高等数学-格林公式
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【例8-12】求微分方程 ( x2 y)dx ( x 2 y)dy=0 的通解．
习题 8-2:10 题
设 f (x) 有连续的二阶偏导数且 f (1) f '(1) 1
Ñ [
L
y2 x
xf
(
y )]dx x
[y
xf
'(
y )]dy x
0
其中 L 是任一条不与 y 轴相交的光滑闭曲线,
取逆时针方向.
Ñ 5.计算曲线积分 I
L
xdy ydx x2 4y2
,
其中
L
是由
x
y k,
x y k 1(k 0, k 1), y x 1与 y x 1所围成
的四边形正向.
四个等价命题 : (1) 对于 D内任意分段光滑的闭曲线 L,有
Ñ Pdx Qdy 0
L
(2) 在 D内曲线积分 Ñ Pdx Qdy 的值与积分路径无关, L
即 蜒 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
(3) 在 D内表达式 Pdx Qdy 是某二元函数 u(x, y) 的全微分,
Ñ 光滑简单闭曲线 L
上,曲线积分
L
( y)dx 2xydy
2x2 y4
的值恒为同一常数. (1) 证明:对右半平面 x 0 的任意
Ñ 分段光滑简单闭曲线 C,有 ( y)dx 2xydy 0; C 2x2 y4
Ñ (2) 求 ( y) 的表达式;
(3) 计算
( y)dx 2xydy
即 du Pdx Qdy
(4) 在 D内有: Q P . x y
【例8-9】计算曲线积分
I L[e x sin y b( x y)]dx [e x cos y ax]dy(a 0,b 0),
L为从点A(2a,0)沿曲线 y 2ax x2 到点(0,0)的弧
到点B(2,3)的一段弧．
y
B(2,3)
A
C
O 12 x
（图8-14）
8.2.3 原函数,全微分方程
由定理 8 2知: 若函数 P,Q 在单连通区域内有连续偏导数
且 Q P ,则曲线积分 u(x, y) (x,y) Pdx Qdy 满足 :
x y
( x0 , y0 )
du Pdx Qdy. 由于此时曲线积分与路径无关,所以
（图8-13）．
y
A
O
a
2a x
（图8-13）
【例8-10】设当x>0时，y=f (x)可导，且f (1)=2，对x>0
内任何光滑闭曲线C有：
C 4x3 ydx xf ( x)dy 0.
（1）求函数f (x)的表达式；
（2）计算 I L 4x3 ydx xf ( x)dy, 其中L是从点A(1,0)
试求 f (x).
1(1) 2(2) 3,4 5(2)(4) 6 8(2)(3) 9
作业:习题 8-2
补充题
Ñ 1.
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,
其中
L
是以点
(1,
0)
为中心, R 为半径的圆周 (R 1), 取逆时针方向.
2. 设函数 (x) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段
（图8-8），取正向．
y
1 L
D
-1 O
1x
-1
（图8-8）
【例8-6】计算
I ( x2 2 y)dx (3 x ye y )dy, L
其中
L是由直线 x+y=1位于第一象限的线段及圆弧 x2+y2=1
位于第二象限的部分组成，方向如图8-9所示．
y B1 L
C
D
-1 O
A 1x
格林公式
定理 8 1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成, 函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上有一阶连续偏导数, 则有
Ñ Pdx
L
Qdy
Q
D
(
x
P )dxdy y
@
D
x P
其中 L 为 D 的取正向的边界曲线.
y dxdy Q
【例8-5】计算 I Ñ L ydx 2 xdy, 其中L是 x y 1
（图8-9）
*【例8-7】计算I
Ñ L
ydx xdy x2 y2
.
（1）L为x2+y2=a2（a >0），其方向取为逆时针方向；
（2）L为一条不过原点的光滑闭曲线，其逆时针方向．
y
L
l
D1
O
x
（图8-10）
曲线所围平面区域的面积计算公式
设曲线 L 围成的区域为 D,则 D 的面积 S :
(1) 当沿 M0 AM 路径积分时,有 :
y
x
y
u(x, y)
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
yB
M
(2) 当沿 M0BM 路径积分时,有 :
x
y
u(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
y0 M0
o x0Байду номын сангаас
A
xx
【例8-11】验证 ( x2 2xy y2 )dx ( x2 2xy y2 )dy 是 某一函数 u(x,y) 的全微分，并求出它的一个原函数．
L 2x2 y4
的值.
Ñ 3. 计算曲线积分
I
L
xdy x2
ydx y2
,
其中
L
是
(x a)2 ( y b)2 1的正向.
Ñ 4.计算曲线积分
I
L
xdy ydx b2 x2 a2 y2 (ab
0, a
b), 其中
L 是以点 (1,1) 为圆心,以 R(R 2) 为半径的圆周,
8.2 格林公式,平面曲线积分与路 径无关的条件
1. 单连通区域 : D 内任一条闭曲线所含的区域
L
D
属于D(没"洞")
单连通区域
2. 复连通区域 3. 单连通区域边界曲线L的正向:
(逆时针方向)(D 位于L 的左侧)
L lD
4. 复连通区域边界曲线的正向:
复连通区域
当沿 L 方向行走时, D 位于 L 的左侧
S
1 2
Ñ xdy
L
ydx
例 8 8 求椭圆 x a cost, y bsin t 所围图形的面积.
8.8.2 平面曲线积分与 路径无关的条件
定理 8 2 设 D 为平面上的单连通区域, 函数P(x, y),Q(x, y)在 D 上具有一阶连续 偏导数,则下列四个命题等价 :
习题 8-2:10 题
设 f (x) 有连续的二阶偏导数且 f (1) f '(1) 1
Ñ [
L
y2 x
xf
(
y )]dx x
[y
xf
'(
y )]dy x
0
其中 L 是任一条不与 y 轴相交的光滑闭曲线,
取逆时针方向.
Ñ 5.计算曲线积分 I
L
xdy ydx x2 4y2
,
其中
L
是由
x
y k,
x y k 1(k 0, k 1), y x 1与 y x 1所围成
的四边形正向.
四个等价命题 : (1) 对于 D内任意分段光滑的闭曲线 L,有
Ñ Pdx Qdy 0
L
(2) 在 D内曲线积分 Ñ Pdx Qdy 的值与积分路径无关, L
即 蜒 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
(3) 在 D内表达式 Pdx Qdy 是某二元函数 u(x, y) 的全微分,
Ñ 光滑简单闭曲线 L
上,曲线积分
L
( y)dx 2xydy
2x2 y4
的值恒为同一常数. (1) 证明:对右半平面 x 0 的任意
Ñ 分段光滑简单闭曲线 C,有 ( y)dx 2xydy 0; C 2x2 y4
Ñ (2) 求 ( y) 的表达式;
(3) 计算
( y)dx 2xydy
即 du Pdx Qdy
(4) 在 D内有: Q P . x y
【例8-9】计算曲线积分
I L[e x sin y b( x y)]dx [e x cos y ax]dy(a 0,b 0),
L为从点A(2a,0)沿曲线 y 2ax x2 到点(0,0)的弧
到点B(2,3)的一段弧．
y
B(2,3)
A
C
O 12 x
（图8-14）
8.2.3 原函数,全微分方程
由定理 8 2知: 若函数 P,Q 在单连通区域内有连续偏导数
且 Q P ,则曲线积分 u(x, y) (x,y) Pdx Qdy 满足 :
x y
( x0 , y0 )
du Pdx Qdy. 由于此时曲线积分与路径无关,所以
（图8-13）．
y
A
O
a
2a x
（图8-13）
【例8-10】设当x>0时，y=f (x)可导，且f (1)=2，对x>0
内任何光滑闭曲线C有：
C 4x3 ydx xf ( x)dy 0.
（1）求函数f (x)的表达式；
（2）计算 I L 4x3 ydx xf ( x)dy, 其中L是从点A(1,0)
试求 f (x).
1(1) 2(2) 3,4 5(2)(4) 6 8(2)(3) 9
作业:习题 8-2
补充题
Ñ 1.
计算曲线积分 I
L
xdy ydx 4x2 y2
,
其中
L
是以点
(1,
0)
为中心, R 为半径的圆周 (R 1), 取逆时针方向.
2. 设函数 (x) 具有连续导数,在围绕原点的任意分段
（图8-8），取正向．
y
1 L
D
-1 O
1x
-1
（图8-8）
【例8-6】计算
I ( x2 2 y)dx (3 x ye y )dy, L
其中
L是由直线 x+y=1位于第一象限的线段及圆弧 x2+y2=1
位于第二象限的部分组成，方向如图8-9所示．
y B1 L
C
D
-1 O
A 1x
格林公式
定理 8 1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围成, 函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上有一阶连续偏导数, 则有
Ñ Pdx
L
Qdy
Q
D
(
x
P )dxdy y
@
D
x P
其中 L 为 D 的取正向的边界曲线.
y dxdy Q
【例8-5】计算 I Ñ L ydx 2 xdy, 其中L是 x y 1
（图8-9）
*【例8-7】计算I
Ñ L
ydx xdy x2 y2
.
（1）L为x2+y2=a2（a >0），其方向取为逆时针方向；
（2）L为一条不过原点的光滑闭曲线，其逆时针方向．
y
L
l
D1
O
x
（图8-10）
曲线所围平面区域的面积计算公式
设曲线 L 围成的区域为 D,则 D 的面积 S :
(1) 当沿 M0 AM 路径积分时,有 :
y
x
y
u(x, y)
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
yB
M
(2) 当沿 M0BM 路径积分时,有 :
x
y
u(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
y0 M0
o x0Байду номын сангаас
A
xx
【例8-11】验证 ( x2 2xy y2 )dx ( x2 2xy y2 )dy 是 某一函数 u(x,y) 的全微分，并求出它的一个原函数．
L 2x2 y4
的值.
Ñ 3. 计算曲线积分
I
L
xdy x2
ydx y2
,
其中
L
是
(x a)2 ( y b)2 1的正向.
Ñ 4.计算曲线积分
I
L
xdy ydx b2 x2 a2 y2 (ab
0, a
b), 其中
L 是以点 (1,1) 为圆心,以 R(R 2) 为半径的圆周,
8.2 格林公式,平面曲线积分与路 径无关的条件
1. 单连通区域 : D 内任一条闭曲线所含的区域
L
D
属于D(没"洞")
单连通区域
2. 复连通区域 3. 单连通区域边界曲线L的正向:
(逆时针方向)(D 位于L 的左侧)
L lD
4. 复连通区域边界曲线的正向:
复连通区域
当沿 L 方向行走时, D 位于 L 的左侧
S
1 2
Ñ xdy
L
ydx
例 8 8 求椭圆 x a cost, y bsin t 所围图形的面积.
8.8.2 平面曲线积分与 路径无关的条件
定理 8 2 设 D 为平面上的单连通区域, 函数P(x, y),Q(x, y)在 D 上具有一阶连续 偏导数,则下列四个命题等价 :