物理耦合电感与理想变压器

线圈2的总磁通2为：
2 22 12
11.1 耦合电感的伏-安关系
L1
21
L2
22
u1
N2
N1
u2
i2 (t)
(a)
当2随时间变化时，线圈2的感应电压为：
u2
d2 dt
L2
di2 dt
因为只有磁通12经过线圈1，所以它的感应电压为：
u1
d 12 dt
N1
d12
di2
di2 dtBiblioteka Baidu
M 12
di2 dt
11.1 耦合电感的伏-安关系
在耦合电赶的伏-安关系中，因自电感的电流与感应电 压都是对同一个线圈，感应电压的实际方向与线圈中 的电流符合关联参考方向。而互感是衡量一个线圈的 电流在另一个线圈中产生感应电压的能力，因此感应 电压的极性与另一个线圈的绕向有关。绕向不同，互 感磁通可能会削弱自感磁通，也可能增强自感磁通。
例11-1 求图11-5(a)，(b)中耦合电感的端电压u1,u2。
1 i1
M
i2 3
M 1 i1
i2 3
u1
L1
L2
u2
2
4
(a)
u1
L1
L2
u2
2
4
(b)
图11-5 耦合电感的电路模型
解：（a）电路，电流i1从1端流入，根据同名端的
定义，在线圈2中产生的互感电压极性一定是3端为
正。因此，电流i1在线圈2中引起的互感电压
图(b)是为了说明线圈2的感应电压极性与线圈的绕
向有关。
11.1 耦合电感的伏-安关系
L1
21
L2
设电流i1在线圈1中产生
11
的自感磁链为11，在线
i1 (t)
u1 N1
N2
u2
圈2中产生的互感磁通为 21。线圈1的总磁通1
为：
(a)
1 11 21
当1随时间变化时，线圈1的感应电压为：
u1
M21称为线圈1对线圈2的互感系数，简称互感，单位 H。通常M的值取正。
11.1 耦合电感的伏-安关系
同理，若在线圈2中通以交变的电流，线圈1的电 路开路，如图11-3所示。
L1
21
L2
22
L1
L2
22
12
u1
N2
N1
u2
i2 (t)
u2
u1
i2 (t)
(a)
(b)
图11-3 线圈2在线圈1产生的互感
M di1 dt
与线圈2的端口电压u2方向是一致的，
11.1 耦合电感的伏-安关系
1 i1
M
i2 3
因此有：
u2
L2
di 2 dt
M di1 dt
u1
L1
L2
u2
2
4
(a)
同理可得：
u1
L1
di 1 dt
M
di 2 dt
1 i1
M
u1
L1
2 (b)
L2
i2
3
u2
4
对端端u图的口1 （位电 b置流L）1与、电dd图电it1路(压a，)的中M线定相d圈d义i反t22方，同向而名 一一定u致定相2，与反因式。L此（端2 da互口di）t2感 的的电 伏uM压 安1和的 关dduit1极 系2一性 ：
d1 dt
L1
di1 dt
因为只有磁通21经过线圈2，所以线圈2的感应电压
为：
u2
d 21 dt
N2
d21
di1
di1 dt
M 21
di1 dt
11.1 耦合电感的伏-安关系
L1
21
L2
11
i1 (t)
u1 N1
N2
u2
(a)
u2
d 21 dt
N2
d21
di1
di1 dt
M 21
di1 dt
用受控电压源等效的方法表示电路中耦合线圈的互
感作用：
1 i1
M
i2 3
等效
i1
L1
i2
L2
u1
L1
L2
u2
u1 M di2
dt
M di1
u2
dt
2
4
u1
L1
di(1a) dt
M
di 2 dt
u2
L2
di 2 dt
M
di 1 dt
相量表 示
经过这样的转换，两线圈之间不再 有耦合关系。
11.1 耦合电感的伏-安关系
耦合电感元件可用相量模型表示：
I1
j M
I2
I1
j M
I2
U1
j L1
j L2
U2
U1
j L1
j L2
U2
(a)
(b)
图11-6 耦合电感的相量电路模型
对应的伏-安关系表示为： U1 jL1I1 jMI2 U2 jL2I2 jMI1
11.1 耦合电感的伏-安关系
在分析电路时耦合线圈一般用电路符号表示，不能 具体表示出元件的内部结构，实际的互感元件也看 不见线圈的绕向，因此，常在电路图中的互感线圈 上标注互感电动势极性的标记，这就是同名端的标 记。
11.1 耦合电感的伏-安关系
同名端定义：
是各取耦合线圈的一端，标上“•”或“*”号，这一 对端子称为同名端。它们之间的关系是：若设一端 是产生互感电压的电流的流入端，则另一端的是互 感电压的“+”端。反之，若一端是产生互感电压的 电流的流出端，则另一端是互感电压的“-”端。
在变压器和互感器出厂时，厂家已用同名端的标记 符号在它的外壳上标示出线圈的相对绕向。当然， 可以根据同名端的定义，也可以用实验的方法确定 同名端。
11.1 耦合电感的伏-安关系
1
i1
M
2
u1
L1
di
L2
u2 M 1
dt
u1
1'
(a)
2'
M i2
i1
M
L1
(b) M
di
L2
u2 M 1
dt
i2
当具有自电感L1、L2的两个线圈紧密靠近时，如图 11-2(a)所示。N1、N2是线圈1、2的匝数。当两个 线圈都有电流时它们的磁场相互关联的。为简化分 析，先让线圈2的电路开路。
L1
21
L2
11
i1 (t)
u1 N1
N2
u2
11
L1
N1
L2
N2
21
i1 (t )
u2
(a)
(b)
图11-2 线圈1在线圈2产生的互感
di
u1 M 1
dt
L1
L2
u2
u1 M di1
dt
L1
L2
u2
(c)
(d)
图11-4 用同名端标识耦合电感的电路模型
图11-2可简化为图11-4（a）的电路模型，图中1、2端互为同 名端，或1＇、2＇端互为同名端。图11-4(b)、(c)、(d)给出的
是另外三种情况的电路模型。
11.1 耦合电感的伏-安关系
11.1 耦合电感的伏-安关系
u1
d 12 dt
N1
d12
di2
di2 dt
M 12
di2 dt
其中，M12称为线圈2对线圈1的互感系数。
当两个线圈在同样的环境下时，可以证明，M21=M12。 因此当两线圈有耦合作用时，可省去下标，用M表示 互感。
总结：互感M的大小表明一个线圈在另一个线圈中 产生感应电压的能力。M越大，产生的感应电压越 大。
11.1 耦合电感的伏-安关系
依法拉第电磁感应定律，线圈两端的感应电压与磁 链的关系为：
u d dt
i (t )
u
感应电压与线圈电流的关系为： N
u d N d di L di
dt
di dt dt
图11-1 匝数为N的自感线圈
其中，L N d ，在这里L称为自电感。
di
11.1 耦合电感的伏-安关系