材料力学习题课第1第3章.ppt

π [(40mm)2 (25mm)2 4π (25mm)2 49.1kN 4
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55.1kN
由静力平衡方程，得 P FN,铜 FN,铝 104.2kN
秦飞 编著《材料力学》
习题3.4-1
（2）判断铜和铝谁先达到最大许可应力
铜 /铝 E铜 / E铝 E铜 / E铝 1.39
秦飞 编著《材料力学》
习题1.4-2
解:（1）立柱的平均正应变
ε l / l （1mm）/（5103 mm） 2104
（2）计算横截面上的正应力
c FN / A 6106 N / m2 6MPa
（3）计算混凝土的弹性模量
E c / 6MPa / 2104 30GPa
(1 8hEA
3L2
)
秦飞 编著 《材料力学》
习题3.2-2
解：抛物方程为 y 4hx2 / L2
则 tan 8hx / L2
对整体进行受力分析， 列平衡方程
Fy 0;FBy qL/ 20
M
O
0;
1 2
q
L
/
2 2

FBx
h
FBy
L
/
20
得 FBx qL2 / 8h
秦飞 编著《材料力学》
习题3.1-10
解：（1）轴向拉伸应变 / E 则板的轴向伸长量 l l L / E
横向应变 ' / E 则横向压缩量 b b' b/ E
加力后板对角线斜率
k (b b / E) /(L L / E) (Eb b) /(EL L)
秦飞 编著《材料力学》
习题 2.4-8
解：设AB杆和BC杆的轴力分 别为FN,AB、FN,BC, 由平衡方程：
FN,AB sin P FN,BC sin

FN,AB
cos

FN,BC
cos

2P
得:
FN,AB P / cos P / 2 sin
FN,BC P / cos P / 2sin
秦飞 编著《材料力学》PPT讲义
习题课
(第1~3章)
习题1.4-2
如图所示高5m混凝土立柱，横截面面 积A=1.0 m2。受F=6000kN力作用后， 共缩短了1mm。(1)试求立柱的平均正 应变；（2）设立柱横截面上无切应力， 正应力均匀分布，试计算立柱横截面 上正应力的大小；（3）根据胡克定律 得到的混凝土的弹性模量是多少？
秦飞 编著《材料力学》
习题3.1-10
（2）板的初始面积
A0=bL
加力后面积
A (L L / E)(b b / E)
则面积增加量
A A A0 (L L / E)(b b / E) bL bL(1 ) / E bL 2 / E2 bL(1 ) / E 2bL
bL(1 ) / E
（将后一部分忽略不计）
秦飞 编著《材料力学》
习题3.1-10
(3)变形前横截面面积 A0 ' bt
t的变化量 t t / E
变形后截面面积 A' (b b / E)(t t / E)
则横截面面积减少
A' A0' A' bt (b b / E)(t t / E) 2bt / E 2 2bt / E2 2bt / E 2 2bt 2bt / E
秦飞 编著《材料力学》
习题1.5-1
如图所示构件上一点 A处的两个线段AB和 AC，变形前夹角为 60°，变形后夹角为 59°。试计算A点处 的切应变。
秦飞 编著《材料力学》
习题1.5-1
解：图示线段AB和线段BC角度改变量
0 60 59 1
相对于直角时的角度改变量
90 0 1.5
AB AC CD DB 2.39mm
秦飞 编著《材料力学》
习题3.4-2
（2）CD和AB一样长时，计算总的伸长量（复合杆）
PL/(E1A1 E2 A2 )

4PL
/[E1πd12
习题 2.4-8
图示杆AB和BC长度相同，两杆在B 点铰接并承受水平载荷P和竖直载 荷2P。支座A、C之间距离固定，为 H。但是角度可通过调整杆的长度 改变。杆BC由普通结构钢制成，但 杆AB由稀有的、贵重的、强度极高 的金属材料制成。为了尽可能减少 AB杆贵重金属材料的用量，同时满 足杆的拉伸强度条件，试确定最佳 角度。（不考虑杆的自重。）
0.896MPa cos2 112.5 0.131MPa
秦飞 编著《材料力学》
习题2.2-3
当 45 时
45 c cos2 45
0.896MPa cos2 45 0.448MPa
45

c
2
sin2 45
0.448 MPa
秦飞 编著 《材料力学》
要求AB杆用料最少，即AB杆体积最小，即
dV 0
d
则可得: 29.1
秦飞 编著《材料力学》
习题2.4-9
如图所示总长L0=1.25m的柔性弦线栓在A、B两个支座上，A、 B高度不同，A比B高。弦线上放置无摩擦滚轮，滚轮上承受 力P。图中C点为平衡后滚轮停留的位置。设A、B间水平距离 L=1.0m，弦线拉断力为200N，设计安全因数为3.0，试确定许 用载荷P。
秦飞 编著 《材料力学》
习题2.4-9
解：对C处进行受力分析， 列出平衡方程：
FN cosθ1FN cosθ2 FN sinθ1FN sinθ2 P
得
1 2 FN P / 2 sin1
秦飞 编著 《材料力学》
习题2.4-9
设AC段弦线长为x，BC段弦线长为y，则 x+y=L0
1
2
FN ds L/2 qx sin qL2 cos / 8h
EA
0
EA
1
tan2

dx

qL3 4hEA
(1
16h2 3L2
)
即


qL3 8hEA
(1

16h2 3L2
)
秦飞 编著 《材料力学》
习题3.4-1
图示铜和铝组成的组合圆柱承受载 荷P作用，铜芯直径25mm，铝套外 径40mm，两部分紧密配合，长度 都为350mm。铝和铜的弹性模量分 别为72GPa和100GPa。（1）如果 组合柱缩短0.1%，试问载荷P为多 少？（2）如果铝和铜的许用应力 分别是80MPa和120MPa，试问最 大许用载荷是多少？
由于 铜/铝 120MPa / 80MPa 1.5 1.39
则铝先达到最大许可应力，此时铝的轴力和压缩量分别为
FN,铝 铝
A铝 铝
π 4
(d
2 2

d12
)

61.2kN
铝L / E铝 80MPa 350 mm / 72 103 MPa 0.389 mm
秦飞 编著《材料力学》
习题3.4-1
解：（1）由已知条件得，
应变 0.001
由胡克定律，得
铜 E铜 100 GPa 0.001 100 MPa
铝 E铝 72GPa 0.001 72MPa
计算轴力
FN,铝 铝 A铝
FN,铜 铜 A铜
72MPa 100MPa
由 x cos1 y cos2 L
得 cos1 0.8 则 sin1 0.6
1
2
因此，载荷
P 2FN sin1 / n 2 200 N 0.6 / 3 80N
则许用载荷[P]=80N
秦飞 编著《材料力学》
习题3.1-10
图示长为L，宽为b，厚度为t的平板，在两端承受均匀拉应 力。已知材料的弹性模量为E，泊松比为v。试问：（1） 加载前，板对角线OA的斜率是b/L，加力后是多少？（2） 板的面积增加多少？（3）板的横截面面积减少多少？
计算铜的轴力
FN ,铜 E铜 A铜 / L E铜πd12 / 4L
0.389mm100103 MPa π (25mm)2 / 4 350mm 54.5kN
则最大许用载荷 P FN,铝 FN,铜 116kN
秦飞 编著《材料力学》
习题3.4-2
图示塑料圆杆AB中间部分套有另一塑料管CD。已知AB杆长 L=0.5m，直径d1=30mm，弹性模量E1=3.1GPa；管CD长 c=0.3m，外径d2=45mm，弹性模量E2=2.5GPa。（1）在AB 杆作用轴力P=15kN，试计算AB杆的伸长量；（2）如果套管 CD和AB一样长，伸长量又是多少？（3）如果没有套管，伸 长量为多少？
秦飞 编著《材料力学》
习题3.4-2
解：（1）计算AC段与BC段的伸长量
AC BD Pb / E1A1 4Pb / E1πd12 0.685 mm
CD段（复合杆）伸长量
CD Pc /(E1A1 E2 A2 )
4Pc /[E1πd12 E2π(d22 d12 )] 1.02mm 杆AB总的伸长量
FBy qL / 2
秦飞 编著 《材料力学》
习题3.2-2
计算离O点距离为x处的轴力，由平衡
方程 q(L / 2x)FN sin FS cos FBy FBxFN cos FS sin
得 FN qx sin ql2 cos / 8h
取微弧段ds，并进行积分，得
秦飞 编著《材料力学》

B
选哪根杆作为研究 对象，为什么？
习题 2.4-8
设AB杆横截面积为A，AB杆的许用应力为 [ ],则可得：
A FN,AB / (P / cos P / 2sin ) /
AB杆杆长 l H / 2cos
AB杆体积 V Al PH (1/ cos 1/ 2sin ) / 2 cos
计算AD段转动的角度
2 tan2 0.2 /100 0.002
计算直角DAB的切应变
2 1 0.002 0.001 0.001
（为什么相减？）
秦飞 编著 《材料力学》
习题2.2-3
如图所示为放置于测试设备上测试的直径d=25mm的塑料杆， 各部分尺寸标于图中。现在施加力P=110N，试绘出塑料杆上
秦飞 编著《材料力学》
习题3.2-2
如图所示悬索桥的主悬索可简化为图示的力学模型，其中q 为桥面面板对主悬索的作用力，可以认为沿水平方向均匀 分布；在q作用下，悬索的形状近似于抛物线。设悬索跨度 为L，下垂量为h，拉压刚度为EA，并取图示的 坐标系， 试证明悬索AOB的 伸长量为


qL3
16h2
计算塑料杆横截面上的压应力
c FN / A 4FN / πd 2
4 (440N) / π (25mm)2 0.896MPa
秦飞 编著《材料力学》
习题2.2-3
计算塑料杆上方位角为单元体各面上的应力并作出示意图 当 0时
0 c 0.896MPa
0 0MPa
秦飞 编著《材料力学》
习题2.2-3
当 22.5 时
22.5 c cos2 22.5
0.896MPa cos2 22.5 0.765MPa
22.5

c
2
sin2 22.5
0.317 MPa
112.5 c cos2 112.5
方位角 分别为0°、22.5°和45°单元体示意图，并标出单
元体各面上的正应力和切应力。
秦飞 编著《材料力学》
习题2.2-3
解：计算塑料杆对压杆的作用力 由力矩平衡：
F塑 100 P 400 0
得 F塑 4P 4 110N 440N
计算塑料杆的轴力 FN F塑 440 N
60
切应变大小为：
为什么要转化为90°时 的对应量？
π /180 1.5 π /180 0.02618
秦飞 编著《材料力学》
习题1.5-2
方板的变形如图中虚线所示，试求直角DAB的切应变。
秦飞 编著《材料力学》
习题1.5-2
解：计算AB段转动的角度
1 tan1 0.1/100 0.001