第4章 一阶逻辑基本概念

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谓词公式的定义
例：H(a,b), C(x)B(x), x(M(x)H(x)), x(M(x)C(x)B(x)), 等均是合式公式。
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约束变元和自由变元
定义：在谓词公式中，形如xA或xA的x或x 那一部分称为是公式x的约束部分，x是指导变元， A(x)为相应量词x或x的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为x在公式A中的约束出现； 约束出现的变元称为约束变元；A中不是约束出 现的其它变元称为该变元的自由出现，自由出现 的变元成为自由变元。
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说明：
(1)当多个量词连续出现，它们之间无括号 分隔时，约定从左到右的次序读出，后面 的量词在前面量词的辖域之中。 例：yx(x<(y-2)), x,y的个体域为实数集。
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说明：
(2)如果D是有限集,谓词公式中的量词可以 用逻辑联结词来解释。
例D={a,b,c} xP(x)P(a)∧P(b)∧P(c) xP(x)P(a)P(b)P(c)
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例：将下列命题符号化
有些菊花是白的。
Y(x):x是白的，D为菊花集合 xY(x)
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例：将下列命题符号化
(1) 有些人是聪明和美丽的 (2) 有人早饭吃面包。 解: (1)设M(x)：x是人，Q(x)：x是聪明的， R(x)：x是美丽的。 命题符号化为： x(M(x)∧ Q(x)∧ R(x))。 (2)设M(x)：x是人， E(x)：x是早饭时吃面包，命题符号化为： x(M(x) ∧ E(x))
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换名规则
换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词 中的指导变元, 换成一个其他变元, 转换的新变元不能与本辖域内的其他变元同名, 公式中的其他部分不改变。
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例：
xF(x,y)∧xG(x,y) x(F(x,y) P(x))∧y(Q(x,y) R(x)
可认为谓词逻辑是命题逻辑的推广，命题 逻辑是谓词逻辑的特殊情形，零元谓词． 一般地，一元谓词描述个体的性质，二元 或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。 0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样， 谓词逻辑包括命题逻辑。
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命题函数
定义
由一个谓词和若干个体变元组成的表达式称为简单命题函数。由n元 谓词和n个个体变元x1,x2,…,xn组成的命题函数，表示为P(x1,x2,…,xn) 。
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谓词和个体词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命题”，应 该就是“命题”P。但是， P(H(x)M(x)) (H(x)M(x)) H(x)M(x) 亦即，“命题”P的否定 “命题”是 “所有人都 不死”。这和人们日常对命题 “所有人都必死” 的否定的理解相差太远。
“至少有一偶数并且至少有一素数”的形式 化
xQ(x) xP(x)
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函数和量词
函词
在谓语词逻辑中出现变量，自然也会考虑引入函数 函数的值是一个个体词 函数被称为函词 如father(x)表示x的父亲 带函词的谓词MARRIED(father(张三),mother(李四))
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谓词公式的定义
定义：谓词公式的递归定义如下： (1)命题常项、命题变项和原子公式是合式公式； (2)如A，B是公式，则A, AB, AB, AB, AB也是公式； (3) 如 A 是谓词公式， x 是 A 中出现的任意一个自由变元 ，则 xA，xA也是谓词公式。 (4)只有有限次使用(1)(2)(3)生成的符号串才是合式公式(也称 谓词公式)
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函数和量词
量词
语句 “对任意x”称为全称量词，记以x； 语句 “存在 一个x”称为存在量词，记以x。 这时，命题P就可确切地符号化如下： x(H(x)M(x)) 命题P的否定命题为：P (x(H(x)M(x))) x(H(x)M(x)) 亦即 “有一个人是不死的”。这个命题确实是 “所有 人都要死”的否定。 17
x与y具有关系L.
x，y为两个个体变项，谓词为L，符号化形式为L(x,y)。
小王与小李同岁。
小王，小李都是个体常项，“…与…同岁”是谓词，记为 H，命题符号化形式为H(a,b)，其中，a:小王，b:小李。
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n元谓词
一个由个n个体和n元谓词所组成的命题可 以表示为P(a1,a2,…,an),其中P表示n元谓词， a1,a2,…,an分别表示n个个体。
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注意：
(1)n元谓词中，个体变项的次序很重要。
例：F(x,y)表示x是y的父亲， a:张三，b:张小明。 F(a,b)表示张三是张小明的父亲。 F(b,a)表示张小明是张三的父亲。
(2)讨论一个问题时必须先确定个体域D。
如不作限制，表示宇宙一切事物组成的个体， 称为全总个体域。
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注意(续)
(3) 同一个n元谓词，取不同的个体，真假会不同。
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说明：
(3)量词不能随便换顺序。对于和这两个量词交换位置,
其意义不同了,相应真值也可能改变。 例： D：自然数全体, G(x,y)：x<y。 xyG(x,y)表示任意一个自然数x,总存在自然数y,使得x小 于y,该命题是真的。 yxG(x,y)表示存在一个自然数y,使得对一切自然数x,使x 小于y,即y是最大的自然数。该命题是假的。
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例：将下列命题符号化
“没有无理数是有理数” 的形式化
用P(x)表示x是有理数
用Q(x)表示x是无理数 x(Q(x) P(x) ) 正确
“对任意一个数而言，如果它是无理数，那么它 就不是有理数”
x(P(x) Q(x) ) 正确 x(Q (x) P(x) ) 正确
由有限个简单命题函数以及逻辑联结词组成的命题形 式称为复合命题函数。 简单命题函数和复合命题函数统称为命题函数。
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谓词和个体词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。 则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
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含量词的谓词的真值规定
说明：不含量词的谓词公式G(x) ，它不是命题，而是命题 函数，其真值依赖于x从个体域中取的 个体名词的不同而 不同。 例：D表示某班全体学生，G(x)表示x是男生。 则G(李刚)是真，而G(王芳)是假。
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含量词的谓词的真值规定
xG(x)与xG(x)是命题了，x仅是一个“指导变量” xG(x)与yG(y)意义完全相同。 xG(x)：全班每个人均是男生。 xG(x)：全班存在一个人是男生。 含量词的谓词公式的真值不再依赖于x的选取。
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谓词和个体词
其原因在于，命题P的确切意思应该是： “对任 意x，如果x是人，则x必死”。 但是 H(x)M(x) 中并没有确切的表示出 “对任意x”这个意思，亦 即H(x)M(x)不是一个命题。 因此，在谓词逻辑 中除引进谓词外，还需要引进 “对任意x”这个语 句，及其对偶的语句 “存在一个x”。
A(x)：x是大学生。 A(a) 真值可能为真， 而A(b)真值可能 为假。
(4) 对于同一谓词，个体域D不同，真值可能也不同。
例：对于A(x)，x是大学生。 如D={大学生全体}，A(x)是重言式。 如D={学生全体}，A(x)是仅可满足式。 如D={计算机全体}，A(x)是永假式。
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谓词逻辑与命题逻辑
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例
指出各公式的指导变元、辖域、约束变元 和自由变元 x(p(x)yQ(x,y)) x(x=yx2+x<5x<z)x=5y2
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换名规则
谓词逻辑中的命题的真值，与命题中的约 束变量的记法无关 显然，xG(x)与yG(y)的真值一样，xG(x) 与yG(y)的真值一样 这就引出了谓词逻辑中的换名规则。
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例：D={a,b,c}
xG(x)G(a)G(b)G(c) xG(x)G(a)G(b)G(c) 注：对于一个谓词，如其每个变量均在量 词的管辖下，则该不是命题函数，而是命 题了，它有确定的真值了。
30Байду номын сангаас
4.2 一阶逻辑公式及解释
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4.2 一阶逻辑公式及解释
注意下面几组概念的差异
函数和量词
三段论的三个命题，在谓词逻辑中是如下 这样表示的： P：x(H(x)M(x)) Q：H(张三) R：M(张三) 以后可以证明：在谓词逻辑中，R是P和Q 的逻辑结果。
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量词
定义 称表示数量的词为量词。
全称量词：表示“所有”、“任意”、“一切” 的词，记为“”。 x表示个体域里的所有个 体,x为全称性变元。 xA(x)表示个体域中的所有 个体都有性质A。 存在量词：表示“存在着”、“有某些”、“至 少存在一个”的词，记为“”， x表示个体域 里的某些个体,x为存在性变元。 表示存在着个 体域中的个体具有性质A。
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4.1 一阶逻辑命题符号化
谓词、个体和量词 定义
个体词 是指所研究对象中可以独立存在的具体 的或抽象的客体。 称个体变项的取值范围为 个体域(或称论域)。
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4.1 一阶逻辑命题符号化
例：王芳是大学生，用P表示， 李明是大学生，用Q表示。 在命题逻辑中就没办法表示出两句的联系。 “……是大学生”用A(x)表示，x是大学生，命题 符号含有个体词变量。 a表示王芳，A(a)表示王芳是大学生。 b表示李明，A(b)表示李明是大学生。 "……是大学生"用A(·)来表示，这就是谓词。
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xG(x)的真值规定
xG(x)的命题是“对任意xD，均有G(x)”
xG(x)的真值为1，当且仅当，对一切xD，G(x) 真 值 均为1 xG(x)的真值为0，当且仅当存在x0D， G(x0) 真 值为0。
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xG(x)的真值规定
xG(x)的命题是“存在一个x0D，使得 G(x0)成立” xG(x)的真值为1，当且仅当存在x0D， G(x0)的真值为1。 xG(x)的真值为0，当且仅当，对一切xD， G(x)的真值为0。
第四章 一阶逻辑基本概念 (谓词逻辑)
杨建林
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本章主要内容
4.1 一阶逻辑命题符号化 4.2 一阶逻辑公式及解释
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例：
逻辑三段论：
凡人要死， 张三是人， 所以张三要死。

P：凡人要死 Q：张三是人 R：张三要死 此三段论表示为(P ∧Q) R
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例：
如何将上述推理过程形式化？ 在命题逻辑中引入谓词、个体词和量词,将 命题逻辑扩充成一阶谓词逻辑
个体、个体词、个体常项、个体变项 函数、函词 命题函数、谓词
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4.2 一阶逻辑公式及解释
项的定义：
(1)个体变元和个体常元是项。 (2) 对 任 意 正 整 数 n ， 如 果 f (n) 为 一 n 元 函 数 符 ， t1 , … ,tn为项，那么f (n)(t1,…,tn)也是项。 (3)除有限次使用(1)，(2)条款所确定的符号串外， 没有别的东西是个体项。
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例：将下列命题符号化
“有的实数不是有理数” 的形式化 “有的数是实数但不是有理数” 的形式化
用P(x)表示x是有理数 用Q(x)表示x是实数 x(Q(x) P(x) ) 正确
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例：将下列命题符号化
“至少有一偶数是素数”的形式化
x(Q(x) P(x) )
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谓词
定义
用来刻画一个个体的性质或多个个体之间关系 的词，称为谓词。 谓词中包含个体的数目称为谓词的元数。 表示有具体确定意义的性质或关系的谓词，称为 谓词常元( …与…是同学)，否则称为谓词变元 ( …与…具有关系L)。
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例：将下列命题符号化
x是有理数。
x是个体变项，“…是有理数”是谓词，记为G，用G(x) 表示。
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4.2 一阶逻辑公式及解释
原子公式的定义：若 P(x1,...,xn) 是 n 元谓词， t1,...，tn是项，则P(t1,...，tn)为原子公式。
从中可以看出，项出现在谓词的变量位置，相当 于个体词。 函数f(t1,...，tn) 不是公式仅是项。项的结果仍是 个体名称集合中的个体，而公式的结果(真值)是 成立或不成立(是1或0)。 原子公式是公式的最小单位。项不是公式。