2019年上海市春季高考数学试卷及答案

2019年上海市普通高校春季招生统一文化考试
数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.已知集合{}{}1,2,3,4,5,3,5,6A B ==，则A B ⋂=________.
2.计算：22231lim 41
n n n n -+=-+_________. 3.不等式15x +<的解集为________.
4.函数()()20f x x x =>的反函数为__________.
5.设i 为虚数单位，365z i i -
-=+，则z 的值为______.
6.已知二元线性方程组22214x y x a y a +=-⎧⎨
+=⎩有无穷多解，则实数a =_________. 7.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的二项展开式中，常数项的值为________. 8.在ABC ∆中，3,3sin 2sin AC A B ==，且1cos 4
C =，则AB =______. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中
甲连续参加2天，其余每人各参加1天，则所有不同的安排种数为__________.（结果用数
值表示）
10.如图，正方形OABC 的边长为()1a a >，函数23y x =的图像交AB 于点Q ，函数1
2
y x -=的图像交BC 交于点P ，当AQ CP +最小时，a 的值为_______.
11.已知P 为椭圆22
142
x y +=上任意一点，Q 与P 与关于x 轴对称，12F F 、为椭圆的左右焦点，若有121F P F P ⋅≤，则1F P
与2F Q 的夹角范围为________.
12.已知t R ∈，集合[][],14,9,0A t t t t A =+⋃++∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ
∈，则t 的值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13.下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ）
【A 】2x
y =
【B 】12y x =
【C 】tan y x =
【D 】cos y x =
14.已知,a b R ∈，则“22a b >”是“a b >”的（ ）
【A 】充分非必要条件
【B 】必要非充分条件
【C 】充要条件
【D 】既非充分又非必要条件
15.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a 、b 、c 满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a 、b 、c 不可能是（ ）
【A 】两两垂直
【B 】两两平行
【C 】两两相交
【D 】两两异面
16.平面直角坐标系中，两动圆12O O 、的圆心分别为()()12,0,0a a 、，
且两圆均过定点()1,0，两圆与y 轴正半轴分别交于点()()120,0,y y 、，若12ln ln 0y y +=，点1211,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的轨迹为Γ，则Γ所在的曲线可能是（ ）
【A 】直线
【B 】圆
【C 】椭圆
【D 】双曲线
三、解答题（本大题满分76分）
17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，正三棱锥P ABC -中，侧棱长为2，底面边长为3，M N 、分别是PB 和BC 的
中点.
（1）求异面直线MN 和AC 所成角的大小；
（2）求三棱锥P ABC -的体积.
18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S .
（1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；
（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞
<，求公比q 的取值范围.
19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用
包括个人现金支出、社会支出、政府支出，下表为2012年~2015年我国卫生费用中个人现
金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比.
（1）计算A B 、的数据，并指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占
比和社会支出占比的变化趋势；
（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数() 6.44200.1136357876.60531t
f t e -=+，研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.
已知抛物线24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与抛物线交于
点Q ，定义()PF
d P FQ
=. （1）若点P 的坐标为81,3⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，求()d P ；
（2）求证：存在常数a ，使得()2d P PF a =+成立；
（3）设123,,P P P 为抛物线准线l 上三点，且1223PP P P =，试比较()()13d P d P +与()
22d P 的大小.
若{}n a 是等差数列，公差(]0,d π∈，数列{}n b 满足：()*
sin ,n n b a n N =∈，记{}*|,n S x x b n N ==∈.
（1）设120,3a d π==
，求集合S ； （2）设12a π
=，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；
（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b +=，其中T 为不超过7的正整数，求T 的所有
可能值.。