第一节映射与函数ppt课件

R f =f (D)={y | y= f (x) , xD}.
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R
内，因此构成函数的要素是：定义域 D f 及对应法则
f . 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同， 那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.
在函数的定义中，对每个x D，对应的函数值 y
则A=B=C.
空集:不含任何元素的集合称为空集，记作 O . 例如，{x | x R, x2 1 0}是空集，因为适合条件 x2 1 0的实数是不存在的. 且规定空集为任何集合的子集，即 O A.
真子集：若A B 且 A B ，则称A是B的真子集，记作
A B
2、集合的运算 集合的基本运算有以下几种：并、交、差. 设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B 的集
有 ( f g)(x) f [g(x)] f (sin x) 1 sin 2 x
| cos x |
三、函数
1、函数的概念
定义：设数集D R，则称映射 f : D R为定义在D 上的函数，通常简记为
y f (x), x D 其中 x称为自变量，y 称为因变量，D称为定义域， 记作 D f，即 D f D .
1 、映射概念
定义：设 X、Y 是两个非空集合 ， 如果存在一个 法则 f , 使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一
确定的元素 y 与对应，则称 f 为从 X 到 Y 映射，记作
f : X Y ,
其中y称为元素 x(在映射 f 下) 的像 , 并 记作 f (x) , 即 y =f (x)
而元素x 称为元素 y (在映射 f 下)的一个原像；集合 X
f g:X Z ( f g)(x) f [g(x)], x X
构成复合映射的条件是：g的值域必须包含在f 的
定义域内，即 Rg .D否f则，不能构成复合映射.
例4 设有映射 g: R[–1,1]，对每个x R，g( x)=sin x , 映射 f :[–1,1] [0,1]，对每个u[–1,1]， f (u) 1 u2 . 则映射g 和f构成的复合映射 f g :R [0,1]，对每个x R
A {a1, a2, , an}.
由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表 示：设M是具有某种性质P的元素x全体组成的，就可表 示成：
M {x | x所具有性质P}.
例如，集合B是方程x2 1 0解集，就可表示成 B {x | x2 1 0}.
全体自然数的集合记作 N ，即N {0,1,2, ,n, };
定的 y= f ( x ) 与之对应．
2、对每个 x X ，元素 x 的像 y 是唯一的；而对每
个 y R f ，元素 y 的原像不一定是唯一的 ；映射
f 的 值域 R f 是 Y 的一个子集，即 R f Y ，不一 定Rf Y ．
例1 设 f : R R ,对每个x R , f ( x ) = x2．显然，f 是一个映射， f 的定义域 D f =R，值域 R f = { y| y 0} 它是 R 的一个真子集． 对于 R f 中的元素 y ，除 y=0
A\B={ x | x A且 x B}.
有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中 进行，所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时，我们 称集合I为全集或基本集，I\A为A的余集或补集，记
作 Ac .例如，在实数集 R 中，集合A={ x |0< x 1}的余
集就是
Ac={x| x 0或 x >1｝.
集合的并、交、余运算满足下列法则。
(1)交换律 ＡＢ＝ＢＡ，Ａ Ｂ＝Ｂ Ａ； (2)结合律 (Ａ Ｂ) Ｃ＝Ａ(ＢＣ），
(Ａ Ｂ) Ｃ＝Ａ (B C )； (3)分配律 (A B) C=(A C) (B C)，
(A B) C=(A C) (B C)； (4)对偶律 (A B)c=Ac Bc，(A B )c=Ac Bc.
3、区间和邻域 区间是用得较多的一类数集，设 a 和 b 都是实数，
且a<b.
数集 {x|a<x< b}称为开区间，记作( a, b)，即 (a , b) = {x| a<x< b}.
a 和 b 称为开区间(a , b) 的端点，这里 a(a , b), b(a , b).
数集 { x| a x b} .称为闭区间，记作[ a , b]，即 [ a , b]= {x | a x b }.
例8
y=x与
y x2 x
是不是相同的函数关系?
y=x是定义在 (, 的函) 数关系；
y则在x2x=0处没有确定的y值与之对应，其定义域 x
是 x (；,0) (0,)
两个函数定义域不同, 因此是不同的函数关系.
例9 研究y=x与 y 是x2不是相同的函数关系.
y=x与 y 都x是2 定义在 对应规则不同：
如果存在数K，1 使得
f(x) K1 对任一x 都X成立，则称函数f(x)在X上有上界，而 K称1 为函数f(x)在X上的一个上界.如果存在数 K2 , 使得
映射又称为算子，根据集合X、Y的不同情形，
在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例
如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从
非空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数
集(或其子集) X到实数集Y的映射通常称为定义在X上
的函数.
2、逆映射与复合映射 设 f 是X 到Y 的单射，则由定义 ，对每个y R f ,
外，它的原像不是唯一的，如 y = 4 的原 像 就 有x=2 和 x=源自文库－2 两个．
例2 设 X ={(x , y)| x2 + y2=1 }，
Y= {( x , 0)| |x|1 }， f : X Y， 对每个( x , y ) X， 有唯一确定的(x , 0 )Y 与之对应．显然 f 是一个映
总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.如果给定
一个对应法则，按这个法则，对每个x D，总有确定
的y值与之对应，但这个y不总是唯一的，我们称这种 法则确定了一个多值函数.
有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量 的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的 函数，通常称为分段函数.
例5 圆面积A与它的半径r之间的相依关系
类似地可以表示无限区间，例
[ a , + ) = {x|x a}, (－ , b) = {x|x< b}．
邻域：
在数轴上，一个以点x0为中心,长度为 的2开区间
(x0 ,x称0 为点）x0的 邻域． x0称为邻域的中心，
称为邻域的半径．邻域是指开区间：
x || x x0 | , 0
二、映射
函数定义中，对每个x D，按对应法则 f ，总有唯
一确定的值 y 与之对应，这个值称为函数f 在x处的函数 值，记作f (x)，即 y =f (x).因变量 y 与自变量 x 之间的这 种依赖关系，通常称为函数关系.函数值f (x)的全体所构 成的集合称为为函数f的值域，记作 R f 或f (D)，即
a 和 b 也称为闭区间[a , b]的端点，这里a [ a , b] ， b[ a , b].
类似地可说明： [ a , b)= {x| a x < b }, ( a , b ] = {x|a<x b}.
[ a , b) 和 ( a , b] 都称为半开区间.
以上这些区间都称为有限区间.数 b –a 称这些 区间的长度.
(上的,函)数关系, 但是
对于y=x, 当x>0 时, y>0， x<0 时，y<0 ；
对于 y ，总x2有y>0 ； 因此是两个不同的函数.
例10 确定函数 y 1 的定义域. lg(3x 2)
解 : 要使函数 y 1 有意义 lg(3x 2)
须使 3x 2 0 3x 2 1
x 2,
设有两个映射
g : X Y1, f : Y2 Z 其中Y1 Y2 .则由映射 g 和 f 可以定出一个从X 到 Z 的 对应法则 ，它将每个 x X映成 f [g( x)]Z.显然，这 个对应法则确定了一个从X 到 Z 的映射 ，这个映射称 为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作 f g ，即
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合 1、集合概念
所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全 体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.
凡事物a是集合A的元素记作：a M ； 凡事物a不是集合A的元素记作：a A ； 由有限个元素组成的集合，可用列举出它的全 体的方法来表示. 例如：由元素a1,a2, ,an组成的集合A，可记作：
称为映射 f 的定义域，记作 D f ,即 D f X，X 中所
有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作
R f 或 f (X ) , 即 R f = f (X) = { f (x) | x X }.
注意：
1 、构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X ，即
定义域 D f X ;集合Y，即值域的范围： R f Y ； 对应法则 f ，使对每个x X ，有唯一确
D f =[– π , π ]，值域 R f =[–1,1]．
22
设f是从集合X到集合Y的映射，若
R
=Y，即Y
f
中
任一元素 y 都是 X 中某元素的像，则称 f为 X 到 Y 上的
映射或满射；若对 X 中任意两个不同元 x1 x2 ，它们
的像 f (x1) f (x2 )，则称 f 为 X 到 Y 的单射；若 f 映 射既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射(或双射).
A πr2
r在 (0, 内任) 取一个数值时, 由上式可确定圆
面积A的相应数值. r的取值范围为定义域； A的取值范围为值域.
例6 y=arcsin(2+x2)
对于任何实数x, 都没有按给定的规则与之对应的y 值.函数定义域不能是空集, 所以此例不是函数关系.
例7 x>y
按这个规则，每一个x值有无穷多个y与之对应. 函数定义中对应规则要求对每一个x值只有一个确定 的y值与之对应，所以此例也不是函数关系.
有唯一的 x X ，适合 f (x) = y.于是，我们可定义一个 从R f 到X 的新映射g，即
g : Rf X 对每个 y R f ，规定 g( y ) = x ，这 x 满足 f ( x ) = y. 这个映射 g 称为的 f 的逆映射，记作 f 1 ,其定义域 D f 1 R f , 值域 R f 1 X .
全体正整数的集合为N {0,1,2, ,n, };
全体整数的集合记作 Z ，即 Z { ,n, ,2,1,0,1,2, ,n, };
全体有理数的集合记作 Q Q { p | p Z,q N且q与p互质}; q
全体实数的集合记作 R ，R 为排除零的实数集
R , 为全体正实数的集.
以后如果没有特别声明，提到的数都是实数.
射，f 的定义域 D f = X ，值域 R f =Y ．在几何上，
这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上 的点投影到 x 轴的区间 [–1 , 1] 上．
例3 设f : [– π, π ][–1, 1] ，对每个x[– π , π ]，
22
22
f (x)=sin x ．这 f 是一个映射，其定义域
合，称为A与B的并集(简称并)，记作A B，即 A B={ x | x A或 x B }；
由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为 A与B的交集(简称交)，记作A B，即
A B={ x | x A 且 x B};
由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为 A与B的差集(简称差)，记作A\B，即
即
3
x 1,
y 1 的定义域为 lg(3x 2)
D (2 ,1) (1, ) 3
例11 指出y arccos 2x 的定义域.
解：要使 y arccos 2x 有意义
须使 2x 0 即 0 x 1
2x 1
2
函数 y 的定义域为 0，12
2、函数的几种特性
(1)函数有界性：设函数f(x)的定义域为D，数集X D.
数集: 元素都是数的集合.
子集: 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合 B的元素，则称A是B的子集，记作 A B (读作A 包含于B)或B A (读作 B 包含 A ).
相等: 如果集合A与集合B互为子集，即 A B 且B A ,
就称集合A与B相等，记作A=B.
例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x|x2-3x+2=0}