定积分的分部积分公式
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第四节 定积分的分部积分公式
一、定积分的分部积分公式
b
b
a
a
b udv uv
vdu a =-⎰
⎰ 例7．4．1 用分部积分公式求下列定积分：
（1）
2
20
cos x xdx π
⎰
；
（2）1
(51)x
x e dx +⎰；（3
）1
⎰；
（4）4
2
3
ln xdx ⎰. 解
（1）
22
cos x xdx π
⎰
220
sin x d x π
=⎰
2
20
sin 2sin 20
x x x xdx π
π
=-⎰
2
20
2cos 4
xd x π
π=
+⎰
2
202cos 2cos 24
x x xdx π
π
π=
+-⎰
2
2sin 24
x π
π=
-
2
24
π=
-；
（2）
1
(51)x x e dx +⎰
1
(51)x x de =+⎰
1
1(51)(51)0
x
x x e e d x =+-+⎰
1
615x e e dx =--⎰
16150
x
e e
=--
4e =+；
（3
）
1⎰
()1221x =--⎰
1212
arcsin -=-⎰
1122
12
2
arcsin x
x --=+⎰
6=+
1212
6
x
-
=-+
1=； （4）
4
23
ln xdx ⎰
4
2
23
4
ln ln 3x x xdx x =-⎰
422314ln 43ln 32ln x x dx x ⎛⎫
=--⋅ ⎪⎝
⎭⎰
4
223
4ln 43ln 32ln xdx =--⎰
()224
4ln 43ln 32ln 3
x x x =---
224ln 43ln 38ln 46ln 32=--++.
例7．4．2 试求定积分20
sin n xdx ⎰
（其中n 为非负整数）.
解
令
20
sin n xdx π
⎰
n I =
则0I 0220
sin 2
xdx dx π
π
π
=
==
⎰
⎰，1I 20
sin cos 120
xdx x π
π
=
=-=⎰
而n I 20
sin n xdx π
=
⎰
120
sin sin n x xdx π
-=⎰
120
sin cos n xd x π
-=-⎰
1
120
sin
cos cos sin 20
n n x x xd x π
π
--=-+⎰
()2220
01sin cos n n x xdx π
-=+-⎰
()()2220
1sin sin 1n n x x dx π
-=--⎰
()()2220
1sin 1sin n
n n xdx n xdx ππ
-=---⎰⎰
()()211n n n I n I -=---
即n I ()()211n n n I n I -=--- 整理，得递推公式21
n n n I I n
--= 那么0I 2π
=
， 1I 1=
2012I I =122π=⋅， 3122133I I ==⋅
423314422I I π==⋅⋅， 534421553
I I ==⋅⋅
L L L L
总之13
312422n n n I n n π
--=
⋅⋅⋅⋅-L （n 为偶数时）， 1342
1253
n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅-L
（n 为奇数时）.
例7．4．3 求定积分520
sin xdx ⎰
.
解
套上面公式，得
520
sin xdx π
⎰
5428
15315
I ==⋅⋅=.
二、分段函数的定积分
当定积分的被积函数为分段函数时，需利用积分的区间分割性质
dx
x f dx x f dx x f b
c c a b
a
)()()(⎰⎰⎰
+=
从分段函数的分段点处分为若干个定积分进行计算.
例7．4．4 设函数()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩
， 求()11f x dx -⎰. 解
由积分的区间分割性质得
()11
f x dx -⎰()()01
1
f x dx f x dx -=+⎰⎰
显然()f x 在[]1,0x ∈-与[]0,1x ∈均连续，通过N-L 公式均可计算出其积分 即
()1
1f x dx -⎰
()()0
1
10
f x dx f x dx -=+⎰⎰
()()0
1
210
11x dx x dx -=+++⎰
⎰ 23011110
23x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 116
=. 但当被积函数在积分区间上不连续呢？比如出现第一类间断点，这时如何积分？
例7．4．5 求()20
g x dx ⎰， 其中()21
,111,1x x g x x x ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
（如图7．4．1）.
解 可见()g x 在[)0,1连续，不满足N-L 公式要求在[]0,1上连续的条件， 这时可在[)0,1内取一点ξ，()g x 在[]0,ξ上连续