资本资产定价模型CAPM详细数学推导过程

第9章 资本市场均衡模型：资本资产定价模型

识别出在均衡时刻，切点资产组合就是市场证券组合，正是夏普-林特纳分析的所做出的重要贡献。

为了进一步理解CML ，我们有必要给出CML 的具体方程：

()()P M

f

M f P r r E r r E σσ∙-+

=

可见：CML 的斜率为

()M

f

M r r E σ-，它在纵轴上的截距为f r 。

任何在资本市场线上资产组合，都是具有均值方差效率的资产组合，而单一证券和无效率的证券组合必然位于该线的下方。处在均衡状态下的证券市场有两个特征：

（1）资本市场线的截距被视为等待（时间）的报酬（无风险证券收益率）； （2）资本市场线的斜率就是承受每一单位风险的所得到的报酬。 CML 也可以表示为：

()()P M

f

M f P r r E r r E σσ∙-=

-

我们把资本市场上任何一只证券的预期收益率高过无风险收益率的部分称为风险溢价（Risk Premium ）,证券组合的风险溢价为()f P r r E -，市场组合的风险溢价为()f M r r E -，而市场组合的风险溢价除以市场组合的风险水平就是CML 的斜率，这个斜率被定义为风险的市场均衡价格。

风险的市场均衡价格乘以组合的风险水平，就是组合的风险溢价，即是：

()()P M

f

M f P r r E r r E σσ∙-=

-

其实这也是刚才所说的CML 的另外一种表述。它把组合收益、组合风险水平、风险的市场均衡价格之间的关系准备地揭示出来。

风险的市场均衡价格是追求高收益、低风险的投资者，通过完善的资本市场交易最终形成的结果，但是，对于每一个投资者而言，他是这个价格的接受者（假设4）。我们也假设投资者总是持有无风险证券和市场组合（市场组合又是风险被充分分散化后的组合或者说市场组合仅仅含有不可分散风险而不再包含可分散风险了），因此，资本市场线告诉我们：

（1）持有充分分散的市场组合时，我们可以用P σ表示其风险水平，否则用P σ表示组合的风险不一定适当；

（2）仅仅当投资者持有市场组合和无风险证券的某种组合时，才能用资本市场线来确定组合的预期收益率，但是此时，资本市场线并不能给我们提供每一个证券的预期收益率。 9.3 证券市场线（Security Market Line ，简称SML ）

为了推导出最终的CAPM 模型，我们还要再构造一个特殊的投资组合。这个投资组合由某一个证券i 和市场组合M 形成的组合。这个证券i 和市场组合M 在这个特殊组合中的

权重分别为x 和x -1，其中，10≤≤x 中，可以知道：

当0=x 时，证券市场是均衡的（因为i 证券可以代表市场中的任何一只证券，如果对任何一个证券都不存在过度需求，那此时证券市场是均衡的。）；

当0>x 时，证券市场是不均衡的，也就是说市场上存在着对于这个i 证券的过度需求；

这个特殊组合的预期收益率的期望和标准差分别为()P r E 和P σ，且这个i 证券与市场组合M 预期收益率之间的协方差为()M i r r Cov ,，那么，我们可以得到：

()()()()M i P r E x r E x r E ∙-+∙=1

()M i M i P r r Cov x x x x ,)1(2)1(2222-+∙-+∙=σσσ

这个方程表示的是证券i 和市场组合M 形成的特殊组合的投资可行集，它们所组成的有效前沿是可行集的一个子集。

如图9-2所示：

EF-Ⅰ是包含全部风险证券的有效前沿，EF-Ⅱ是证券i 和市场组合M 形成的特殊组合的有效前沿，因为，i 与M 的组合的可行集是全部风险证券可行集的一个子集，那么EF-Ⅱ肯定位于EF-Ⅰ的右下方，当且仅当0=x 时，i 和M 的组合过M 点，即EF-Ⅱ过M 点，那么EF-Ⅱ必然与EF-Ⅰ相切，且切点为M 。

那么， EF-Ⅱ在M 点切线的导数（

()0

=x P P d r dE σ）和EF-Ⅰ在M 点的导数相同，由前面

的讨论我们知道EF-Ⅰ在M 点的导数即是CML 的斜率

()M

f

M r r E σ-，那么：

()()M

f M x P P r r E d r dE σσ-=

=0 所以我们要先求导出

()P

P d r dE σ。 由前面的讨论，可知：

()()()()M i P r E x r E x r E ∙-+∙=1

()M i M i P r r Cov x x x x ,)1(2)1(2222-+∙-+∙=σσσ

()

[]

212

2

2

2

,)1(2)1(M i M i r r Cov x x x x -+∙-+∙=σσ

那么，

()()dx

d dx r dE d r dE P P P

P σσ=

()()[]()

[]

()()()

[]

M i M i

M i M i

M i r r Cov x x x r r Cov x x x x r E r E ,42122,)1(2)1(22

22

222

-+-+-+-+∙

-=

σσ

σσ

将0=x 代入上式，可知：

()()()[]()()M f M M

M i M M i x P P r r E r r Cov r E r E d r dE σσσσ-=-∙-==2

0, 化简这个公式：

()()

()[]f

M

M

M i f i r r E r r Cov r r E -+

=2

,σ

设()

2,M

M i i r r Cov σ

β=

，那么：