西安交大复变函数课件511本性奇点

补充定义
z z0 F ( z) , f ( z0 ) lim f ( z ) f ( z ) z z0 , z z0 F ( z0 )(即c0）
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2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 如果 f ( z ) 在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
课堂练习 求 f ( z ) z 5 ( z 2 1)2 的零点及级数 .
答案
z 0 是五级零点, z i 是二级零点.
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3.零点与极点的关系
定理：如z0是f(x)的m级零点，是g(x)的n级零点， 则当m n时，z0是 是 f(x） 的可去极点,当m<n时，z0 g(x)
f(x） 的(n-m)级极点 g(x)
m ( z)在z0处解析且 ( z0 ) 0 f ( z ) ( z z ) 证 0 ( z),
g ( z) ( z z0 ) ( z), ( z)在z0处解析且 ( z0 ) 0
n
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m n ( x) ( z z0 ) ,m n ( z) f ( x) , 1 ( x) g ( z) ,m n nm ( z) ( z z0 )
1.零点的定义
不恒等于零的解析函数 f ( z ) 如果
m f ( z ) ( z z ) ( z ), 其中 ( z ) 在 z0 能表示成 0
解析且 ( z0 ) 0, m为某一正整数, 那末 z0 称为
f ( z ) 的 m 级零点.
例6
z 0是函数 f ( z ) z( z 1)3 的一级零点， z 1是函数 f ( z ) z( z 1)3 的三级零点 .
并且
f
(m)
( z0 ) c0 0. m!
充分性证明略 .
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例7 求以下函数的零点及级数: (1) f ( z ) z 3 1, (2) f ( z ) sin z .
2 f ( 1 ) 3 z (1) 由于 3 0, 解 z 1
知 z 1 是 f ( z ) 的一级零点 . (2)由于 f (0) cos z z 0 1 0, 知 z 0是 f ( z ) 的一级零点.
所以 z 是 f ( z ) 的可去奇点 .
1
1 (2)函数 f ( z ) z 含有正幂项且 z 为最高正 z
幂项,所以 z 是 f ( z ) 的 m级极点.
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(3)函数 sin z 的展开式:
z3 z5 z 2 n 1 sin z z 3! 5! ( 2n 1)!
z z0
为.
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综上所述:
孤立奇点 可去奇点 洛朗级数特点 无负幂项
lim f ( z )
z z0
存在且为 有限值

含有限个负幂项 1 关于 ( z z ) m级极点 的最高幂 0 为 ( z z0 ) m 本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
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二、函数的零点与极点的关系
故定理成立。
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说明
此定理为判断函数的极点提供了一个较为
简便的方法. 1 例8 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级.
解
函数的奇点是使 sin z 0 的点,
这些奇点是 z k ( k 0 , 1 , 2) . 是孤立奇点.
因为 (sin z ) z k cos z z k ( 1)k 0, 1 即 所以 z k 是 sin z的一级零点， 的一级极点. sin z
含有无穷多的正幂项 所以 z 是 f ( z ) 的本性奇点. 课堂练习 说出函数 f ( z ) z e 的奇点及其 类型. 答案 z 是一级极点, z 0是本性奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
1
1 z
例2 指出函数 f ( z ) 解 函数的奇点为
z2 sin
的奇点特性. z 0 在点 1
z
1 z 0, z ( k 1 , 2 ,) k 1 因为 lim 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f ( z ) 的奇点存在, 所以 z 0 不是孤立奇点.
3)含有无穷多的正幂项; 那末 z 是 f ( z ) 的 1)可去奇点 ; 2) m 级极点; 3)本性奇点 .
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z 在圆环域 1 z 例10 (1)函数 f ( z ) z 1
内的洛朗展开式为:
1 1 n 1 f (z) 1 2 ( 1) n 1 z z z 1 z 不含正幂项
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
其中 g ( z ) 在 z0 的邻域内解析, 且 g( z0 ) 0.
f ( z ) 判断 . (3) 利用极限 lim z z
0
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3. 本性奇点 如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项,
0
那末孤立奇点 z0 称为函数 f ( z ) 的 m 级极点.
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说明: (1)
g ( z ) c m c m 1 ( z z0 ) c m 2 ( z z0 ) 2
特点:
1. 在 z z0 内是解析函数 2. g( z0 ) 0
(2) 如果 z0 为函数 f ( z ) 的极点 , 则
规定: 如果 t=0 是 ( t ) 的可去奇点、m级奇点或
本性奇点, 那末就称点 z 是 f ( z ) 的可去奇点、 m级奇点或本性奇点 .
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2.判别方法: 判别法1 (利用洛朗级数的特点)
如果 f ( z ) 在 R z 内的洛朗级数中:
1)不含正幂项;
m z 2)含有有限多的正幂项且 为最高正幂;
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ez 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
另解
e 1 所以 z 0 为 的可去奇点. z
z
ez 1 z 因为 lim lim e 1, z 0 z 0 z
7
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) , 即
由定义:
如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级零点
f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
设 ( z )在z0的泰勒展开式为:
( z ) c0 c1 ( z z0 ) c2 ( z z0 )2 ,
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其中 c0 ( z0 ) 0 ,
扩充 z 平面
映射为
扩充 t 平面
1 映射为 { zn } ( zn ) t n ( t n 0) zn
R z
映射为
1 0 t R
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结论: 在去心邻域 R z 内对函数 f ( z ) 的研究
1 内对函数 ( t ) 的研究 在去心邻域 0 t R 1 因为 ( t ) 在去心邻域 0 t 内是解析的, R 所以 t 0 是 ( t ) 的孤立奇点.
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 )n .
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z0 解析的函数. (2) 无论 f ( z ) 在 z0 是否有定义,
f ( z0 ) c0 , 则函数 f ( z ) 在 z0 解析.
注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
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2.零点的判定
如果 f ( z ) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f ( z ) 的 m 级 零点的充要条件是
f ( n ) ( z0 ) 0, ( n 0,1,2, m 1) ; f ( m ) ( z0 ) 0.
证 (必要性)
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ez 1 的二级极点吗? 例9 问 z 0 是 2 z
解
ez 1 1 zn 2 1 2 z z n0 n!
解析且 (0) 0
1 1 z 1 ( z ), z 2! 3! z
所以 z 0 不是二级极点, 而是一级极点.
sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
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三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f ( z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f ( z ) 的孤 y 立奇点. R
o
x
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1 1 令变换 t :则 f ( z ) f ( t ), 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
f ( z ) c m ( z z 0 ) m c 2 ( z z 0 ) 2 c 1 ( z z 0 ) 1
1
m
c0 c1 ( z z0 )
( m 1, c m 0)
1 1( z ) , g ( z)在z 处解析,且g ( z ) 0 f ( z ) g f (z) m g( z ) , 0 或写成 0 m ( z z( ) 0z z )
f ( z ) : 若极限存在且为有限值, (2) 判断极限 lim z z
0
则 z0 为 f ( z ) 的可去奇点.
5
例3
sin z 1 2 1 4 1 z z 中不含负幂项, z 3! 5!
sin z z0 是 的可去奇点 . z
如果补充定义:
z 0 时,
sin z 1, z
sin z 那末 在 z 0 解析. z
6
ez 1 例4 说明 z 0 为 的可去奇点. z
1 2 1 n ez 1 1 解 (1 z z z 1) z 2! n! z 1 1 n 1 1 z z , 0 z 2! n! 无负幂项
lim f ( z ) .
3z 2 , 例5 有理分式函数 f ( z ) 2 z ( z 2)
z z0
z 0 是二级极点, z 2 是一级极点.
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2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
那末孤立奇点 z 0 称为 f ( z ) 的本性奇点.
1 2 1 n 例如， e 1 z z z , 2! n! 含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1 1 z
所以 z 0 为本性奇点，同时 lim e 不存在.
z 0
1 z
特点: 在本性奇点的邻域内 lim f ( z )不存在且不
一、孤立奇点的概念
定义 如果函数 f ( z )在 z0 不解析, 但 f ( z ) 在 z0 的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称
z0 为 f ( z ) 的孤立奇点.
sin z 例1 z 0 是函数 e , 的孤立奇点. z 1 z 1是函数 的孤立奇点. z 1
2
孤立奇点的分类 依据 f ( z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域
0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
1．可去奇点;
1．可去奇点
2．极点;
3．本性奇点.
1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f ( z ) 的可去奇点.
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说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
从而f ( z )在z0的泰勒展开式为
f ( z ) c0 ( z z0 )m c1 ( z z0 )m 1 c2 ( z z0 )m 2
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
(n) f ( z0 ) 0, ( n 0,1,2, m 1); 公式知: