【高考数学经典习题】圆锥曲线压轴题(含答案)3

【高考数学经典习题】圆锥曲线压轴题（含答案)3

未命名

一、解答题

1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2，过椭圆上一点P 分别作斜率为

,b b a a

-的两条直线，这两条直线与x 轴分别交于,M N 两点，且22

8OM ON +=. （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线,PM PN 与椭圆C 的另一个交点分别为,Q R ,当点P 的横坐标为1时，求

PQR ∆的面积.

2．已知椭圆

的左、右两焦点分别为 ,椭

圆上有一点 与两焦点的连线构成的 中，满足

（1）求椭圆 的方程；

（2）设点 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点 与点 关于原点 对称，设直线 的斜率分别为 ，且 ，求 的值.

3．已知椭圆22

122:1(0)x y C a b a b

+=>> （）的焦距为4，左、右焦点分别为12,F F ，

且1C 与抛物线

：2

2:C y x

=的交点所在的直线经过2F .

（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；

（Ⅱ）过1F 1F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与抛物线2C 无公共点，求2ABF ∆的面积的取值范围.

4．已知椭圆2

214

x y +=，过点(1,0)M -作直线l 交椭圆于,A B 两点，O 是坐标原点．

（Ⅰ）求AB 中点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）求OAB ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．

5．经过原点的直线与椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>交于A B 、两点，点P 为椭圆上不

同于A B 、的一点，直线PA PB 、的斜率均存在，且直线PA PB 、的斜率之积为1

4

-

.

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）设12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于M N 、两点.若点1F 在以MN 为直径的圆内部，求k 的取值范围.

6．已知椭圆()222210x y C a b a b ：+=>>，且椭圆C 上的点到椭圆右焦

点F 1. 求椭圆C 的方程；

过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O

为坐标原点，直线,,OA OM OB 的斜率分别为OA OM OB k k k -，

，若成等差数列，求直线l 的方程.

7．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别

为1F ，2F ，离心率为

1

2

，点(4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点．

（1）求椭圆C 的方程．

（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知直线1A M 与

2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，

请说明理由．

8．已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，且函数26516y x =-的图象与椭

圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求PMN ∆面积的最小值，并求此时直线l 的方程.

9．已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>

的离心率为2，椭圆上任意一点到右焦点F 的距

1. （1）求椭圆的方程；

（2）已知点(),0C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是不存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于,A B 两点，使得AC BC =，并说明理由 10．已知F 为抛物线E ： 2

2x py =（0p >）的焦点，直线l ： 2

p

y kx =+交抛物线E 于A ， B 两点．

（Ⅰ）当1k =， 8AB =时，求抛物线E 的方程；

（Ⅱ）过点A ， B 作抛物线E 的切线， 1l ， 2l 交点为P ，若直线PF 与直线l 斜率之和为3

2

-

，求直线l 的斜率． 11．已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶

点分别为2B 、1B ， O 为坐标原点，四边形1122A B A B 的面积为4，且该四边形内切圆的方程为224

5

x y +=

． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;

（Ⅱ）若M 、N 是椭圆C 上的两个不同的动点，直线OM 、ON 的斜率之积等于1

4

-

，试探求OMN ∆的面积是否为定值，并说明理由. 12．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1C

的参数方程为2

{

(32cos x cos y cos αααααα

=-=--为

参数）. 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐

标方程为sin 42m πρθ⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭.

（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若曲线1C 与曲线2C 有公共点，求实数m 的取值范围.

13．已知

中，角

，，所对的边分别是，，，且点

，

，