高中数学第一章集合与函数概念单元评估验收(一)(含解析)新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数概念单元评估验收（一）（含解析）
新人教A 版必修1
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，5}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{3}
D ．{1，3}
解析：因为U ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{2，5}，所以∁U B ＝{1，3，4}．所以A ∩(∁U B )＝{1，2，3}∩{1，3，4}＝{1，3}．
答案：D
2．集合A ＝{x ∈R|x (x －1)(x －2)＝0}，则集合A 的非空真子集的个数为( ) A ．4
B ．6
C ．7
D ．8
解析：集合A ＝{0，1，2}，共有23
＝8个子集，其中非空真子集有6个，这里特别注意{0}≠∅.
答案：B
3．已知A ＝{x |x ≤32，x ∈R}，a ＝25，b ＝23，则( ) A ．a ∈A 且b ∉A B ．a ∉A 且b ∈A C ．a ∈A 且b ∈A
D ．a ∉A 且b ∉A
解析：由于32＝18，25＝20，23＝12， 所以a ∉A 且b ∈A . 答案：B
4．已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1，0)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
解析：对于f (2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－1
2
，即函数f (2x ＋1)的定义域为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－12. 答案：B
5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( )
A ．－2
B ．4
C ．2
D ．－4
解析：因为43>0，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43＝2×43＝83， 因为－43<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝4
3
，
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12
3
＝4.
答案：B
6．已知f (x )是一次函数，若2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为( )
A ．f (x )＝3x ＋2
B ．f (x )＝3x －2
C ．f (x )＝2x ＋3
D ．f (x )＝2x －3
解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧2（2a ＋b ）－3（a ＋b ）＝5，2b －（－a ＋b ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝5，a ＋b ＝1，解
得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，
b ＝－2. 所以f (x )＝3x －2. 答案：B
7．设奇函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，
f (－3)的大小关系是( )
A ．f (π)>f (－3)>f (－2)
B ．f (π)>f (－2)>f (－3)
C ．f (π)<f (－3)<f (－2)
D ．f (π)<f (－2)<f (－3)
解析：因为奇函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数， 所以当x ∈(－∞，0]时，f (x )也是增函数． 所以f (0)>f (－2)>f (－3)，
又因为f (π)>f (0)，所以f (π)>f (－2)>f (－3)． 答案：B
8．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23
，则f (－a )＝( )
A.2
3
B ．－23
C.43
D ．－43
解析：因为f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x
1＋x
2，
所以f (－x )＝1－x
1＋x 2，所以f (x )＋f (－x )＝2. 因为f (a )＝23，所以f (－a )＝2－f (a )＝2－23＝4
3
.
答案：C
9．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－2)，B (3，2)是其图象上的两点，那么|f (x ＋1)|<2的解集是( )
A ．(1，4)
B ．(－1，2)
C ．(－∞，1)∪[4，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)
解析：因为A (0，－2)，B (3，2)是f (x )图象上的两点，
即f (0)＝－2，f (3)＝2，所以|f (x ＋1)|<2⇒－2<f (x ＋1)<2⇒f (0)<f (x ＋1)<f (3)．因为f (x )是R 上的增函数，所以0<x ＋1<3，解得－1<x <2.
答案：B
10．已知函数y ＝x 2
－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[0，2]
C ．(－∞，2]
D ．[1，2]
解析：因为y ＝(x －1)2＋2，所以x ＝1时，y min ＝2，
当x ＝0或x ＝2时，y ＝3，由图象知，m ∈[1，2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.
答案：D
11．函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )
解析：由图象知y ＝f (x )为偶函数，y ＝g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数且
x ≠0.由图象知x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，π2时，f (x )>0，g (x )<0，x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2
，π时，f (x )<0，g (x )<0，所以x
∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )<0，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π时，y ＝f (x )·g (x )>0.故A 正确．
答案：A
12．已知减函数y ＝f (x －1)是定义在R 上的奇函数，则不等式f (1－x )>0的解集为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(0，＋∞)
解析：方法一 已知减函数y ＝f (x －1)是定义在R 上的奇函数，则减函数y ＝f (x －1)的图象关于原点(0，0)对称，将减函数y ＝f (x －1)的图象沿x 轴向左平移1个单位，得到减函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(－1，0)对称，且f (x )>0的解为
x <－1，所以f (1－x )>0的解为1－x <－1，即x >2，所以f (1－x )>0的解集为(2，＋∞)．
方法二 已知减函数y ＝F (x )＝f (x －1)是定义在R 上的奇函数，则F (－x )＝f (－x －1)＝－F (x )＝－f (x －1)，
所以f (－x －1)＋f (x －1)＝0，
所以减函数y ＝f (x )的图象关于点(－1，0)对称， 且f (x )>0＝f (－1)的解为x <－1，
所以不等式f (1－x )>0＝f (－1)的解为1－x <－1， 即x >2. 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．用列举法表示集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________． 解析：由
10
m ＋1
∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1，2，5，10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2，0，1，4，9.
答案：{－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}
14．函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1，3]上的最大值为4，则a ＝________．
解析：因为a ＞0，所以函数y ＝ax ＋1在区间[1，3]上是增函数，所以y max ＝3a ＋1＝4，解得a ＝1.
答案：1
15．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 2
，x ≥t ，x ，0<x <t (t >0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则
t 的取值范围是
________．
解析：函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
，x ≥t ，
x ，0<x <t (t >0)的图象如图：
因为函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
，x ≥t ，
x ，0<x <t (t >0)是区间(0，＋∞)上的增函数，所以t ≥1.
答案：t ≥1
16．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，给出下列结论： (1)若对任意x 1，x 2，且x 1≠x 2，都有
f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1
<0，则f (x )为R 上的减函数．
(2)若f (x )为R 上的偶函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则f (x )>0的解集为(－2，2)．
(3)若f (x )为R 上的奇函数，则y ＝f (x )·f (|x |)也是R 上的奇函数．
(4)t 为常数，若对任意的x ，都有f (x －t )＝f (x ＋t )，则f (x )关于x ＝t 对称． 其中所有正确的结论序号为________．
解析：对于(1)，若对于任意x 1，x 2，且x 1≠x 2，都有
f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1
<0，即当x 1<x 2
时，f (x 1)>f (x 2)，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则f (x )为R 上的减函数，则(1)对；对于(2)，若f (x )为R 上的偶函数，且在(－∞，0)内是减函数，则f (x )在(0，＋∞)上递增，f (2)＝
f (－2)＝0，则f (x )>0即为f (|x |)>f (2)，即有|x |>2，解得x >2或x <－2，则(2)错；对于
(3)，若f (x )为R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－x )·f (|－x |)＝－f (x )·f (|x |)即有y ＝f (x )·f (|x |)也是R 上的奇函数，则(3)对；对于(4)，若对任意的x 都有f (x －t )＝f (x ＋t )，并非对称函数，若f (x )满足f (t ＋x )＝f (t －x )，则f (x )关于直线x ＝t 对称，则(4)错．
答案：(1)(3)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设全集为U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－3或x ≥6}，B ＝{x |－2≤x ≤14}．
(1)求如图阴影部分表示的集合．
(2)已知C ＝{x |2a ≤x ≤a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)阴影部分表示的集合为(－∞，－3]∪(14，＋∞)．
(2)当2a >a ＋1，即a >1时，C ＝∅，成立； 当2a ＝a ＋1，即a ＝1时，成立； 当2a <a ＋1，即a <1时，
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋1≤14，2a ≥－2，解得－1≤a <1， 综上所述，a 的取值范围为[－1，＋∞)．
18．(本小题满分12分)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }． (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B .
(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，且B ∪C ＝C ，求a 的取值范围． 解：(1)全集U ＝R ，集合A ＝{x |2≤x <4}， 由3x －7≥8－2x ，得x ≥3，从而B ＝{x |x ≥3}， 所以A ∪B ＝{x |2≤x <4}∪{x |x ≥3}＝{x |x ≥2}， (∁U A )∩B ＝{x |x <2或x ≥4}∩{x |x ≥3}＝{x |x ≥4}．
(2)集合C ＝{x |2x ＋a >0}，化简得C ＝⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪x >－a 2，
因为B ∪C ＝C ，所以B ⊆C ，由(1)知B ＝{x |x ≥3}，从而－a
2<3，解得a >－6，所以a 的
取值范围是(－6，＋∞)．
19．(本小题满分12分)设函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且
x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.
(1)求证：f (x )是奇函数；
(2)求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值． (1)证明：令x ＝y ＝0，则f (0)＝0. 再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， 所以f (－x )＝－f (x )．故f (x )为奇函数． (2)解：任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
所以f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0， 所以f (x )为减函数．
又f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6， 所以f (－3)＝－f (3)＝6.
故f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6. 20．(本小题满分12分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1. (1)若a ＝－3，求f (10)，f (f (10))的值；
(2)若f (1－a )＝f (1＋a )，求实数a 的值．
解：(1)若a ＝－3，则f (10)＝－10－2×(－3)＝－4.
f (f (10))＝f (－4)＝2×(－4)－3＝－11.
(2)当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，
f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.
因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2， 所以a ＝－3
4
.
当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，
f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.
因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1， 所以a ＝－3
2(舍去)．
综上，a ＝－3
4
.
21．(本小题满分12分)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d (米)与车速v (千米/时)的平方和车身长S (米)的积成正比，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50千米/时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．
解：根据题意可设d ＝kv 2
S (k >0)． 因为当v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2
S 中， 解得k ＝1
2 500.
所以d ＝12500v 2
S ，
当d ＝S
2
时，解得v ＝25 2.
所以d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2，0≤v <252，
1
2 500v 2
S ，v ≥25
2.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋m x
，且f (1)＝2. (1)判断函数f (x )的奇偶性；
(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(3)若f (a )>2，求实数a 的取值范围． 解：由f (1)＝2，得1＋m ＝2，所以m ＝1. 所以f (x )＝x ＋1
x
.
(1)f (x )＝x ＋1
x
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
f (－x )＝－x ＋
1－x ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．
(2)f (x )＝x ＋1
x
在(1，＋∞)上是增函数．
证明：设任意的x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1
x 1x 2
，
因为1<x 1<x 2，
所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)设任意的x 1，x 2∈(0，1)，且x 1<x 2， 由(2)知f (x 1)－f (x 2)＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）
x 1x 2
，
由于x 1－x 2<0，0<x 1x 2<1，
所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以f (x )在(0，1)上是减函数．
由f (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数，且f (1)＝2知， 当a ∈(0，1)时，f (a )>2＝f (1)成立； 当a ∈(1，＋∞)时，f (a )>2＝f (1)成立； 而当a <0时，f (a )<0，不满足题设．
综上可知，实数a 的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．。