二次函数的对称性

（一）、教学内容

1. 二次函数的解析式六种形式

① 一般式 y=ax 2

+bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2

()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）

③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2

(a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax

2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上)

⑥ y= ax 2

+bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质

对称轴：2b x a

=-

顶点坐标：2

4(,)24b ac b a a

-- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大

当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小

☆ 二次函数的对称性

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12

2

x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)

当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；

【典型例题】

题型 1 求二次函数的对称轴

1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。

2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x =

3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。

4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），

对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ）

y x

O

5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）

A.14<<-x

B. 13<<-x

C. 4-x

D.3-x

6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

题型 2 比较二次函数的函数值大小 1、、若二次函数

，当x 取

，

（

≠

）时，函数值相等，

则当x 取+时，函数值为（ ）

（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c

2、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）

A ．y 1 y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法

解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小

变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小

变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小

变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，

12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小

y

–1 1 3

O

x

y

–1 3 3

O x

P

1

题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：

二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:12

2

x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)

1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____

2、与y= 2

12x -3x+2

5关于Y 轴对称的抛物线________________

3、求将二次函数3x 2x y 2

+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。

4、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）

A ．22y x x =--+

B ．22y x x =-+-

C ．22y x x =-++

D ．2

2y x x =++ 5、如图，已知抛物线l 1:y=-x 2+2x 与x 轴分别交于A 、O 两点，顶点为M.将抛物线l 1关于y 轴对称到抛物线l 2.则抛物线l 2过点O ，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积

A.3

B.6

C.8

D.10

题型4 二次函数图象的翻折

1、如图，已知抛物线5621+-=x x ：y l 与x 轴分

别交于A 、B 两点，顶点

为M ．将抛物线l 1沿x 轴翻折后再向左平移得到抛物线l 2．若抛物线l 2过点B ，与x 轴的另

一个交点为C ，顶点为N ，则四边形AMCN 的面积为 A ．32 B ．16 C ．50 D ．40

（二）.教学辅助练习 一、选择 1、若二次函数，当x 取

，

（

≠

）时，函数值相等，则当x 取

+

时，函数

值为（ ）

x A y O

B

M N C

l 1

l 2