六年级上册数学.8 数学广角——数与形第1课时 数与形(1)

8 数学广角——数与形

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。

本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。例如，例1从图形的角度直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。例如，例2解决求和的问题，教科书利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。

小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生发展逻辑思维能力的要求，教科书在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。

1.形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决。教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合：既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律；也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形，通过学生的讨论，得出小正方形数为12，22，32，…，还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论；也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，从而对规律形成更为直观的认识。

2.充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”，从而进一步感受到“化数为形”直观、形象、简捷的特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。

第1课时数与形（1）

▶教学内容

教科书P107例1及P108“做一做”第1、2题，完成教科书P109~110“练习二十

二”中第1～3题。

▶教学目标

1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合的数学活动经验，培养学生数形结合的

数学思想意识。

2.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合的思想方法解决问题的

兴趣，感受数学的魅力。

3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想方

法。

▶教学重点

体会数形结合的思想。

▶教学难点

用自己的语言描述发现的规律。

▶教学准备

课件、不同颜色的小正方形。

▶教学过程

一、游戏激趣，导入课题

师：同学们，我们学习了几年的计算，都会吧？（会）跟老师比一比行吗?（行）

课件依次出示习题。

师生比赛，看谁算得快。（老师当然快一些）

师：你们想不想也像老师一样算得快呢？（想）老师给你们一点点提示，我是借助

图形发现计算方法的。今天这节课我们就来研究数与形。［板书课题：数与形（1）］

【设计意图】从谈话导入，通过设置悬念，激发学生学习兴趣，从而顺理成章地引

出课题。

二、形中找数，以形解数

师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿1个小正方形，

再拿3个小正方形贴在黑板上，我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成1个大正方形，

那就把它们拼成一个大的正方形。

师：接着，我观察图形和算式之间的关系，发现了可以快速算得结果的方法，你们

想不想自己试试看？

1.动画引出形与数的联系。

◎教学笔记

【教学提示】

比赛结束后，适

当引导学生观察一下

算式的特点，再说自

己的计算方法。

◎教学笔记

师：请大家认真观察屏幕上的内容。（课件动态呈现教科书P107例1）

师：通过刚才的观察，你能从图中发现哪些数的信息?请先与同桌交流，再向大家

说说你的想法。

学生活动，教师巡视。全班交流。

【学情预设】学生可能会根据图形的呈现顺序(每层个数)回答，如1(1层)、1+3(2

层)、1+3+5(3层)……；也可能根据图形的结果(正方形个数)回答，如1、4、9……

学生边回答，课件边呈现算式，教师边完成下面板书。

1＝1×1＝12

1+3=2×2=22

1+3+5=3×3=32

2.探究发现形与数的关系。

师：请大家结合图形与算式，看看能发现什么规律?拼这样的图形，一共需要多少

个小正方形?

课件集中呈现。

学生活动，教师巡视。全班交流。

【学情预设】预设1：结合算式看图形，发现图形中所包含的规律是各层小正方形

的个数之和等于层数的平方。

预设2：发现算式左边是每层图形的个数之和，右边也是。并从中发现，在计算连

续奇数的和时，用“个数”的平方来计算比较快。

预设3：发现图形和算式之间有一定的联系。也就是说，图形中的规律可以用算式

表示出来，这样，不需要再继续拼下去，就可以从算式中知道，所拼图形中一共有多少

个小正方形。

预设4：发现拼出的图形有多少层，层数的平方就是图中所有小正方形的个数。如

拼出的图形有2层，一共有22个小正方形；拼出的图形有3层，一共有32个小正方形；

拼出的图形有几层，就有几的平方个小正方形。

3.初步体会形与数的关系。

【教学提示】

避免学生将数与

形分离开观察，在此

要求学生用数表示出

图的规律。

◎教学笔记

【教学提示】

要关注学生多种

推理方法，突出学生

的思维过程，不能让

学生套用规律。