高考数学高中复习9.8.2《定点、定值、探索性问题》知识点讲解PPT课件
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又离心率 e＝ac＝12，a2＝b2＋c2，所以 a2＝4， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
(2)证明：由题知，F(1,0)，直线 l 的方程为 y＝k(x－1)．
由x42＋y32＝1， y＝kx－1，
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132，
【跟踪训练 1】[2020·山东新高考预测卷]已知椭圆 E：x92＋by22＝ 1(b>0)的一个焦点与抛物线 Γ：y2＝2px(p>0)的焦点 F 相同，如图， 作直线 AF 与 x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于 A 点，与椭圆 E 相 交于 C，D 两点，且|CD|＝130.
(1)求抛物线 Γ 的标准方程； (2)设直线 l 不经过 A 点且与抛物线 Γ 相交于 N，M 两点，若直 线 AN，AM 的斜率之积为 1，证明 l 过定点．
y＝kx＋t， 由x22＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则 x1＋x2＝－1＋4k2tk2，x1x2＝12＋t2－2k22.
所以|OM|·|ON|＝kx1＋x1t－1·kx2＋x2t－1
Baidu Nhomakorabea
＝k2x1x2＋kt－1x1xx12＋x2＋t－12
2t2－2
＝k2·12＋t2－2k22＋kt－11＋·2－k21＋4k2tk2＋t－12＝211＋ －tt.
(2)证明：由(1)得 A(2,4)， 设 My821，y1，Ny822，y2， ∴kMA＝yy8112－－24＝y1＋8 4，kNA＝y2＋8 4，
由 kMA·kNA＝y1＋8 4·y2＋8 4＝1， 得 y1y2＋4(y1＋y2)－48＝0.(*)
设直线 l 的方程为 x＝my＋t， 由yx2＝＝m8yx＋，t， 得 y2－8my－8t＝0， ∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，代入(*)式得 t＝4m－6， ∴直线 l 的方程为 x＝my＋4m－6＝m(y＋4)－6， ∴直线 l 过定点(－6，－4)．
解析： (1)由题意，得 b2＝1，c＝1，所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1. 令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1. 又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 的斜率为 k(k≠0)，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交
于点 M，求证：||MPQF||为定值．
解析：
(1)由ax22＋by22＝1，令 x＝c，得 y＝±ba2， 所以|PQ|＝2ab2， 所以 S 四边形 APBQ＝12|AB|·|PQ|＝12×2a×2ab2＝2b2＝6，得 b2＝3.
又|OM|·|ON|＝2，所以 211＋ －tt＝2.
解得 t＝0，所以直线 l 经过定点(0,0)．
类题通法 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥 曲线方程中的变量 x，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转 化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参 数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这 个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点.
解析： (1)由椭圆 E：x92＋by22＝1(b>0)，得 b2＝9－c2，由题可知 F(c,0)，p ＝2c，把 x＝c 代入椭圆 E 的方程，得 y2＝b21－c92， ∴yC＝9－3 c2.
∴|CD|＝130＝29－3 c2，解得 c＝2.
∴抛物线 Γ 的标准方程为 y2＝4cx，即 y2＝8x.
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝4－k2＋6k3，
设 PQ 的中点为 N，则 N4k42k＋2 3，4－k2＋3k3，
则直线 MN 的方程为 y＋4k32＋k 3＝－1kx－4k42k＋2 3， 令 y＝0，得 M4k2k＋2 3，0，所以|MF|＝34kk22＋＋31. 又|PQ|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2· 4k82k＋2 32－444kk22＋－312＝124kk22＋＋31， 所以||MPQF||＝14为定值.
第2课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题[师生共研] [例 1] [2019·北京卷]已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 的右焦点为(1,0)， 且经过点 A(0,1)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，直线 l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆 C 交于两个不同 点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若 |OM|·|ON|＝2，求证：直线 l 经过定点．
33，且椭圆
C
过点
P1，2
3
3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，与直
线 x＝3 相交于点 B，求证：∠AFB 的大小为定值．
解析：
(1)∵椭圆
C
过点1，2
3
3，
∴a12＋34b2＝1， ①
∵离心率为 33，∴ac＝ 33， ②
题型二 定值问题[师生共研] [例 2] [2020·山东青岛教学质量检测]已知椭圆 C：ax22＋by22＝
1(a>b>0)的离心率为12，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6.
类题通法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化 量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再 证明该定点与变量无关.
【跟踪训练 2】 (2020·山东济宁模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
(2)证明：由题知，F(1,0)，直线 l 的方程为 y＝k(x－1)．
由x42＋y32＝1， y＝kx－1，
得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132，
【跟踪训练 1】[2020·山东新高考预测卷]已知椭圆 E：x92＋by22＝ 1(b>0)的一个焦点与抛物线 Γ：y2＝2px(p>0)的焦点 F 相同，如图， 作直线 AF 与 x 轴垂直，与抛物线在第一象限交于 A 点，与椭圆 E 相 交于 C，D 两点，且|CD|＝130.
(1)求抛物线 Γ 的标准方程； (2)设直线 l 不经过 A 点且与抛物线 Γ 相交于 N，M 两点，若直 线 AN，AM 的斜率之积为 1，证明 l 过定点．
y＝kx＋t， 由x22＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则 x1＋x2＝－1＋4k2tk2，x1x2＝12＋t2－2k22.
所以|OM|·|ON|＝kx1＋x1t－1·kx2＋x2t－1
Baidu Nhomakorabea
＝k2x1x2＋kt－1x1xx12＋x2＋t－12
2t2－2
＝k2·12＋t2－2k22＋kt－11＋·2－k21＋4k2tk2＋t－12＝211＋ －tt.
(2)证明：由(1)得 A(2,4)， 设 My821，y1，Ny822，y2， ∴kMA＝yy8112－－24＝y1＋8 4，kNA＝y2＋8 4，
由 kMA·kNA＝y1＋8 4·y2＋8 4＝1， 得 y1y2＋4(y1＋y2)－48＝0.(*)
设直线 l 的方程为 x＝my＋t， 由yx2＝＝m8yx＋，t， 得 y2－8my－8t＝0， ∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－8t，代入(*)式得 t＝4m－6， ∴直线 l 的方程为 x＝my＋4m－6＝m(y＋4)－6， ∴直线 l 过定点(－6，－4)．
解析： (1)由题意，得 b2＝1，c＝1，所以 a2＝b2＋c2＝2. 所以椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1. (2)证明：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线 AP 的方程为 y＝y1x－1 1x＋1. 令 y＝0，得点 M 的横坐标 xM＝－y1x－1 1. 又 y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝kx1＋x1t－1. 同理，|ON|＝kx2＋x2t－1.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 的斜率为 k(k≠0)，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交
于点 M，求证：||MPQF||为定值．
解析：
(1)由ax22＋by22＝1，令 x＝c，得 y＝±ba2， 所以|PQ|＝2ab2， 所以 S 四边形 APBQ＝12|AB|·|PQ|＝12×2a×2ab2＝2b2＝6，得 b2＝3.
又|OM|·|ON|＝2，所以 211＋ －tt＝2.
解得 t＝0，所以直线 l 经过定点(0,0)．
类题通法 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥 曲线方程中的变量 x，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转 化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参 数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这 个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点.
解析： (1)由椭圆 E：x92＋by22＝1(b>0)，得 b2＝9－c2，由题可知 F(c,0)，p ＝2c，把 x＝c 代入椭圆 E 的方程，得 y2＝b21－c92， ∴yC＝9－3 c2.
∴|CD|＝130＝29－3 c2，解得 c＝2.
∴抛物线 Γ 的标准方程为 y2＝4cx，即 y2＝8x.
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝4－k2＋6k3，
设 PQ 的中点为 N，则 N4k42k＋2 3，4－k2＋3k3，
则直线 MN 的方程为 y＋4k32＋k 3＝－1kx－4k42k＋2 3， 令 y＝0，得 M4k2k＋2 3，0，所以|MF|＝34kk22＋＋31. 又|PQ|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2· 4k82k＋2 32－444kk22＋－312＝124kk22＋＋31， 所以||MPQF||＝14为定值.
第2课时 定点、定值、探索性问题
题型一 定点问题[师生共研] [例 1] [2019·北京卷]已知椭圆 C：ax22＋by22＝1 的右焦点为(1,0)， 且经过点 A(0,1)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为原点，直线 l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆 C 交于两个不同 点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N.若 |OM|·|ON|＝2，求证：直线 l 经过定点．
33，且椭圆
C
过点
P1，2
3
3 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设椭圆 C 的右焦点为 F，直线 l 与椭圆 C 相切于点 A，与直
线 x＝3 相交于点 B，求证：∠AFB 的大小为定值．
解析：
(1)∵椭圆
C
过点1，2
3
3，
∴a12＋34b2＝1， ①
∵离心率为 33，∴ac＝ 33， ②
题型二 定值问题[师生共研] [例 2] [2020·山东青岛教学质量检测]已知椭圆 C：ax22＋by22＝
1(a>b>0)的离心率为12，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，F 为椭圆 C 的右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，当直线 l 垂直于 x 轴时，四边形 APBQ 的面积为 6.
类题通法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化 量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再 证明该定点与变量无关.
【跟踪训练 2】 (2020·山东济宁模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为