高数第六章第一次定积分的计算面积
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A
2 0
y2 2 x
2 x ( 2 x ) dx
8
2
2 x ( x 4) dx
选 y 为积分变量 y [2, 4]
y2 18 . A ( y 4 ) dy 2018/11/13 2 2
4
9
二、直角坐标系下求平面图形的面积
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
2018/11/13
( , )
12
三、极坐标系
2、平面上点的极坐标表示
(1) 0 表示极点，
即极点的坐标为
M
O(0, ) ( 2) 0,0 2
( , )
o
极坐标系
x
平面上点M 与一对实数一一对应 如下列点的表示：
11 M1 ( 2, ); M 2 (1, ); M 3 ( 3, ); 6 2 6
的面积为 Ai ，则 A Ai .
n
曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi i xi
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
i 1 n
（4） 求极限，得A的精确值
2018/11/13 5
一、问题的提出
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3）以所求量
区间[a , b]上作定积分，得U
U 的积分表达式. 即为所求量
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
a f ( x )dx ，
b
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
7
二、直角坐标系下求平面图形的面积
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3 问题： 积分变量只能选 x 吗？
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
o a x x dx b x
2018/11/13
3
一、问题的提出
U 符合下列条件： 当所求量 （1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有关
（ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间 a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部 分量之和； （3）部分量 U i 的近似值可表示为 f ( i )xi ；
1 2
3
2018/11/13 8
1
二、直角坐标系下求平面图形的面积
例 2 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
2
y2 2 x
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y 2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4 选 x 为积分变量 x [0, 8]
的量；
就可以考虑用定积分来表达这个量U 。
2018/11/13 4
一、问题的提出
元素法的一般步骤：
x 为 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 [a , b] ； 积分变量，并确定它的变化区间
2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU f ( x )dx ；
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
t1 t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t 1, t 2 ]（或[ t 2 , t 1]）上 x ( t ) 具有连续导数，
y ( t )连续.
2018/11/13 10
二、直角坐标系下求平面图形的面积
2018/11/13
A lim f ( i )xi f ( x )dx a
b
n
0 i 1
2
一、问题的提出
提示 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
0
2018/11/13 11
2
三、极坐标系
1、平面上的极坐标系
如图所示： O ------- 称为极点；
Ox-------称为极轴； 设M 是平面上一点，如图所示
M
( , )
o
极坐标系
x
---称为极径 ---称为极角，逆时针为正，顺时针为负 --- 称为点M 的极坐标，记为M
( , )
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
2018/11/13
1
一、问题的提出
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间应的
2018/11/13 6
二、直角坐标系下求平面图形的面积
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
2018/11/13
x y 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
2 2
A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
2 0
y2 2 x
2 x ( 2 x ) dx
8
2
2 x ( x 4) dx
选 y 为积分变量 y [2, 4]
y2 18 . A ( y 4 ) dy 2018/11/13 2 2
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二、直角坐标系下求平面图形的面积
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
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( , )
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三、极坐标系
2、平面上点的极坐标表示
(1) 0 表示极点，
即极点的坐标为
M
O(0, ) ( 2) 0,0 2
( , )
o
极坐标系
x
平面上点M 与一对实数一一对应 如下列点的表示：
11 M1 ( 2, ); M 2 (1, ); M 3 ( 3, ); 6 2 6
的面积为 Ai ，则 A Ai .
n
曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形
i 1
（2）计算Ai 的近似值 Ai f ( i )xi i xi
（3） 求和，得A的近似值 A f ( i )xi .
i 1 n
（4） 求极限，得A的精确值
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一、问题的提出
U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在 3）以所求量
区间[a , b]上作定积分，得U
U 的积分表达式. 即为所求量
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
a f ( x )dx ，
b
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
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二、直角坐标系下求平面图形的面积
例 1 计算由两条抛物线 y 2 x 和 y x 2 所围成的 图形的面积.
解 两曲线的交点
x y2
(0,0) (1,1)
选 x 为积分变量 x [0,1] 面积元素 dA ( x x 2 )dx
y x2
2 3 x 1 2 A 0 ( x x )dx x . 3 0 3 3 问题： 积分变量只能选 x 吗？
y f ( x)
dA
面 积 元 素
A lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b
o a x x dx b x
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一、问题的提出
U 符合下列条件： 当所求量 （1）U 是与一个变量 x 的变化区间a , b有关
（ 2 ） U 对 于 区 间 a , b 具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间 a , b分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部 分量之和； （3）部分量 U i 的近似值可表示为 f ( i )xi ；
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二、直角坐标系下求平面图形的面积
例 2 计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4 所围
2
y2 2 x
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x4
y 2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4 选 x 为积分变量 x [0, 8]
的量；
就可以考虑用定积分来表达这个量U 。
2018/11/13 4
一、问题的提出
元素法的一般步骤：
x 为 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 [a , b] ； 积分变量，并确定它的变化区间
2）设想把区间[a , b]分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU f ( x )dx ；
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
t1 t2
（其中t1 和t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t 1, t 2 ]（或[ t 2 , t 1]）上 x ( t ) 具有连续导数，
y ( t )连续.
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二、直角坐标系下求平面图形的面积
2018/11/13
A lim f ( i )xi f ( x )dx a
b
n
0 i 1
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一、问题的提出
提示 若用A 表示任一小区间
y [ x , x x ]上的窄曲边梯形的面积，
则 A A，并取A f ( x )dx ， 于是 A f ( x )dx
0
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三、极坐标系
1、平面上的极坐标系
如图所示： O ------- 称为极点；
Ox-------称为极轴； 设M 是平面上一点，如图所示
M
( , )
o
极坐标系
x
---称为极径 ---称为极角，逆时针为正，顺时针为负 --- 称为点M 的极坐标，记为M
( , )
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线
y
y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、 x 轴与两条直线 x a 、
y f ( x)
x b 所围成。
b
o a
b x
A a f ( x )dx
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一、问题的提出
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间应的
2018/11/13 6
二、直角坐标系下求平面图形的面积
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x xb
x
o
a
xx
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A a f ( x )dx
b
A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx
b
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x y 例 3 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 解 椭圆的参数方程 y b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
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A 40 ydx 4 b sin td ( a cos t )
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.