弹性力学习题集

弹性力学基础习题答案

1图2.4习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。

弹性力学简明教学方案教育教程(第四版)课后习题集解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

《弹性力学》习题第一章：绪论第二章：平面问题的基本理论一、试导出求解平面应力问题的用应力分量表示的相容方程。

二、试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出这两类平面问题中弹性常数间的转换关系。

三、弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？四、写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？五、求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？六、试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程） εx =C (x 2+y 2), εy =Cy 2, γxy =2Cxy 。

七、试写出应力边界条件：（a ）图用极坐标形式写出；（b ）图用直角坐标形式写出。

八、已知受力物体中某点的应力分量为：0,2,,,0,2x y z xy yz zx a a a a σσστττ======。

试求作用在过此点的平面31x y z ++=上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面的正应力和切应力。

九、图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为h ，在左端面受力P 作用。

不计体力，试求梁的应力分量。

（应力函数取为3Axy Bxy ϕ=+）十、试用下面的应力函数求解如图所示挡水墙的应力分量。

已知挡水墙的密度为ρ，厚度为h ，水的密度为γ。

五、2、（10分）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受P 力的作用，其余边界上均无面力作用。

试证明A 点处为零应力状态。

γgρgxyO2h2h 223333161066x y x Axy Bxy C x y D Exyϕ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭A第三章：平面问题的直角坐标解答三、写出下列平面问题的定解条件1、（10分）楔型体双边受对称均布剪力q 。

2、（10分）楔形体在一面受有均布压力q 和楔顶受有一集中载荷P 的作用。

第四章：平面问题的极坐标解答yPq第五章：差分法及能量原理一、试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出它们与弹性力学基本方程的等价性？1、（10分）设有宽度为2a ,高度为b 的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==221,0a x v u η试设定出其用变分法求解时的位移分量的函数形式。

弹性力学习题

弹性力学习题填空题1。

弹性力学是建立在连续性、完全弹性、均匀性、各项同性及小变形假定(假定形变和唯一是微小的)假定基础。

2。

在平面应力问题中，其中应力分量不恒为零的有σx，σy，τxy=τyx。

而在平面应变问题中，应变分量横为零的有?z，txz=tzx，tzy=tyz。

两类问题的应力和应变位移都只是坐标x，y的函数，与z无关。

3。

体力不计，两端受转向相反力偶作用的等截面质感扭转问题中，存在的应力有横截面上的切应力t，其余应力为0，其任一横截面在xy轴上的投影的形状相同，而只是转动一个角度a=kz。

4。

相容方程是形变分量之间的变形协调方程，只有满足相容方程，才能保证位移分量的存在，实际位移值应包括u，v，w。

5。

平面问题中，(a)已知一点的应力为61=62=6，那么任一方向的正应力6n为6。

tn为0。

6。

空间问题一点的应力状态是由6个独立的应力分量决定的，分别是沿直角坐标系的正应力6x，6y，6z和切应力txy，txz，tyz。

任一方向的正应力和切应力实际上是这些应力分量在该方向上的合成。

1。

弹性力学是固体力学的一个分支，其基本任务是研究由于受外力作用或边界约束，温度改变等原因为发生的。

2。

在平面应力问题中，应力分量为0的是6x，tzx，tzy，而在平面应变中，应力分量一般不为0的有6x，6y，6z，txy。

计算两种状态的基本方程中，平衡威风方程和几何方程是一样的。

3。

对轴对称问题，得出的位移公式却是非轴对称的，因为位移包含刚体位移分量，只有位移边界条件也是轴对称的，则位移才是轴对称的。

4。

一点的应力状态由6个独立的应力分量决定的，分别是沿坐标面的正应力6x，6y，6z和切应力tzy，tyz，tzx。

一点应变状态有6的独立的独立的应变分量决定的，分别沿坐标面的线应变?x，?y，?z，和切应变rxy，ryz，rzx。

5。

弹性力学的基本做题方法有应力法，位移法。

6。

平面问题中，艾里应力函数是在条件常体力下得到的，应满足区域内的相容方程。

弹性力学习题集

a. 下列材料中，属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

a. 所谓“应力状态”是指。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明。

弹塑性力学习题集_很全有答案_

题 2 —4 图
2—5* 如题 2—5 图，刚架 ABC 在拐角 B 点处受 P 力，已知刚架的 EJ，求 B、C 点的转角和位移。（E 为弹性模量、J 为惯性矩） 2—6 悬挂的等直杆在自重 W 的作用下如题 2—6 图所示。材料比重为 γ ，弹性模量为 E，横截面积为 A。试求离固定端 z 处一点 c 的应变 ε z 与杆的总伸长 ∆l 。 2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模量 G、泊松比 v 之间的关系：
1 1 1 ， n y = ， nz = 的微斜面上的全应力 Pα ，正 2 2 2
试求外法线 n 的方向余弦为： n x = 应力 σ α 和剪应力 τ α 。
2—10 已知物体的应力张量为： 30 − 80 50 σ ij = 0 − 30 MPa 110 (对称)
2—39* 若位移分量 u i 和 u i′ 所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别？ 2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（ ε x = γ zx = γ zy = 0 ）的应变分量的不变量及
主应变的表达式。 2—41* 已知如题 2—41 图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为： γz νγz εz = , εx =εy = − ; γ xy = γ yz = γ zx = 0; E E 试求位移分量，式中 γ 为杆件单位体积重量，E、ν 为材料的弹性常数。
试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力 Pα ，正应力 σ α 和剪应力 τ α 。 2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。 2—12 试写出下列情况的应力边界条件。
题 2—12 图

弹性力学计算题汇总

三．试确定以下两组应变状态能否存在(B A K ,,为常数), 并说明为什么？(1) Kxy Ky y x K xy y x 2,),(222==+=γεε (存在) (2)0,,22===xy y x y Bx Axy γεε (不存在)四．计算题1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。

解：主要边界条件，b x =，p xy x ==τσ;0b x -=，0;==xy x q τσ次要边界条件，在0=y 上，0)(0==y xy τ，满足；F dx bby y -=⎰-=0)(σ2)(0Fbxdx bby y -=⎰-=σ 2.图中所示的矩形截面体，在o 处受有集中力F 和力矩2/Fb M =作用，试用应力函数23Bx Ax +=φ求解图示问题的应力分量，设在A 点的位移和转角均为零。

解：应用应力函数求解，（1）校核相容方程04=∇φ，满足（2）求应力分量，在无体力时，得B Ax y 26+=σ，0==xy y τσ 考察主要边界条件，b x ±=，0==xy y τσ，均满足。

考察次要边界条件，在0=y 上，0)(0==y xy τ，满足；F dx bby y -=⎰-=0)(σ，得bFB 2-=； 2)(0Fb xdx b b y y -=⎰-=σ，得28bF A -=。

代入，得应力的解答，)231(2bxb F y +-=σ，0==xy x τσ 上述应力已满足了04=∇φ和全部边界条件，因而是上述问题的解。

3. 图中所示的悬臂梁，长度为l ，高度为h ，l h >>，在边界上受均匀分布荷载q ，试验应力函数523322Ay Bx y Cy Dx Ex y φ=++++能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。

若应力函数23Bx Ax +=ϕ，试求各应力分量。

解：（1）检验相容方程是否满足，由0)(4=∇φ（2）求应力分量：=x σBy 2Ax 6+=σ0=xy τ（3）由边界条件：h y =边，由圣维南原理可得：p dx aah y y -=⎰-=)(σ可得：a p B 4/-=2)(0a p xdx aay y ∙-=⎰-=σ 可得：28apA -= （4）应力分量为：0=x σa px ap y 2432--=σ 0=xy τ5. 试推导平面问题的y 方向的平衡微分方程0=+∂∂+∂∂y xy y f xyτσ解：以y 轴为投影轴，列出投影平衡方程∑=0xF；xσ yτ y xσ xτx ydyyyy∂ +∂ σ σ dxxxy xy ∂ ∂ + τ τ dyyyxyx ∂ ∂ + τ τ dxxx x ∂ ∂ + σ σ yxf yfC0)()(=+-∂∂++-∂∂+dxdy f dy dy dx xdxdx dy yy xy xy xyy yy τττσσσ　约简之后，两边除以dxdy ，得0=+∂∂+∂∂y xy y f xyτσ2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，g f f y x ρ==,0（ρ为杆件密度，g 为重力加速度），并设μ=0。

弹性力学第四章习题

y

0 2
M o 0,

0
将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出
B F 2 。
(a)
第四章
习题课
（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。
df1 ( ) f1 ( ) G, d
df ( ) 2sin [(1 ) B 2 A] f ( )d G。 E d
(b)
(e)(c)
由式（b）解出
f1 ( ρ) HρG。
第四章
习题课
将式（c）对 φ求导一次，再求出
f ( ) 1 [(1 ) B 2 A] sin I cos K sin 。 E
第四章
习题课
例题5
试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。
y
F o

x
第四章
习题课
解：
由书中式（4-21），当

2
时，

2 F sin

, 0。
用直角坐标系的应力分量表示，
F (1 μ) f1 (φ) φcosφ I cosφ K sin φ。 πE
( e)
将 f1 ( )和 f 2 ( ) 代入 u 的表达式；并由式（c）得

2 F (1 μ) d f1 (φ) f1 (φ) d φ cos φ G, πE dφ
第四章
习题课

弹性力学习题(土木)

Px x y I

QS P h 2 xy y Ib 2I 4
2
h3 (I ) 12
h 1
x
P
x
y
P
y 0
(1)
h 2 h 2 h 2 h 2

右侧边界条件：

h 2 h 2 h 2 h 2
x x l dy
习题2-2 矩形截面悬臂梁，受力如图，体力不计。试根据材料力学公式写出弯曲应力 x 和剪应力 xy的表达式，并取挤压应力 y 0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程。这些表达式是否就表示正确的解答？

解：由材料力学理论求出：
l
Px h3 (I ) h x y 12 I QS P h2 2 xy y Ib 2I 4 y 0 (1)
2
1
补充题2-1 图示楔形体，试写出其边界条件。左侧面：
( x y tan ) l cos , m sin x y tan X 0, Y 0 x x y tan cos xy x y tan sin 0

1y
O
任意斜截面上的剪应力：
l cos , m sin
2
1
x
N lm( 2 1 )
1 1 2 2 ( l ) ( 2 1 ) 4 2
y
当
当
N 2 时： max 1 2 l N 2 2 min 2 2 2 2 时，代入： m l m 2 l N 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 N 2 2 2

弹性力学习题

习题2-1 如果某一问题中，0z zx xy σττ===，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？(是)2-2 如果某一问题中，0z zx zy εγγ===，只存在平面应变分量x ε ，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。

(自由表面薄层中：000z yz xzx y xy σττσστ=≠近于平面应力问题)2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。

(000z yz yz xz yz εττγγ===∴==只有0x y xy εεγ≠接近平面应变问题)2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0C M =∑，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xy yx ττ=)3-1 试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。

3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y Φ=，（2）2bxy Φ=，（3）2cxy Φ=，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。

3-3 试考察应力函数223(34)2Fxy h y hΦ=-能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

3-4 试证2323334312410qx y y qy y y h h h h ⎛⎫⎛⎫Φ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。

弹性力学教材习题及解答(供参考)

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

弹性力学教材习题及解答讲解

1－1. 选择题a. 下列材料中，D属于各向同性材料。

A. 竹材；B. 纤维增强复合材料；C. 玻璃钢；D. 沥青。

b. 关于弹性力学的正确认识是A。

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要；B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设；C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象；D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。

A. 任务；B. 研究对象；C. 研究方法；D. 基本假设。

d. 所谓“完全弹性体”是指B。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律；B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关；C. 本构关系为非线性弹性关系；D. 应力应变关系满足线性弹性关系。

2－1. 选择题a. 所谓“应力状态”是指B。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同；B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变；C. 3个主应力作用平面相互垂直；D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。

2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

2－6. 矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力σy的表达式。

3－1. 选择题a. 切应力互等定理根据条件B 成立。

A. 纯剪切；B. 任意应力状态；C. 三向应力状态；D. 平面应力状态；b. 应力不变量说明D.。

弹性力学试卷题库原版

弹性⼒学试卷题库原版弹性⼒学试卷题库⼀、概念、理论公式推导（10分）06秋推导出按应⼒求解平⾯应⼒问题的相容⽅程。

07秋、07春试推导出按位移求解弹性⼒学问题时所⽤的基本微分⽅程。

（Lame⽅程）07秋02、08年考研解释下列术语，并指出他们的特征1.平⾯应⼒问题2、平⾯应变问题08春试导出求解平⾯应⼒问题的⽤应⼒分量表⽰的相容⽅程。

08考研试推导求解弹性⼒学平⾯问题极坐标下的平衡微分⽅程06考研试推导出空间（轴对称）问题的平衡微分⽅程。

推导平⾯问题的相容⽅程列出平⾯问题中的常⽤⽅程理论：圣维南定理07考研（20分）如图所⽰为平⾯应⼒状态下的细长薄板条，上下边接受均布⼒q的作⽤，其余边界上均⽆⾯⼒作⽤，试说明A，B，C点处的应⼒状态⼆、定界条件（10分*2）06秋、07秋、07秋02、07春、08春1、（10分）楔型体双边受对称均布剪⼒q 。

Oy xq qα/2α/2xy o C Bqq06秋、 2、（10分）矩形截⾯挡⽔墙的密度为ρ，厚度为h ，⽔的密度为γ。

07秋、08考研3、（10分）下图所⽰楔形体，试分别写出极坐标和直⾓坐标下的定解条件。

07秋02、07春4、设有矩形截⾯的长竖柱，密度为ρ，在⼀边侧⾯上受均布剪⼒q 。

γgρgxy O2h 2h08春、07考研5、（10分）楔形体在⼀⾯受有均布压⼒q 和楔顶受有⼀集中载荷P 的作⽤。

08考研简⽀梁受均布荷载q 作⽤，ρgyxObqP xy r θαβ q o xqLqLLLy07考研悬臂梁在端部受集中⼒M 、F ，上⾯受有分布载荷xlq 0，下⾯受有均布剪⼒006考研矩形薄板，三边固定，⼀边受有均布压⼒qhlMxl q 0Oxyxboa baq如图所⽰为⼀矩形截⾯⽔坝，其左侧⾯受静⽔压⼒，顶部受集中⼒P 作⽤。

试写出定界条件，固定边不考虑。

图⽰⽔坝，顶⾯受有均布压⼒q ，斜⾯受静⽔压⼒作⽤，底部固定，写出定解条件。

（下载的图⼀中）三、平⾯（直⾓或极坐标）（20分） 06秋、08考研等厚度薄板沿周边承受均匀压⼒q 的作⽤，若O 点不能移动和转动，试求板内任意⼀点A(x,y)处的位移。

弹性力学习题(新)

1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。

因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。

4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。

进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。

5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。

同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。

在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。

2-1 已知薄板有下列形变关系：式中A,B,C,D皆为常数，试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。

解：1、相容条件：将形变分量带入形变协调方程（相容方程）其中所以满足相容方程，符合连续性条件。

2、在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为3、平衡微分方程其中若满足平衡微分方程，必须有分析：用形变分量表示的应力分量，满足了相容方程和平衡微分方程条件，若要求出常数A,B,C,D还需应力边界条件。

例2-2 如图所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力（水的密度为ρ），顶部受集中力P作用。

试写出水坝的应力边界条件。

解：根据在边界上应力与面力的关系左侧面：右侧面：上下端面为小边界面，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件。

上端面额面力向截面形心O简化，得到面力的主矢量和主矩分别为y=0坐标面，应力主矢量符号与面力主矢量符号相反；应力主矩与面力主矩的转向相反。

弹性力学第三章习题

X(2)1 •设有矩形截面的竖柱，其密度为P ，在一边侧面上受均布剪力0],如图b 试求应力分量。

解：采用半逆解法，设导出0使其满足双调和方程: 6仝-心"込心）v dy 2dyV 7恥_〉，m 心O ） dx4 Ox 4 dx 4勢0,爭—0dy dx~dy~▽g/*)+心(") dxA 取任意值时，上式都应成立，因而有: 心 y )= o,心 y )= o dx 4 dx 4/(x) = Ax 3 + Bx 2 + Cx, j\ (x) = Ex 3 + Fx 2 cp = y(Ax 3 + Bx 2 + Cx) ++ Fx 2式中，/⑴中略去了常数项，丄⑴中略去了X 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。

含待定常数的应力分量为: ✓ T xyd 2(p a = —^-Xx=O二- Yy-),(6Ax+ 2B) + 6Ex+ 2F - Py二-厘二-(3A" + 2B X +C) 力利用边界条件确定常数，并求出应力解答：（bx ）x=0 = 0，（qU 二°，c=o 能自然满足：（6）7二°，能自然满足：（3）（r yx ）x=h =q -3Ah 2-2Bh=q(r VA.)v=0 = 0,不能精确满足，只能近似满足:f （f 0心=O,£-（3A Y2+2Bx—dx = O—AZ?' —Bh~ = O （4）由6（3）、（4）解出常数Si ,进而可求得应力分量：6 = 0。

・=竽（1-苧）卑＞6 —罟（2-苧）h h h hcp — Ar3 + Bx2y + Cxy2 + Dy5上边界：0v)y=O - %J.v=O - °d2（pbr二；Xx=2Cx + 6Dy二？Yy= 6Ax+ 2By pgyOXr-v.y ==% = 2Bx 2Cy dxdy不难验证其满姥© = 02•用边界条件确定常数，进而求出应力解答:o所以应力分量为:2.如图2 (a),三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。

弹性力学(徐芝纶)习题答案

第一章第二章习题答案2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y x f f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y xy y x yxx f x yf yx τστσ23()()⎩⎨⎧=+=+s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：t lq t x -=;代入（*4理、几何方程得：(E x u x ==∂∂ε1(1E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。

综合1）～4），。

q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。

2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。

3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=hy yxy τσ 满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。

2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*）类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2）对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y x υσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l应力主向成∴l()2121σσσ+=n 得证。

弹性力学习题2

c1 z c2 y c3 x
习题1 试求物体的刚体位移，即应变为零时的位移分量。位移解： u
u0 c1 y c2 z
c1 z c2 y c3 x
v v0 c1 x c3 z w w0 c2 x c3 y
其中为材料弹性常数，试检验上述应变分量是否满足变形协调条件和边界条件。
解
习题5 等截面柱体，材料比重为g，在自重作用下的应变分量为
其中为材料弹性常数，试检验上述应变分量是否满足变形协调条件和边界条件。
解
u z zx u dx x dx dx f1 ( y, z ) v x E E w z z2 w dz z dz dx f 3 ( x, y ) z E 2E
习题1 试求物体的刚体位移，即应变为零时的位移分量。解：
u v u x 0 xy 0 x x y v w v y 0 yz 0 y y z w w u z 0 xz 0 z x z
习题1 试求物体的刚体位移，即应变为零时的位移分量。解：
解（b）
u v u v 0 0 0 0 y z z x
dy
习题4 圆截面杆件两端作用扭矩，如图所示，其位移分量为
u=-Φ zy+ay+bz+c v= Φ zx+ez-dx+f w=-bx-ey+k 解（b）微分线段dz在xOz和yOz平面内不能转动
微分线段dx和dy在xOy平面内不能转动。
v x e 0 z u y b 0 z v z d 0 x u z a 0 y
dy
a=b=d=e=0

弹性力学作业习题

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1. DATE: 2001-9-201. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l ，地层的弹性常数ν,E 和密度ρ均为已知。

假设你在纵波到达0t 秒后惊醒。

问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据Km 200=l ，GPa 20=E ，3.0=ν，36g/m 100.2⨯=ρ，s 30=t 来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移112(，)u x x 与212(，)u x x 很小，30u ≡。

在一定区域内已知221211(1) ()u x a bx cx =-++，其中a ，b ，c 为常数，且120ε=，求212(，)u x x 。

3. 给定位移分量21123()u cx x x =+，22213()u cx x x =+，23312()u cx x x =+，此处c 为一个很小的常数。

求应变分量ij ε及旋转分量ij Q 。

4. 证明,1122i ijk jk ijk k j e Q e u ω==其中i ω为转动矢量。

5. 设位移场为22131232123()()u a x x e a x x e ax x e =-++-，其中a 为远小于1的常数。

确定在 (0，2，1)P -点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

（1）2211122()k x x x ε=+，22223kx x ε=，330ε=，121232kx x x γ=，23310γγ== （2）221112()k x x ε=+，2222kx x ε=，330ε=，12122kx x γ=，23310γγ== （3）21112ax a ε=，22212ax x ε=，3312ax x ε=，120γ=，22332ax bx γ=+，223112ax bx γ=+其中，，k a b 为远小于1的常数。

2. DATE: 2001-9-171. 证明对坐标变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121cos sin sin cos x x x x αααα，33x x =，无论α为何值均有 22112211εεεε+=+，21222112122211εεεεεε-=- 223213223213εεεε+=+，ij ij εε=2. 利用课堂上给出的各向同性张量表达式，推导各向同性材料的广义虎克定律。