高考物理力学求极值地常用方法

中学物理力学求极值的常用方法

一、知识要点

1．极值问题：指极小值和极大值。

注：极值不一定是最值。 2．求极值问题的两个途径：

物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。

（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。

（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。

二、应试策略

1．用二次函数求极值的方法求极值

一元二次函数y=ax 2

＋bx ＋c （a ≠0），当x=-a

b

2时，y 有极小值y 极=a b ac 442-，用a>0时y 有极小值，

a<0时y 有极大值。

例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s 2

的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车旁边匀建驶过

(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？

解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V 0t ，212

1at s = 得22

36t t s -

=∆ (1)当s s a b t 2362==-=时，△S 极=m

a b ac 6460442

32

2=⨯--=-或m t t s 62362=-=∆ (2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t ’=4s 。v t =at ’=12m/s

答案：(1)2S ，6m ；(2)12m/s 。---可以利用配方法求解

点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。 2．利用一元二次方程根的判别式求极值

将二次函数y=ax 2

＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2

＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2

－4aC ≥0，x 有实数解，若y ≥A ，则y min ＝A ；若y ≤A ，则y max ＝A 。Δ≤0，方程无实数解。

例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m 的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m >

3

2

M 时，圆环能升起。 证明：取小球为研究对象，受力如图（a ），由牛顿第二定律，得mg cos θ＋N =R

v m 2

由动能定理得 mgR （1－cos θ）＝2

1mv 2

由此二式得 N =2mg －3mg cos θ 上式中，N >0，即 cos θ<

3

2 以环为研究对象，受力图如（b ），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2N ’cos θ—Mg=Ma

当环恰好能上升时，a=0，可得 2N ’cos θ=Mg

N ’与N 为作用力与反作用力，则2（2mg －3mgcos θ）cos θ=Mg

即6mcos 2

θ－4mcos θ+M=0

上式是关于cos θ的一元二次方程，cos θ为实数，则△≥0，即（4m ）2

－4（6m ）M ≥0，可得m ≥3

2

M 当m =

32M 时，T 恰好为零，但不升起，所以取m >3

2

M 为升起条件。 3．利用三角函数求极值

用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。 ①利用倍角公式将y ＝Asin ααcos 转化为y ＝21Asin2α的形式，当α＝45º时，y 有极大值2

A

。 ②将三角函数y ＝asin θ+bcos θ，转化成)sin(22ϕθ++=

b a y 的形式，再利用其有界性求解。

例3．质量为m 的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F 牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F 的最小值及角θ。

解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得 Fcos θ－f ＝0 F N ＋Fsin θ－mg=0 f ＝μN

解得：F ＝

θ

μθμsin cos +mg

可写成)

sin(12

ϕθμμ++=

mg

F ，其中2

2

1cos ,11sin μ

μ

ϕμ

ϕ+=

+=

则1)sin(=+ϕθ时，F 有最小值2

min 1μ

μ+=

mg

F ，此时2

π

ϕθ=

+，μ

π

θ1

tan 2

1

--=

答案：

2

1μ

μ+mg

；

μ

π

1

tan 2

1

--

点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。 4．利用图象法求极值

通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。

例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？

解析：小球沿甲斜面OB 做匀加速运动，设其加速度大小为a 1，小球

沿乙斜面OD 段、DE 段分别做匀加速运

动，设其加速度大小分别为a 2和a 3,由图象和a=gsin θ可知a 3

G

f

F

θ V

V

B E