2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第22讲

答案：A
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高考总复习（文、理）
→ → 4． (2009· 名校模拟)若平面四边形 ABCD 满足AB＋CD ＝0，→ (AB → AC → －AD)· ＝0，则该四边形一定是( A．直角梯形 C．菱形 ) B．矩形 D．正方形
→ → 解析： 四边形 ABCD 满足AB＋CD ＝0 知其为平行四边形， → (AB → AC → → AC → －AD)· ＝0 即DB· ＝0，该平行四边形的对角线互相垂直，从 而知四边形 ABCD 一定是菱形．
所求向量与已知向量建立直接联系．(3)要注意方程思想的应用，有时可 正难则反，用所求向量来表示已知向量，建立方程后，解方程即可求出
未知向量．
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高考总复习（文、理）
类型三
共线问题
解题准备：用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①
观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③高考总复习（文、理）
2012高考调研
考纲要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 ． 2．掌握向量的加法和减法． 3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握
平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量 积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
[分析]
本题考查向量知识的综合应用．
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[解析]
→ (1)设OM＝ma＋nb，
→ → → 则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. → ＝OD－OA＝1b－a＝－a＋1b. AD → → 2 2 → → ∵A，M，D 三点共线，∴AM与AD共线． m－1 n ∴ ＝ ，∴m＋2n＝1.① －1 1 2 → ＝OM－OC＝ma＋nb－1a＝m－ 1a＋nb， 而CM → → 4 4
解析：向量是既有大小又有方向的量，所以零向量必有方向，又 规定零向量与任一向量平行，所以零向量是唯一的一个方向不确定的向
量，故命题①是错误的；
a a 对平面内的任一向量 a 而言， 由于| |＝1， ∴ 即是一个单位 |a| |a| 向量，由 a 的任意性，可知命题②是错误的； 共线向量即平行向量，包括方向相同的或方向相反的非零向 量及零向量，故命题③也是错误的； 由于相等向量即是长度相等且方向相同的向量，∴命题④正 确．
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高考总复习（文、理）
6．掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标 公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
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考情分析 近几年高考数学试卷中平面向量的题型多以选择题为主，重点考
查向量的概念，向量的几何表示，向量的加法和减法，实数与向量的积
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考点陪练 1.(2010· 全国Ⅱ)△ABC 中， D 在边 AB 上， 平分∠ACB， 点 CD → → → 若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD ＝( 1 2 A. a＋ b 3 3 3 4 C. a＋ b 5 5 2 1 B. a＋ b 3 3 4 3 D. a＋ b 5 5 )
③真命题．
④假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． ⑤假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． ⑥假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段． [答案] C
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[点评]
(1)本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零
向量、平行向量、相等向量、共线向量．
答案：C
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高考总复习（文、理）
点评：向量是高中数学解题的一种工具，有着十分广泛的应用． 向量和平面几何结合，是高考常见的一种题型，需要考生多多关注．
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高考总复习（文、理）
5．向量 a 和 b 的夹角的平分线上的单位向量是( A．a＋b a b C. ＋ |a| |b| a＋b B. |a＋b| |b|a＋|a|b D. ||b|a＋|a|b|
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AD AC |b| 解析： 如图， 平分∠ACB， CD 由角平分线定理得 ＝ ＝ DB BC |a| → ＝2DB＝2AB，所以CD ＝CA＋AD＝CA＋ 2AB＝CA＋ → → → → → → → → ＝2，所以AD 3 3 2 → → 2→ 1→ 2 1 (CB－CA)＝ CB＋ CA＝ a＋ b. 3 3 3 3 3
DE∥BC → 2 → 2 → ＝2A→ ⇒A E ＝3A C ＝3b， AD B 3
B →＝A→－A→＝b－a. C C B
→＝2B →＝ 2(b－a)． 由△ADE∽△ABC，得 D E C
3 3 由 AM 是△ABC 的中线，DE∥BC，得
→＝ 1D→＝1(b－a)， DN E
答案：A
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3．给出下列命题： ①零向量是唯一没有方向的向量；
②平面内的单位向量有且仅有一个；
③a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a 与c是方向相同的向量 ； ④相等的向量必是共线向量． 其中正确命题的个数是( )
A．1个
C．3个
B．2个
D．4个
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高考总复习（文、理）
何一个向量，这是用向量解题的基本功．在处理这类问题时，除了正确
利用向量的加法、减法、数乘向量外，还应注意如下解题规律：(1)尽可
能地把要用a，b表示的向量连同a，b向同一个三角形或平行四边形内转 化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解．(2)要充分利用平面几何
的一些定理、性质，善于发现相等向量、共线向量及相反向量，从而使
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3．向量的加法和减法 (1)加法 ①法则：三角形法则，平行四边形法则，加法定义即平行四 边形法则，以 a，b 为邻边作平行四边形 ABCD(取同一个起点)， → → → 即AB＝a，AD＝b，则AC即为 a，b 的和． ②运算性质： a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)； a＋0＝0＋a＝a.
答案：D
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高考总复习（文、理）
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类型一
向量的有关概念
解题准备：准确理解平面向量的有关概念，掌握否定命题的方法
如举反例等，注意零向量的特殊性．
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【典例 1】
给出下列命题：
→ → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量； → → ⑤向量AB与向量CD 是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一 条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
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2．向量的表示方法 → (1)字母表示法，如：a，AB等． (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量． → (3)代数表示法： 在平面直角坐标系中， 设向量OA的起点 O 在 → → 坐标原点，终点坐标为(x，y)，则(x，y)称为OA的坐标，记为OA＝ (x，y)．
2 3
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→＝A→＋BM ＝a＋1B→ → 而且 AM B C
2 1 1 ＝a＋ (b－a)＝ (a＋b)． 2 2 △ADN∽△ABM → 2 → 1 ⇒A N ＝3AM ＝3(a＋b)． →＝2A→ AD B 3
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[点评]
用平面内不共线的两个向量a，b可以表示出该平面内的任
，两个向量共线的充要条件，向量的坐标运算以及平面向量的数量积及 其几何意义，平面两点间的距离公式，线段的定比分点坐标公式和向量
的平移公式．在解答题中向量作为一种工具在解析几何、三角函数、数
列及立体几何中均有运用．
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高考总复习（文、理）
分析高考试题，对本章突出考查以下内容：一方面突出考查向量 的基本运算，向量平行、垂直的充要条件，但难度均不大，大多以填空
题、选择题形式出现，但随着数学改革的不断推进，向量逐渐与其他知
识点综合考查，增强了向量的工具性；另一方面是三角形中正弦定理、 余弦定理与三角恒等变形的综合应用．
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第二十二讲
平面向量的概念及运算
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高考总复习（文、理）
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回归课本 1.向量的有关概念
；④化简结果．
→ ＝1OA，OD＝1OB，AD → → → 【典例 3】 如图，在△OAB 中，OC 4 2 → → 与 BC 交于 M 点，设OA＝a，OB＝b.
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高考总复习（文、理）
→ (1)用 a，b 表示OM； (2)在已知线段 AC 上取一点 E，在线段 BD 上取一点 F，使 → → → → EF 过 M 点．设OE＝pOA，OF＝qOB. 求证： 1 3 ＋ ＝1. 7p 7q
答案：B
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2．已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C， → → → 满足 2AC＋CB＝0，则OC＝( → → A．2OA－OB 2→ 1→ C. OA－ OB 3 3 ) → → B．－OA＋2OB 1→ 2→ D．－ OA＋ OB 3 3
→ → 解析：2AC＋CB＝0， → → → → → → → ∴2(OC－OA)＋(OB－OC)＝0，∴OC＝2OA－OB.
)
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a b a b 解析： 向量 a， 方向的单位向量分别为 ， ， b 则 ＋ 为 |a| |b| |a| |b| a 和 b 夹角平分线上的向量，它与|b|a＋|a|b 共线，除以它的模||a|b |b|a＋|a|b ＋|a|b|可得，a，b 夹角平分线方向的单位向量为 . ||b|a＋|a|b|
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高考总复习（文、理）
5．两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有 一个实数λ，使得b＝λa.
6．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共
线的向量e1，e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量
的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又叫共线向
量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定0与任一向量平行．
→＝2A→，DE∥BC 交 【典例 2】 如图所示，△ABC 中，A D B 3
AC 于 E，AM 是 BC 边上的中线，交 DE 于 N，设 A →＝a，A→＝ B C b，用 a，b 分别表示向量 A →，B →，D →，D→，A →，A→. E C E N M N
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[解析]
其中假命题的个数为(
)
A．2
C．4
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B．3
D．5
高考总复习（文、理）
[分析]
根据向量的有关概念进行判断．
(1)易忽略0的方向任意性而误认为②为真命题；(2)易混淆有向线
段与向量而误认为⑥为真命题．
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高考总复习（文、理）
[解析]
①真命题．
②假命题．当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的．
(2)搞清楚向量的含义．向量不同于我们以前学习过的数量，学习
时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向 量是既有大小又有方向的量．
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高考总复习（文、理）
类型二
向量的基本运算
解题准备：正确运用向量的加、减法则及运算，掌握数乘的概念
，灵活应用数形结合思想理解向量线性运算的几何意义．
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高考总复习（文、理）
③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示
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(2)减法 ①法则：三角形法则．
②几何意义：如下图所示
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4．实数与向量的积 (1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方
向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当 λ＝0时，λa＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb.