) ,
4. 摄动法
考虑一个如（4）式所示的多自由度碰撞振动系统，如果函数 fik 仅是广义位移 Q 的函 数，则 Wong-Zakai 修正项为 0，转移概率密度 p(q, p q0 , p0 ) 由如下齐次广义 FPK 方程决 定

泊松白噪声激励多自由度碰撞振动系统的平稳响应1
吴禹，朱位秋
浙江大学航空航天学院应用力学研究所,浙江 杭州 310027 E-mail: wqzhu@ 摘 要： 本文研究了随机脉冲激励下的多自由度碰撞振动系统的平稳响应。系统表示为随
机激励的耗散的哈密顿系统， 约束采用满足赫兹接触定律的非线性弹簧模型， 随机脉冲采用 泊松白噪声模型。通过用摄动法求解四阶广义福克－普朗克（FPK）方程，得到泊松白噪声 激励的多自由度耗散的哈密顿系统的近似平稳响应概率密度函数。 作为例子， 分别考察了泊 松白噪声外激和参激的两自由度碰撞振动系统， 证明了其响应的非高斯特性依赖于脉冲平均 到达率和系统弛豫时间的乘积，并用蒙特卡罗模拟验证了本方法的可行性。 关键词：碰撞振动系统；泊松白噪声；摄动法；概率密度函数；广义 FPK 方程 中图分类号：O324
1
感谢国家自然科学基金重点项目 10332030 和高等学校博士学科点专项科研基金 20060335125 的资助。 -1-

2. 多自由度碰撞振动系统
图 1 多自由度碰撞振动系统
考虑一个泊松白噪声激励的多自由度碰撞振动系统，如图一。系统运动方程为
mi X i + cij ( X , X ) X j + ki ( X i − X i −1 ) + ki +1 ( X i − X i +1 ) + gi ( X i ) = fil ( X , X )ξl (t )
Pi = mi X i
(3)
Qi =
∂H , ∂Pi
∂H ∂H Pi = − − cij (Q, P) + f ik (Q, P )ξ k (t ) ∂Qi ∂Pj
i, j = 1, 2,
式中相应的哈密顿量是系统总能量：
(4)
, n;
k = 1, 2,
α
(5)
H=
n 1 n Pi 2 1 n 2 ( ) + − + k Q Q U i (Qi ) ∑ ∑ i i i−1 ∑ 2 i =1 mi 2 i =1 i =1
X 0 = X n +1 = 0 , kn +1 = 0 ,
i, j = 1, 2, ,n , l = 1, 2, ,α
(1)
式中 ξl (t ) 是泊松白噪声。每个质量单元及其约束都视为弹性体，接触力与位移满足如下赫 兹接触定律
⎧− Bil (− X i − δ il )3/ 2 , ⎪ gi ( X i ) = ⎨0, ⎪ 3/ 2 ⎩ Bir ( X i − δ ir ) ,
1. 引 言
碰撞振动系统是一大类振动系统的有效模型。 这类碰撞发生在系统的各组成单元之间或 单元与壁面之间。这样的系统在具有间隙、固定壁的机械结构中十分常见。 研究和揭示碰撞振动系统的动力学特性，对于优化设计、降抑噪声、可靠性分析等都有 十分显著的意义。近年来，许多重要的现象激发了广泛的兴趣和大量的研究，包括分岔【1 －9】，周期解【10】，混沌【11】，奇异性【12－14】，以及拟周期冲击【15，16】等。 过去二十年，在碰撞振动系统的响应预测方面取得了若干成果【17－22】。黄志龙、刘 中华和朱位秋得到了高斯白噪声激励的多自由度碰撞振动系统的精确和近似平稳解【22】， 其模型采用赫兹接触定律【23－25】，即假设两个弹性体之间的接触力正比于其间距的 3/2 次方。尽管该领域的研究已经取得较显著的进展，但就作者所知，迄今所有方法都局限于高 斯白噪声激励的情形，这仅是随机脉冲列的一种特殊近似。实验表明，高斯假设并不符合一 大类实际工程应用中的激励特性， 因而需要对碰撞振动系统在随机脉冲列作用下的响应进行 深入研究。 本文着力研究随机脉冲列激励的多自由度碰撞振动系统的近似平稳响应。 脉冲列采用泊 松白噪声模型。通过摄动法求解广义 FPK 方程，以高斯白噪声激励下系统响应的精确平稳 解作为零阶摄动解， 通过对无量纲小量的参数摄动得到非高斯激励情形的近似平稳概率密度 函数的高阶修正项。 为了克服接触力的分段特性所导致的概率密度函数摄动解的不协调， 我 们引入了一个协调系数。 通过理论结果与数字模拟结果的比较证实了本方法的正确性。 此外， 还得到了一些有意义的结论。
i, j , k = 1, 2, , n; m, n, p, q = 1, 2, ,α
(14)
5. 算例
5.1 算例 1
图 2 两自由度碰撞振动系统
考虑一个泊松白噪声外激的两自由度碰撞振动系统， 如图二所示。 系统的无量纲运动方 程为
-4-

X 1 + c1 X 1 + k1 X 1 + k2 ( X 1 − X 2 ) = ξ1 (t ) X 2 + c2 X 2 + k2 ( X 2 − X 1 ) + g 2 ( X 2 ) = ξ 2 (t )
-3-
λi = λ ,
λi E[Yi 2 ] = λ E[Y 2 ],

−
⎛ ∂H ⎞ ∂ ⎡⎛ ∂H ∂H ⎞ ⎤ p⎟− p⎥ − − cij ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ p p q p ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢⎝ ⎥ i ⎣ i j ⎠ ⎦ ⎝ i ⎠ 2 I0 ε I1 ∂ p ∂3 p δ mnδ mp fim f jn f kp + δ mn fim f jn − 2 ∂pi ∂p j 3!ζ 1/ 2 ∂pi ∂p j ∂pk ∂ ∂qi +
(11)
ε 2 I2 ∂4 p δ mnδ mpδ mq f im f jn f kp flq − 4!ζ ∂pi ∂p j ∂pk ∂pl
i, j , k , l = 1, 2, , n; m, n, p, q = 1, 2,
=0
,α
(12)
（11）式有如下形式的摄动解
p (q, p) = p0 (q, p)[1 + ε Q1 (q, p) + ε 2Q2 (q, p)] 通过摄动步骤，可以导出 Q1 和 Q2 满足的方程 ∂f ∂p ⎞ ∂Q I ∂H ∂Q1 ⎛ ∂H ∂H − +⎜ + cij + 2 I 0δ mn f jn im + 0 δ mn fim f jn 0 ⎟ 1 ∂pi ∂qi ⎜ ∂p j ∂p j p0 ∂p j ⎟ ⎝ ∂qi ⎠ ∂pi I0 I1 ∂ 2Q1 ∂3 + δ mn fim f jn = (δ mnδ mp fim f jn f kp p0 ) ∂pi ∂p j 3!ζ 1 2 p0 ∂pi ∂p j ∂pk 2
(13)
∂f ∂p ⎞ ∂Q I ∂H ∂Q2 ⎛ ∂H ∂H +⎜ + cij + 2 I 0δ mn f jn im + 0 δ mn f im f jn 0 ⎟ 2 ∂pi ∂qi ⎜ ∂p j ∂p j p0 ∂p j ⎟ ⎝ ∂qi ⎠ ∂pi I I1 ∂ 2Q2 ∂3 + 0 δ mn fim f jn = (δ mnδ mp fim f jn f kpQ1 p0 ) 2 ∂pi ∂p j 3!ζ 1 2 p0 ∂pi ∂p j ∂pk − − ∂4 (δ mnδ mpδ mq fim f jn f kp flq p0 ) 4!ζ p0 ∂pi ∂p j ∂pk ∂pl I2
独立分量的平均到达率和强度相等，即 (9) i = 1, 2, , α 1/ 2 由于当 λ → ∞ 时，泊松白噪声趋于高斯过程，故选择 ε = (ζ λ ) 为无量纲摄动参数。 2 2 2 3/ 2 3 3 由 于 噪 声 强 度 λ E[Y ] 须 为 有 限 值 ， 故 有 ζ E[Y ] ∼ O (ε ) ， ζ E[Y ] ∼ O(ε ) ， ζ 2 E[Y 4 ] ∼ O(ε 4 ) 。令 (10) ε n I n = ζ n / 2 λ E[Y n + 2 ] 将（10）带入（8），得到齐次广义 FPK 方程
r (7) , ξ ( tr ) ⎤ ⎦ = λE ⎡ ⎣Y ⎤ ⎦ δ ( t2 − t1 ) δ ( tr − t1 ) ; r = 1, 2, , ∞ 式中 E[i] 表示数学期望， λ > 0 代表泊松计数过程 N (t ) 的平均到达率。考虑 λ 趋于无穷的 r 极限情形，与此同时，泊松白噪声的强度 λ E[Y ] 保持不变，则二阶以上的累计量趋于零， 2 泊松白噪声 ξ (t ) 趋于高斯白噪声【28】。为方便研究，本文约定 λ 和 λ E[Y ] 均为常数。 r
,α
(8)
1 ∂4 p + δ mnδ mpδ mq λ E[YmYnYpYq ] fim f jn f kp flq − 4! ∂pi ∂p j ∂pk ∂pl
i, j , k , l = 1, 2,
式中 δ ij 是 Kronecker 符号。
, n;
m, n, p, q = 1, 2,
应用摄动法可以从 （8） 式导出一组关于 p (q , p ) 的偏微分方程。 假定泊松白噪声的 α 个
(17)
U 2 (q2 ) = ∫ g 2 ( X 2 )dX 2
0
q2
⎧2 5 Bl (− q2 − δ l )5/ 2 , ⎪ = ⎨0, ⎪ 5/ 2 ⎩2 5 Br (q2 − δ r ) ,
q2 < −δ l − δ l ≤ q2 ≤ δ r q2 > δ rFra bibliotek-2-

U i (Qi ) = ∫ gi ( X i )dX i
0
Qi
⎧2 5 Bil (−Qi − δ il )5/ 2 , ⎪ = ⎨0, ⎪ 5/ 2 ⎩2 5 Bir (Qi − δ ir ) ,
Qi < −δ il , − δ il ≤ Qi ≤ δ ir , Qi > δ ir .
【24】。
X i < −δ il , − δ il ≤ X i ≤ δ ir , X i > δ ir ,
(2)
式中 Bil 和 Bir 为质量 mi 的接触刚度，由 mi 及其两侧约束壁面的几何特征和材料特性决定 系统（1）可以写成随机激励的耗散的哈密顿系统。令
Qi = X i ,
方程（1）表示为