空间图形的公理

提示：实际生活中，我们有这样的经验：把一把直尺边 缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上．
在平面α内
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那
么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在
平面内）． Al
B
公理是进一步推理的 基础．
Al,Bl,A,B l
作用： 判定直线是否在平面内．
A
c ①
a A
b B
a bห้องสมุดไป่ตู้
②
③
（1）空间点与直线的位置关系有两种. 点在直线上和点在直线外.
如图①，B∈b,BÏ a
（2）空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面内和点在平面外. 如图①，B 蝍 ,A 蟖
（3）空间两条直线的位置关系有三种: I 如图①中直线a和b在同一个平面内，但没有公共 点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：a∥b；
II 如图①中直线b和c只有一个公共点B，这样的 两条直线叫作相交直线，记作：b∩c=B；
III 如图①中直线a和c不同在任何一个平面内，这
样的两条直线叫作异面直线.为了表示异面直线不共
面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如
图:
b a
b a
（4）空间直线与平面的位置关系有三种：
I 如图①中，直线b和平面α有无数个公共点，我 们称这条直线在这个平面内，记作：b α；
II 如图②中，直线b和平面α只有一个公共点A， 我们称这条直线与这个平面相交，记作：b∩α=A;
III 如图②中，直线a和平面α没有公共点，我们称 这条直线和这个平面平行，记作：a∥α.
（5）空间平面与平面的位置关系有两种：
I 如图②中，平面α和平面β没有
a
A
b
公共点，这样的两个平面叫作
平行平面，记作:α∥β；
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（公理1,2,3）
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形：点、线、 面组成,认识清楚它们的位置关系，对于我们认识空间 图形是很重要的，今天我们就来学习这些关系！
探究点1 空间图形基本关系的认识 思考：观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在 的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？
P l,且P l
Pl
作用： ①判断两个平面相交的依据．
②判断点在直线上．
1．下列说法中正确的是( D ) A．经过三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．不共面的四点可以确定4个平面
2.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB，BC的中
点，下列说法正确的是( B )
思考交流 1. 观察图①②③所示的长方体，再举出一些点、 线、面的位置关系的例子.
2. 观察你周围的一些实物，指出一些点、线、面 的位置关系.
探究点2：空间图形的公理 思考1：如果直线 l 与平面α有一个公共点P，直线 l 是否在平面α内？ 提示：不一定
思考2:如果直线l与平面α有两个公共点，直线l是否 在平面α内？
D
C 提示：有些面是平行的，有些面是
A
B
相交的；有些棱所在直线与面平行，
有些棱所在直线与面相交，等等．
D C
A
B
D C
A
B
D C
问题1：观察上述长方体，并填空 . A
B
①长方体共有 8 个顶点,有 12 条棱，有 6 个面；
②归纳一下，空间图形通常由 点 、 线 、 面 组成.
问题2：观察并归纳点、线、面之间的位置关系有哪些.
A,B,C不共线⇒ A,B,C确定一个平面
思考4：（1）经过一条直线和这条直线外一点,可以确 定一个平面吗? 提示：可以 （2）经过两条相交直线,可以确定一个平面吗？ 提示：可以 （3）经过两条平行直线,可以确定一个平面吗？ 提示：可以
提升总结：三条结论 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.
思考3：我们知道，两点确定一条直线.那么怎样 确定一个平面呢？
用三角架支撑照相机．
测量员用三角架支撑测量仪器平板仪．
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只 有一个平面（即可以确定一个平面）．
B
A C
确定平面的主要 依据．
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C 的平面α，又可记作“平面ABC”．
直线 A 1C 异面的有__6_条.
C D
B A
C1 D1
B1 A1
5.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面
之间的位置关系．
a
B A
l
al
P
b
（1）
（2）
解：在（1）中，a I b = l,a I a = A,a I b = B.
在（2）中，a I b = l,a a ,b b,a I l = P,b I l = P.
思考5：观察长方体，你发现长方体的两个平面有 什么位置关系？
提示：两个平面平行或者相交．
D C
A
B
平面与平面的公共直线叫作交线.
D C
A
B
思考6:把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所
在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
提示：不只相交于一点B，如下图所示： B
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
A
A.直线EF与直线AD相交
E
B.直线EF与直线AD异面
D
C.直线EF与直线AD垂直 D.直线EF与直线AD平行
B F C
3.下列说法中，正确的是_②__
①有三个公共点的两个平面重合 ②梯形的四个顶点在同一个平面内 ③三条互相平行的直线必共面 ④ 四条线段顺次首尾连接，构成平面图形
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线中，与
②
II 如图③中，平面α和平面β不重
合，但有公共点，这样的两个平面
叫作相交平面.
③
【提升总结】
对于异面直线的几点认识 (1)若直线a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平 面,使其同时经过a,b 两条直线. (2)不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面 直线. (3)画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不 相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直 观性.
实例引入空间图 形的基本关系
点、直线、平 面的位置关系
空间图形
平面三 个公理
文字叙述
符号表示