泊松方程和拉普拉斯方程备课讲稿
2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
lecture8 拉普拉斯方程
0
2
z
b.对称性问题 轴对称性，选z轴如图
c. 1 和 2 的通解
bn n 1 (r , ) an r n 1 Pn (cos ) r n
1
2 const
E0
z
2 const
d. 边界条件 d1.无穷远处 E E0 为均匀电场
比较两式中其他 Pn (cos ) 的系数 bn cn 0 , n 1
？
g. 所有常数已得到，所以解为
3 0 E0 R0 cos 1 (r , ) E0 r cos 2 0 r2
3 0 2 (r , ) E0 r cos 2 0
?
Q 1 dS 2 dS 0 r R3 R1 r R2 1 2 Q dS dS n n 0 r R3 R1 r R2
Q 1 ndS 2 ndS 0 r R3 R1 r R2
例题 1.内外径分别为 R2 , R3 的导体球壳，带电量为 Q, 同心地包围着一个半径为 R1 的接地导 R1 R2 体球， Q 求：空间各点电势和导 体球上的感应电荷 解： a.选导体部分之外的介质(真空)部分为研究 体系，得电势的通解为
bnm m n (r , , ) anm r n 1 Pn (cos ) cos m r n,m d nm m n cnm r n 1 Pn (cos ) sin m r n,m
介质球的总电偶极矩： 0 4 3 3 p R0 P 4 ε0 R0 E0 3 2 0 该总电偶极矩的电势：
3 0 E0 R0 p R cos 3 2 40 R 2 0 R
利用拉普拉斯算子的离散形式求解泊松方程 ax = b
在离散化的情况下，我们可以使用拉普拉斯算子（也称为Laplacian算子）来求解泊松方程。
以下是一种使用一维离散拉普拉斯算子求解泊松方程的方法。
假设我们有如下泊松方程：ρ(x) = ρ(x-a) + ρ(x+a) - 2b其中，ρ(x) 是我们想要求解的密度函数，a 是我们选择的间隔，b 是已知的边界条件。
在离散化的情况下，我们可以将这个问题转化为一个线性方程组的问题。
假设我们有一个有限数量的点，并用 nx 来表示这些点之间的间隔，我们可以将这些点视为一系列连续的单元体，如下图所示：（注意：图中的图例未完全标注，仅作为理解离散点的示例。
）我们将使用以下的假设来创建方程组：* 在每一个单元体上，我们有两条线段和它们之间的一种交叉形式（可以理解为我们是在网格中的线性系统）。
* 对于每个单元体，我们假设其两侧的密度是已知的（即边界条件）。
* 对于每个单元体，我们使用拉普拉斯算子来求解泊松方程。
根据这些假设，我们可以得到以下方程组：ρ(i) = ρ(i-a) + ρ(i+a) - 2b, 其中 i 是从 x-a 到 x+a 的整数。
由于这是在网格上的离散化形式，所以这个问题可以转换为求解线性方程组的问题。
这可以使用任何适合解决这种问题的数值方法来完成，例如梯度下降法或迭代法。
在处理三维或更高维度的泊松方程时，可能会遇到一些复杂性。
但基本的原理仍然是相同的：使用拉普拉斯算子来求解泊松方程，并使用适当的数值方法来解决线性方程组。
请注意，这只是一种可能的解决方案，并且可能需要根据具体的问题和数据来调整。
此外，对于某些问题，可能需要考虑其他的方法或技巧来求解泊松方程。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
EM第12讲泊松拉普方程
显然，由于两极板面无限大，故某x面上场在
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12.3 一维泊松方程的解
方向分布均匀，板面上的电荷密度
均为
常数。作一柱形闭合面，其上、下底面积为
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代入上式得:
应用高斯通量定理的解法物理概念清晰，而一维泊松
方程的求解法则更简单。
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小结
静电场的基本方程
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泊松方程与拉普拉斯方程 一维泊松方程的解
2
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12.3 一维泊松方程的解
例12-1 已知导体球的电位为U(设无穷远处的电位为
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0)，球的半径为a，求球外的电位函数。
静电场的基本方程
积分形式：
微分形式： E 0
D
或E
在线性、各向同性媒质中，本构关系为：
静电场是无旋有散场。
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12.2 泊松方程与拉普拉斯方程
解:
令球心为球坐标系原点，在
电位 因此电场具
函数满足拉普拉斯方程，且 有球对称性，电位
电磁场10_静电学2_泊松方程和边界条件
ˆ s
1 2
E2
ˆ n
1
2
E1
S 0
tˆ
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10.5 介质分界面上电位边界条件
利用电位与电场的关系 E ，可得
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ˆ S ( D1 D2 ) n
h 0
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同时
Q
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V
dv hS s S
h 0
ˆ 是由介质2指向介质1。 注意: n
0 x 2 U 0 0 d ˆx E a 2 0 d d 6 0
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10.2 静电场的边界条件
已经得到静电场和电位满足的方程
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解：根据题意，有泊松方程 0 x 2 0 xd 0d 且满足
0, x 0 U 0 , x d
因为 分布仅为x的函数，故 ( x)
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故
1
2
介质交界面 金属边界
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1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学内容
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
拉普拉斯方程与泊松方程
ck=(-1)^k*prod(1:2*k)/2^(2*k)/(prod(1:k))^2;
ukin=ck*rin.^(2*k);
Uin=Uin+ukin.*rfun;
ukout=ck*rout.^(2*k+1); Uout=Uout+ukout.*rfun;
end;
figure(1);contour(X,Y,Uout,20,'r');hold on;
Cr=ri.^(k-1)/a^k; Bri=Bri-1/2*P0*Cr.*P;
Dr=(a./ro).^(k+1)./ro; Bro=Bro-1/2*P0*Dr.*P;
Cq=1/k*Cr;
Bqi=Bqi-1/2*P0*Cq.*P1
Dq=1/(k+1)*Dr;
Bqo=Bqo+1/2*P0*Dq.*P1
end;
2. 解析解的可视化 该定解问题的解析解----电势分布为：
由于对称性， 解与角φ无关，该解析解可以分为圆 内、圆外两部分，两部分分别计算，再将两部分相 加。程序如下页；相应的等位线在后页。
%ex402(p94)
clear; a=0.5; q=1; x=[-3*a:0.02:3*a];
[X,Y]=meshgrid(x); [theta,r]=cart2pol(Y,X);
2. 利用椭圆函数表示的直接积分 根据比奥-萨伐尔定律：
可积分得：
其中E,K为椭圆函数：
%ex407; (p107) % 环形电流的磁感应强度(椭圆函数法)；
clear; a=0.35; R=1; [X,Y]=meshgrid(0:0.1:R);r
r2=X.^2+Y.^2;
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
电动力学-第二章-2-3拉普拉斯方程
r→0, φ有限
B B0 0
θ=2π-α,φ=V,任何r成立 D0 0, sin 2 0
n
n
2
n 1,2,
V Anrn sin n n1
条件不全,无 法确定An
尖劈附近,r→0
V A1r1 sin1
Er
r
1A1r11 sin1
E
1 r
1A1r11 cos1
0En
0E 0 E
0
2
01 A1r11
α很小,ν1≈1/2,E和σ∝1/r1/2
n
n
2
n 1,2,
r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
0
其通解为 (r, ,) R(r)Y ( ,)
Bn(1)
a
n
cos n
E0a cos
Dn(2) a n
n1
cos n
n1 nBn(1) a n1 cos n
0 E0 cos
0
(n)Dn(2) a (n1)
n 1
cos n
两边 为任意值， cos 前系数应相等（ n 1,2, ）
n 1
BB1(11)(1a)
E0
a
D(2) 1
a
1
0 E0 0 D1(2)a2
k2Z
0
Rr An Jn kr An Nn kr k 0 Rr Anr n Anr n k 0 Rr Aln r A k n 0
Bn cos n Bn sin n n 0
B B n 0
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
2-3 泊松方程 拉普拉斯方程
解（1） P 电偶极矩（电矩） P q l + 1 q l E E 2 2 4 0 ( r l / 4) E E 2 E cos 1 q E P 2 2 2 4 0 ( r l / 4) E l/2 2 r 2 1/ 2 ( r l / 4) 1 ql + q q 2 2 3/ 2 l/2 l/2 4 0 (r l / 4)
P l
2 0 ln rP
无限长线电流在空间中产生的电位
2.3.2 泊松方程 拉普拉斯方程
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
u u
2
式中： 2 称为拉普拉斯算符。 “ ”
u
2
在直角坐标系中：
u
2
x
2
u
2
y
偶极子
电偶极子是一种非常重要的物理模型
电偶极矩（电矩） p q l
(方向由负电荷指向正电荷)
q
p
l
q
电介质(中性分子)就可以作一个电偶极 子等效。此即电介质的电偶极子模型。
二、电偶极子激发的静电场
1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。
2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。
用矢量形式表示为：
E
1
2
P
2 3/ 2
40 ( r l / 4)
若 r l
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泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
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泊松方程和拉普拉斯
方程
拉普拉斯方程和泊松方程
摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。
关键词：分离变量电磁场拉普拉斯
简史
1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和
即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为
，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-V高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：
式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，
,
式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边
界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性
为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的
物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷
，叫做诺埃曼边界条件。
静电场的唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ，在V 内电势满足泊松方程
或拉普拉斯方程,在V 的边界S 上给定电势
,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数,则V 内场（静电场）唯一确定。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势
场。
各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的
换算之后，可以通用于其他的势场。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程
在SI 制中，静磁场满足的方程为 ,式中j 为传导电流密度。
第一式表明静
磁场可引入磁矢势r)描述： 。
在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为 。
选用库仑规范，，则得磁矢势A 满足泊松方程
，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6亨／米。
在传导电流密度j=0的区域里，
上式简化为拉普拉斯方程 。
静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。
对比静电势的解，可得矢势方程的解。
拉普拉斯方程的解——分离变量法
在直角、柱或球坐标系的分离变量法中，通过变量分离将拉普拉斯方程分解为两个或三个微分程分别求解，然后利用边界条件和初始条件来确定其中的系数和常数。
参考文献：
郭硕鸿著:《电动力学》，人民教育出版社，北京，1979。
J.D.杰克逊著，朱培豫译：《经典电动力学》下册，人民教育出版社，北京，1980。
(J.D. Jackson，Classical Electrodynamics，John Wilye & Sons，New York，1976.)
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