结构动力学3
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
4 EI 2mL3
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
铝质模型的自由 振动记录
有机玻璃模型的 自由振动记录
13.2.4 阻尼对自由振动的影响
y m m y=0
阻尼是客观存在的 (1)产生阻尼的原因
1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦
k
k
c
3)周围介质的阻力
则振动规律为:
y = 2.86sin(49.5t − 0.14)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
如图所示简支梁,将一重为W的物体将物体无初速 2. 如图所示简支梁,将一重为 的物体将物体无初速 地放置在梁中点,求该系统的振动规律。 地放置在梁中点,求该系统的振动规律。
∆ st = yst = W δ
m T = 2π = 2π mδ k ∆ st Wδ = 2π = 2π g g
2)自振频率计算公式: 2)自振频率计算公式: 自振频率计算公式
k 1 g g ω= = = = m mδ Wδ ∆ st
结构的自振周期和自振频率
3)自振周期和频率的讨论 3)自振周期和频率的讨论
Wδ ∆ st m = 2π T = 2π = 2π mδ = 2π g g k
W k = cz A= 0.6×103×20 =12×103 kN/m
自振频率为:
k kg 12 ×103 × 9.8 = = = 44.27 s −1 ω= m W 60
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
如图所示简支梁,将一重为W的物体从高 [例13.3] 如图所示简支梁,将一重为 的物体从高 h处自由释放,落到梁的中点处,求该系统的振动规律。 处自由释放, 处自由释放 落到梁的中点处,求该系统的振动规律。
P=1
1
k
2 1/2
1 M=1 1
k 4/3 k 1/L
2
P=1
2
16 ɺɺ 1 Kθ (t ) = − m + m θ (t ) 9 2
列运动方程
列出图示结构的运动方程。 [例13.6] 列出图示结构的运动方程。
EI = ∞
2m L/2 L/2 k m L/3 P=1 1 k 1/2 2
超静定结构,查表(形常数) 超静定结构,查表(形常数)
——
(3)方法选择
取决于结构的
刚度系数 柔度系数
谁较容易求得。 谁较容易求得。
静定结构,图乘法求 静定结构,图乘法求δ
顺利求解刚( 顺利求解刚(柔)度系数是自由振动分析的关键! 度系数是自由振动分析的关键!
列运动方程
列出图示结构的运动方程。 [例13.6] 列出图示结构的运动方程。
P=1 m EI EI m L EI
P=1/2 L/2
L/2
2
EI
EI
EI
L
M图 图
解 1: 是单自由度体系,作水平振动。 是单自由度体系,作水平振动。求柔度时由于 结构对称,可取半刚架计算。 结构对称,可取半刚架计算。
1 L L 1 2 L L 1 2 L L3 ω= δ = ( × × × × + L× × × × )× 2 = EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2 4 EI
位移幅值) (位移幅值)
y =A
加速度幅值) (加速度幅值)
ɺɺ = − Aω 2 y
惯性力幅值) (惯性力幅值)
I = mAω 2
在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态, 在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态,在幅值出现时刻也 一样,于是可在幅值处建立运动方程 在幅值处建立运动方程, 一样,于是可在幅值处建立运动方程,此时方程中将不含时间t, 结果把微分方程转化为代数方程 微分方程转化为代数方程了 使计算得以简化。 结果把微分方程转化为代数方程了,使计算得以简化。
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
具体例子比较: 具体例子比较:
y 1.例如设:st = 0.4cm, h = 10cm
h
则
g 980 = = 49.5rad / s yst 0.4
ω=
A = 0.42 + 2 ×10 × 0.4 = 2.86cm
0.4 α = arctg (− ) = − arctg 0.141 = −0.14rad 2 × 10
结构力学 (Ⅱ)
结构动力学
土木工程与力学学院 2010年3月
思考题
13- 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么? 13-1结构动力计算与静力计算的主要区别是什么? 答:结构动力计算与静力计算的主要区别是荷载不同。 结构动力计算与静力计算的主要区别是荷载不同。 13- 动力自由度与静力自由度的概念有何异同? 13-2动力自由度与静力自由度的概念有何异同? 答:都是描述位置所需独立参数,不同一个是体系, 都是描述位置所需独立参数,不同一个是体系, 一个是质体。 一个是质体。 13- 在建立振动微分方程,如考虑重力影响, 13-3 在建立振动微分方程,如考虑重力影响,动位移 的方程有无改变? 的方程有无改变? 将坐标选在静力平衡位置, 答:将坐标选在静力平衡位置,动位移的方程无改变
▲ 方法小结 (1)刚度法 (2)柔度法
——
研究作用于被隔离的质量上的力, 研究作用于被隔离的质量上的力,建立 平衡方程,需要用到刚度系数。 平衡方程,需要用到刚度系数。 研究结构上质点的位移,建立位移协调方程, 研究结构上质点的位移,建立位移协调方程, 需要用到柔度系数。 需要用到柔度系数。 刚度法 柔度法 谁较简单? 谁较简单?
m m m l/2 (b) l/2 (c) l/2 l/2 (a) l/2 l/2
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
图示机器与基础总重量W=60kN,基础下 [例13.2] 图示机器与基础总重量 , 土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3,基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。 试求机器连同基础作竖向振动时振频率。 解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为:
1 k 2
ɺɺ −my2
解2:是单自由度体系。 是单自由度体系。 建立位移方程。 以 ϕ (t ) 建立位移方程。
ɺɺ ɺɺ ϕ (t ) = δϕ1 (−2my1 ) + δϕ 2 (−my2 )
1 4 δ ϕ1 = δϕ 2 = 2kl 3kl 1 4 l ɺ 4 θ (t ) = − 2m θɺ + − m lθ 2kl 2 3kl 3
A = yst = 0.4cm
α = arctg (−∞) = −
π
2
则振动规律为:
g 980 ω= = = 49.5rad / s yst 0.4 π y = 0.4sin(49.5t − ) 2
y = 2.86sin(49.5t − 0.14)
比较结果可知, = 时的振幅位移是h= 的 倍 比较结果可知,h=10cm时的振幅位移是 =0的7倍 时的振幅位移是
解3:是单自由度体系。 是单自由度体系。 建立位移方程。 以 y1 (t ) 建立位移方程。
1
k 4/3
2
P=1
y1 (t ) = −2mɺɺ1 (t )δ11 − mɺɺ2 (t )δ12 y y
16 ɺɺ 1 Kθ (t ) = − m + m θ (t ) 9 2
运动方程的解
1 L L 3 L L L 1 3 L 3 3 δ = ( × L× × × + × × × × ) + × EI 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2k L3 9 = + 8EI 4k 1 ω= L3 9 m( + 8EI 4k
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
求图示结构的频率。 [例3] 求图示结构的频率。
思考题
13- 计算图示体系的自振蘋率时,可否直接运用13-10, 13-5计算图示体系的自振蘋率时,可否直接运用13-10, 13 k ?这样计算对不对?为什么? 这样计算对不对?为什么? 得到 ω =
m + ml
不对。 答:不对。 13- 为什么说自振周期是结构的固有性质? 13-6为什么说自振周期是结构的固有性质?它与结构 的那些固有量有关? 的那些固有量有关? 和外界因素无关。和刚度有关, 答:和外界因素无关。和刚度有关,和质量有关 13- 为了计算自由振动时质点在任意时刻的位移, 13-7 为了计算自由振动时质点在任意时刻的位移,除 了要知道质点的初位移和初速度外, 了要知道质点的初位移和初速度外,还需要知道什 么?? 答:刚度和质量等。 刚度和质量等。
4)简谐自由振动的特性
y (t ) = A sin(ω t + α ) —— 位移 可得,加速度为 y 可得,加速度为: ɺɺ(t ) = − Aω 2 sin(ωt + α ) 惯性力为 惯性力为: I (t ) = − my (t Байду номын сангаас = mAω 2 sin(ωt + α ) ɺɺ
由式 无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化, 无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化, 位移 都按正弦规律变化 同步、同相、同达幅值。 且同步、同相、同达幅值。 其幅值分别为: 当 sin(ωt + α ) = 1 时,其幅值分别为:
k2 k ) y 原方程: ɺɺ 原方程: my + ky = 0 ⇒ ɺɺ + ω y = 0 (令:ω = m m
解为: 解为:
y (t ) = y0 cos ω t +
v0
ω
sin ω t
解又可表达为: 解又可表达为: 则:振幅
y (t ) = a sin(ωt + α )
初始相位角
a=
y0 +
k 1 g g ω= = = = m mδ Wδ ∆ st
只与结构的质量与刚度有关,与外界干扰无关; ① ω和T只与结构的质量与刚度有关,与外界干扰无关; 与质量成正比,质量越大,周期越大;与刚度成反比, ② T与质量成正比,质量越大,周期越大;与刚度成反比, 刚度越大,周期越小。要改变ω 只能改变质量和刚度。 刚度越大,周期越小。要改变ω和T,只能改变质量和刚度。 是结构动力特性的重要参数。 ③ ω和T是结构动力特性的重要参数。
L ϕ × = y1 2
4L ϕ× = y2 3
代入方程
16 ɺɺ 1 m + m θ (t ) + Kθ (t ) = 0 9 2
列运动方程
列出图示结构的运动方程。 [例13.6] 列出图示结构的运动方程。
EI = ∞
2m L/2 L/2 k m L/3
ϕ (t )
ɺɺ −2my1
作业
求结构的自振频率。 [1] 求结构的自振频率。
EI k L L/2 m EI EI m L
[2] 求结构的自振频率。 求结构的自振频率。
EI
L
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
求图示结构的自振频率。 [1] 求图示结构的自振频率。
EI k L L/2 k L/2 P=1
M1 图
3/2
解: 画M1图;由M1图求得 δ ;由 δ 求得 ω 。 图
W h
yst
y y
设: y = A sin(ωt + α ) g 其中: ω = yst
振幅:A = y0 2 +
ω2
v0 2 y0ω v0
解:自由落体后,梁以一定的
初速度上下作自由振动, 其振动平衡位置为 yst 。
∆ st = yst = W δ
初始相位角:α = tan −1
初始条件:
y0 = − yst ɺ y0 = 2 gh
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
求图示梁结构的自振周期和自振频率。 [例13.1] 求图示梁结构的自振周期和自振频率。 解:为求柔度系数,在质点 m EI 上加单位力1(图乘法)
l/2 l/2
P =1
l3 δ= 48EI 48EI
48EI ω= l 3m
ml 3 T = 2π mδ = 2π l/4 48 EI 思考] [思考] 比较图示结构的自振频率 (a)<(b)<(c)
EI = ∞
2m L/2 L/2 k m L/3
ϕ (t )
1 2m
2 m
解1:是单自由度体系。 是单自由度体系。 以杆件为隔离体建立平衡方程。 以杆件为隔离体建立平衡方程。
L 4 y ∑ M A = −2mɺyɺ1 2 − mɺɺ2 3 L − K B yB L
ɺɺ −2my1
kyB
ɺɺ −my2
2
ω
v0
2 2
α = tan
−1
y0ω v0
结构的自振周期和自振频率
表示周期, 用T 表示周期, 周期函数的条件: 周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
1 ω f = = T 2π
表示频率: 用 f 表示频率:每秒钟内的振动次数 用 ω 表示圆频率:2π 秒内的振动次数 表示圆频率: 1)自振周期计算公式: 1)自振周期计算公式: 自振周期计算公式