二元一次方程组(难点、考点、易错点)

DSE 金牌数学专题系列二元一次方程组(难点、考点、易错点)一、导入:讲个故事：“从前有个太监…………………………”

有人耐不住问：“下面呢？”

继续讲故事：“下面？没了啊……”

一、知识点回顾

（一）二元一次方程组

1.二元一次方程：像x＋y＝2这样的方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程组：把两个方程x＋y＝3和2x＋3y＝10合写在一起为像这样，把两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

5.代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

6.加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法，简称加减法. （二）二元一次方程组的实际应用

列方程组解应用题的常见类型主要有：

１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；

２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.

基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；

3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；

4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速

逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速

5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.

二、专题讲解

专题一错题分析

【误解】A或D．

【思考与分析】二元一次方程组的解是使方程组中的每一个方程的左右两边的值都相

等的两个未知数的值，而中的一个方程的解，并不能让另一方程左、右两边相等，所以它们都不是这个方程组的解，只有C是正确的．验证方程组的解时，要把未知数的值代入方程组中的每个方程中，只有使每个方程的左、右两边都相等的未知数的值才是方程组的解．

【正解】C．

把式③代入式②得8-3y+3y=8，0×y=0.所以y可以为任何值.所以原方程组有无数组解．【正解】由式②得x=8-3y③

把式③代入式①得2（8-3y）+5y=-21，

解得y=37.把y=37代入式③得x=8-3×37，

解得x=-103. 所以

【例3】解方程组

【错解】方程①- ②得：－3y=0，所以y=0，把y=0，代入②得x=－2，所以原方

程组的解为

【分析】在①- ②时出错.

【正解】①- ②得：（x－2y）－（x－y）＝2－（－2）

x－2y－x＋y＝4

－y=4 y=－4

把y=－4代入②得x=－6，所以原方程组的解为

【小结】两方程相减时，易出现符号错误，所以要特别细心.

【例4】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？

错解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.

根据题意，得

把①代入②，得x=（2x-1），解得x=3.把x=3代入②，得y=5.

所以答:晚会上男生3人，女生5人.

【分析】本题错在对题中的数量关系没有弄清.每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有的男生人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数也应是除自己以外的女生人数.

正解: 设晚会上男生有x人，女生有y人.

根据题意，得

把③代入④,得

x=［2（x-1）－1－1］，

解得x=12.

把x=12代入④，得y=21.

所以

答：晚会上男生12人，女生21人.

解二元一次方程组的问题看似简单，但如果你稍不注意，就有可能犯如下错误.

【例5】解方程组

【错解】方程①＋②得：2x=4，

原方程组的解是：x=2

【错因分析】错解只求出了一个未知数x，没有求出另一个未知数y.所以求解是不完整的.

【正解】（接上）将x=2带入②得：y=0.所以原方程组的解为

【小结】用消元法来解方程组时，只求出一个未知数的解，就以为求出了方程组的解，

这是对二元一次方程组的解的意义不明确的表现.应牢记二元一次方程组的解是一组解，而不是一个解.

【例6】解方程组

【错解】由式①得y=2x-19 ③

把式③代入式②得2（2x－19－

【错因分析】“错解”在把变形后的式③代入式②时，符号书写出现了错误．当解比较复杂的方程组时，应先化简，在求出一个未知数后，可以将它代入化简后的方程组里的任意一个方程中，求出第二个未知数，这样使得运算方便，避免出现错误．

【正解一】化简原方程组得

【正解二】化简原方程组得

①×6+②得17x=114，

【小结】解二元一次方程组可以用代入法，也可以用加减法．一般地说，当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，用代入法比较方便；当两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法比较方便．