单纯形法的简述及应用

单纯形法的简述及应用

摘要

自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来，他一直是求线性规划的最有效的计算方法。但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量。针对这一问题，本文提出了改进单纯形法（一），在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时，传统单纯形法占据较大的内存空间，且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法（二），能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。从而既能使迭代过程持续进行下去，又能克服上述单纯形法的不足，是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。

关键词：线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。

绪论

引言

运筹学是近六十年发展起来的一门学科。运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。财政经济。社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中最重要的一种数量方法，其应用范围非常广泛。主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。从数学的角度来说，也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下，求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。

与其他的数学学科相比，线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后，线性规划在理论上趋向成熟，在使用中日益广发与深入。线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法，都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。

线性规划基础及单纯形法

线性规划问题及数学模型

凡是同时满足以下三个条件的问题，就叫做线性规划问题：

（1）可用一些变量表示问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体的方案。因此，可将这些变量称为决策变量，并往往要求它们为非负的。

（2）存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性等式或线性不等式来表示。

（3）有一个期望达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示，根据具体问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

线性规划就是研究并解决上述问题的一种理论和方法。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学期望，简称线性规划模型。期一般形式如下：

其中n j j ...3,2,1,x =，为待定的决策变量，已知的系数ij a 组成的矩阵

称为约束矩阵。A 的列向量记为;...,2,1,A n j j =A 的行向量记为.,...,2,1,A m i T i =称n n x c x c x c +++...2211为目标函数，记为∑=n

1j j j x c ，向量T n c c c C ),...,,(21=称为价值向量，

),...,2,1(n j c j =称为价值系数；向量T n b b b b ),...,,(21=称为右端向量；条件o j ≥x 称为非负约束；符号0≥j x 表示变量j x 可取正值、负值、或零值，成这样的变量为自由变量。如果原问题是要求目标函数∑=n j j j

x c 1的最大值，可等价地转化为求)(n

1j j j x c ∑=-的最小值。 从实际问题中建立线性规划问题数学模型的三个步骤：

（1）根据影响所要达到目的的因素找出决策变量；

（2）由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数；

（3）由决策变量所售的限制条件确定决策变量索要满足的约束条件。

单纯形法的计算步骤

对于一个给定的线性规划问题，单纯形法的计算步骤如下：

第一步 找一个初始的可行解B ；

第二步 求出对应的典式及检验数向量ξ；

第三步 求],...,3,2,1ξmax[ξj k n ==；

第四步 若0k ≤ξ，停止。

已找到最优解

及最优值，否则转为第六步；

第五步 若

停止。原问题无界； 第六步 求； 第七步 以k A 代替r B A 得到新的基，转到第二步。

多重最优解

对线性规划问题的求解结果可能出现无穷多个最优解的情形。但是，单纯形法的迭代步骤在求得了第一个最优解时就告停止，这也就突破了最优解的相持。

不过，在实际应用中，了解所用的线性规划模型是否有多重最优解是必要的。那么，在求得了第一个最优解后，再如何求出其他的最优解呢？单纯形法解的判定定理指出，若T m b b b X )0,...0,,...,(21-

--=为某线性规划问题的一个基本可行解，且对于所有的n 2,...,m 1,m j ++=，均有0j ≤ξ，而且又存在某个非基变量的检验数0k =ξ，则该线性规划问题可能有无穷多个解、在求得第一个最优解后。若检验数0=k ξ的非基变量k x 对应的系数列中有正系数，则按照单纯形法另做几次迭代，每次都选一个这样的k x 进基，就能得到其他的最优解了。

应用举例

结论

单纯形法要求已知一个基本解，且线性规划需要典式。而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。此时可用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而求出最优解。