1.1.1常用逻辑用语

2.命题的条件和结论 在数学中,具有“若 p,则 q”形式的命题是常见的.我们把这种形式的 命题中的 p 叫做命题的条件,q 叫做命题的结论.
预习交流 2
指出下列命题中的条件 p 和结论 q: (1)若整数 a 能被 2 整除,则 a 是偶数; (2)若 a>0,b>0,则 a+b>0; (3)垂直于同一直线的两个平面平行. 提示:(1)的条件是一个整数 a 能被 2 整除,结论是这个整数是偶 数;(2)的条件是 a>0,b>0,结论是 a+b>0;(3)的条件是两个平面垂直于同 一直线,结论是这两个平面平行.
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1.下列语句中,不能称为命题的是(
A.5>12
).
B.x>0 C.若 a⊥b,则 a· b=0 D.三角形的三条中线交于一点 答案:B 解析:分析各语句能否判断出真假,选项 A 能判断为假,选项 C,D 能判断 为真,而选项 B 中,在给 x 赋值之前,不能判断 x>0 的真假,所以 x>0 不是 命题.
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例 1 判断下列语句是否是命题,说明理由,并判断命题的真 假. (1)若 x+y 是有理数,则 x,y 均为有理数. (2)一条直线 l 与平面 α 的位置关系有平行和相交两种. (3)x2+2x-3<0. (4)作△A'B'C',使△A'B'C'≌△ABC. (5)这是一棵大树. (6)抛物线太美了! (7)4 是集合{1,2,3}中的元素. 思路分析:判断一个语句是否是命题,就是要看它是否符合“是陈述 句”和“可以判断真假”这两个条件.
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2.下列命题中,真命题共有( ). ①面积相等的三角形是全等三角形;②若 xy=0,则|x|+|y|=0;③若 a>b,则 a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个
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1.分清条件和结论,是对命题进行真假判断的关键,有些命题的条 件和结论的叙述并不分明,而且由于对命题理解的不同,会得出不同的 条件与结论. 2.对命题进行改写时,一定要找准命题的条件与结论,注意所叙述 条件和结论的完整性,同时在有些命题中,还要注意前提条件的写法.
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一、命题的定义及其判断 活动与探究
问题:如何判断一个语句是命题? 提示:一个语句是命题,必须具备两个特征: ①是陈述句,祈使句、疑问句、感叹句等一般都不是命题; ②可以判断真假,这个语句对还是错是唯一确定的,不能模棱两可.
预习交流 1
下列语句中命题的个数是( ). ①{0}∈Z;②地球是太阳系的一颗行星;③|x+1|;④x>5.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:C 提示:②是真命题,①是假命题,③④无法判断真假,不是命题.
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迁移与应用 1.指出下列命题中的条件 p 和结论 q. (1)若 a,b,c 成等差数列,则 2b=a+c. (2)偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形. (3)菱形的对角线互相垂直. 解:(1)条件 p:a,b,c 成等差数列,结论 q:2b=a+c. (2)条件 p:一个函数是偶函数,结论 q:这个函数的图象关于 y 轴成轴 对称图形. (3)条件 p:一个四边形是菱形,结论 q:该四边形的对角线互相垂直.
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2.有下列命题:①mx2+2x-1=0 是一元二次方程;②抛物线 y=ax2+2x-1 与 x 轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集 是任何集合的真子集.真命题有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:A 解析:命题①中当 m=0 时,方程是一元一次方程;命题②中,由题设知 a≠0,则 Δ=4+4a,Δ 的值可能为正数,可能为负数,也可能为零,故交点个 数可能为 0,1,2;命题④中,空集不是空集的真子集;命题③为真命题.
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解:(1)是命题.理由:当 x= 2,y=- 2时,x+y 是有理数,可以判断为假, 是假命题. (2)是命题.理由:直线 l 与平面 α 的位置关系有三种:平行、相交和 在平面内,可以判断为假,是假命题. (3)不是命题.理由:在给 x 赋值之前,不能判断其真假. (4)不是命题.理由:这是一个祈使句. (5)不是命题.理由:由于“大树”没有标准,就不能判断“这是一棵大 树”的真假. (6)不是命题.理由:这是一个感叹句. (7)是命题.理由:由于 4∉ {1,2,3},所以“4 是集合{1,2,3}中的元素” 为假,是假命题.
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1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题应具备两个条件:一 是陈述句;二是能够判断其真假.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等 都不是命题.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否 判断真假.若能,就是命题;若不能,就不是命题.还有一些语句,目前无法 判断真假,但从事物的本质而论,这些语句是可辨别真假的,尤其是科学 上的一些猜想等,这类语句也叫做命题. 2.一个命题要么是真的,要么是假的,不能模棱两可.给出一个命题, 判断它是真命题,必须经过严格的逻辑推理;而要说明它为假命题,只要 举出一个反例即可.
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迁移与应用 1.给出下列语句: ①北京是中国的首都;②x=-2 是方程 x2+4x+4=0 的根;③sin x>-x2;④0 是自然数吗?⑤我希望明年考上北京大学. 其中的真命题是 . 答案:①② 解析:①是命题,且是真命题; ②是命题,且是真命题; ③不是命题,因为无法判断其真假,其真假与 x 的取值有关; ④不是命题,因为它是疑问句; ⑤不是命题,因为无法判断其真假. 综上可知,其中的真命题只有①②.
第一章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1
命题
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1.能说出命题的概念,会判断一个语句是否是命题. 2.会分析命题的结构,能判断命题的真假. 重点:会分析命题的结构,分清条件和结论. 难点:命题真假的判断.
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2.把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断真假: (1)内接于圆的四边形的对角互补; (2)被 5 整除的整数的末位数字是 5; (3)当 a>0 时,函数 y=ax+b 是增函数; (4)三角形相似,对应边成比例. 解:(1)若四边形内接于圆,则它的对角互补.真命题. (2)若一个整数被 5 整除,则它的末位数字是 5.假命题. (3)若 a>0,则函数 y=ax+b 是增函数.真命题. (4)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.真命题.
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二、命题的结构
活动与探究 问题:如何认识命题的结构形式? 提示:本章讨论的命题结构形式一般是“若 p,则 q”,但有些命题叙 述较简洁,从形式上看,不是“若 p,则 q”,但都可以改写成条件和结论明 确的“若 p,则 q”形式.
答案:A 解析:①②④是假命题,③是真命题.
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3.命题“若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”中的条件 是 ,结论是 ,它是 命题(填“真”或 “假”). 答案:△ABC 是等腰三角形 △ABC 的任何两个内角不相等 假
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4.把下列命题写成“若 p,则 q”的形式. (1)函数 y=ax(a>0 且 a≠1)是单调函数; (2)垂直于同一平面的两条直线平行. 解:(1)若函数是指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1),则该函数是单调函数. (2)若两条直线垂直于同一平面,则这两条直线互相平行.
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5.判断下列语句是否是命题.若是,判断其真假,并说明理由. (1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (2)一个数不是合数就是素数. (3)大角所对的边大于小角所对的边. (4)求证 x∈R,方程 x2+x+1=0 无实根. (5)若 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,q 是其公比,则 (6)3x-2>0. (7)把门关上. (8)没有一个无理数不是实数.
������1 (1- ������������) Sn= . 1- ������
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解:(1)疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题. (2)是假命题,数 1 不是合数也不是素数. (3)是假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中. (4)祈使句,不是命题. (5)是假命题,当公比 q=1 时不成立. (6)开语句,由于 x 是未知数,不能判断 3x-2>0 是否成立,不是命题. (7)祈使句,不是命题. (8)真命题,双重否定是肯定.
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1.命题、真命题、假命题 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫 做假命题.
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例 2 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断命题的真 假. (1)周长相等的三角形面积相等; (2)已知 x,y 为正整数,当 y=x+1 时,y=3,x=2; (3)当 m> 时,mx2-x+1=0 无实根; (4)当 abc=0 时,a=0 且 b=0 且 c=0.
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思路分析:找准命题的条件和结论是解这类题目的关键,要注意前 提条件的写法,如(2)中的“已知 x,y 为正整数”是前提条件,不能写在命题 的条件中,应当写在命题的前面. 解:(1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等.假命题. (2)已知 x,y 为正整数,若 y=x+1,则 y=3,x=2.假命题. (3)若 m>4,则 mx2-x+1=0 无实根.真命题. (4)若 abc=0,则 a=0 且 b=0 且 c=0.假命题.