应用多元统计分析习题解答_因子分析

第七章因子分析
7.1
试述因子分析与主成分分析的联系与区别。

答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、 简化数据的技术。

②
两种分析的求解过程是类似的，
都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。

因
子分析可以说是主成分分析的姐妹篇， 将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。

因子分
析也可以说成是主成分分析的逆问题。

如果说主成分分析是将原指标综合、
归纳，那么因子
分析可以说是将原指标给予分解、演绎。

因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标 变换到变异程度大的方向上为止，
突出数据变异的方向， 归纳重要信息。

而因子分析是从显
在变量去提炼潜在因子的过程。

此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因 子模型。

7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？
答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，
通过具体指标测评抽象因子的统计分析方
法。

目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。

具体来说，①因子 分析可以用于分类。

如用考试分数将学生的学习状况予以分类；
用空气中各种成分的比例对 空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。

即是探索未能观察的或不能观
测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。

对我们进一步研究与探讨指示方向。

在社会调查
分析中十分常用。

③因子分析的另一个作用是用于时空分解。

如研究几个不同地点的不同日
期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判 断各自的影响和变化规律。

7.3 简述因子模型、一 m 卜中载荷矩阵A 的统计意义。

答：对于因子模型
X i PF W2F 2
• O j Fj •… WmF m
；i
i =1,2,…，p
X i 与F j 的协方差为:
m
Cov(X i , F j ) =Cov(' a ik F k 「F j )
kT
m
= Cov(' a ik F k ,F j ) Cov( ；i ,F j )
k d
=a ij
若对X i 作标准化处理，=a 0 ,因此a jj —方面表示X i 对F j 的依赖程度；另一方面也反映了 变量X i 对公共因子F j 的相对重要性。

m
变量共同度h ；八 a j 2
i =1,2,…，p
j 4
a 11
821
因子载荷阵为A =二1
a l2 a 22
a p2
a 1m
a 2m
= (A,A 2, ,A m )
a pm
2 2 2 2 2
D(X i^a i1D(F1pHa i2D(F2^1 +a im D(F m pH D^, h +d i说明变量X i的方差由
两部分组成：第一部分为共同度h：,它描述了全部公共因子对变量X j的总方差所作的贡献，反映了公共因子对变量X i的影响程度。

第二部分为特殊因子；i对变量X i的方差的贡献，通常称为个性方差。

p
而公共因子F j对X的贡献g2 a：j =1,2,…，m
i £
表示同一公共因子F j对各变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量每一个公共因子相对重
要性的一个尺度。

7.4在进行因子分析时，为什么要进行因子旋转？最大方差因子旋转的基本思路是什么？
答：因子分析的目标之一就是要对所提取的抽象因子的实际含义进行合理解释。

但有时直接根据特征根、特征向量求得的因子载荷阵难以看出公共因子的含义。

这种因子模型反而是不
利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很难对因子的实际背景进行合理的解释。

这时需要通过因子旋转的方法，使每个变量仅在一个公共因子上有较大的载荷，而在其余的公共因
子上的载荷比较小。

最大方差旋转法是一种正交旋转的方法，其基本思路为：
①
A
p 其中令A = A『二(a ij )p m, d ij =a j/h i d j _ d：
, * * * - 1
p im
A的第j列元素平方的相对方差可定义为V j二丄7 (df-d j)2
p id：
② V -V1V m
最大方差旋转法就是选择正交矩阵r,使得矩阵A*所有m个列元素平方的相对方差之和达
到最大。

7.5试分析因子分析模型与线性回归模型的区别与联系。

答：因子分析模型是一种通过显在变量测评潜在变量， 计分析方法的模型。

而线性回归模型回归分析的目的是设法找出变量间的依存 (数量)关系,
用函数关系式表达出来。

因子分析模型中每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和。

即
X j =&応+a 2F 2+…+a m F m +色,(i …p )
该模型可用矩阵表示为：x =AF + e
而回归分析模型中多元线性回归方程模型为：
是偏回归系数,
二
2
正态性：随机误差(即残差) e 服从均值为0,方差为
x ，残差e 的条件方差为cr 2
,且口为常数； x 的条件
下，残差e 的条件期望值为0 (本假设又称零均值假
设)
无自相关性：各随机误差项 e 互不相关。

两种模型的联系在于都是线性的。

因子分析的过程就是一种线性变换。

)'来描述， 在因子分析时，从
约相
,所以找前两个特
征值所对应的公共因子即可， 又知对应的正则化特征向量分别为
(0.707,-0.316,0.632)
及(0, 0.899 , 0.4470 )',要求：
通过具体指标测评抽象因子的统
是常数项, 因子模型满足: (1) m<p ;
(2) Cov(F , 9=0，即公共因子与特殊因子是不相关的;
01
(3) D F =D( F )=
_1 ，即各个公共因子不相关且方差为
1;
m
(4)
馬
2
，即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。

而回归分析模型满足( 态分布；(2)等方差：对于所有的自变量 立性：在给定自变量 +的正 (3)独 ；(4)
7.6 设某客观现象可用 关阵出发计算出特征值为 「： -
由于
(1) 计算因子载荷矩阵 A ,并建立因子模型。

(3) 计算第一公因子对 X 的“贡献”。

0,936 0 \
10.413 0.899 1
0.837 0.4470/
I 建立因子模型为
(2)
(3)因为是从约相关阵计算的特征值，所以公共因子对X 的“贡献”为
7.7利用因子分析方法分析下列 30个学生成绩的因子构成，并分析各个学生较适合学文科
(
2 77 77 76 64 70 55
3 67 63 49 65 67 57
4 80 69 7
5 74 74 63
5 74 70 80 84 81 74
6 78 84 75 62 71 64
7 66 71 67 52 65 57
8 77 71 57 72 86 71
9 83 100 79 41 67 50
10 86 94 97 51 63 55
11 74 80 88 64 73 66
12 67 84 53 58 66 56
13 81 62 69 56 66 52
14 71 64 94 52 61 52
15 78 96 81 80 89 76
16 69 56 67 75 94 80
17 77 90 80 68 66 60
18 84 67 75 60 70 63
19 62 67 83 71 85 77
20 74 65 75 72 90 73
21 91 74 97 62 71 66
22 72 87 72 79 83 76
23 82 70 83 68 77 85
24 63 70 60 91 85 82
25 74 79 95 59 74 59
26 66 61 77 62 73 64
27 90 82 98 47 71 60
28 77 90 85 68 73 76
29 91 82 84 54 62 60
30 78 84 100 51 60 60
解:令数学成绩为X i,物理为X2，化学为X3 ,语文为X4，历史为X5,英语为X i,用S P S S 分析学生成绩的因子构成的步骤如下：
1.在SPSS窗口中选择Analyze^ Data Reduction^ Factor,调出因子分析主界面，并将六个变量移
入Variables框中。

图7.1因子分析主界面
2•点击Descriptives按钮，展开相应对话框，见图7.2。

选择Initial solution复选项。

这个选项给出各因子的特征值、各因子特征值占总方差的百分比以及累计百分比。

单击
Continue按钮，返回主界面。

園Factor Analysis:: Descriptives
图子对话框
3•点击Extraction按钮，设置因子提取的选项，见图7.3。

在Method下拉列表中选择
因子提取的方法，SPSS提供了七种提取方法可供选择，一般选择默认选项，即“主成分法”。

在Analyze栏中指定用于提取因子的分析矩阵，分别为相关矩阵和协方差矩阵。

在Display 栏中指定与因子提取有关的输出项，如未旋转的因子载荷阵和因子的碎石图。

在Extract栏中指定因子提取的数目，有两种设置方法：一种是在Eigenvaluesover后的框中设置提取的
因子对应的特征值的范围，系统默认值为1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二种
设置方法是直接在Number of factors后的矩形框中输入要求提取的公因子的数目。

这里我们均选择系统默认选项，单击Continue按钮，返回主界面。

图7.3 Extraction子对话框
4.点击Rotation按钮，设置因子旋转的方法。

这里选择Varimax（方差最大旋转），并选择Display栏中的Rotated solution复选框，在输出窗口中显示旋转后的因子载荷阵。

单击Continue按钮，返回主界面。

图7.4 Rotation子对话框
5•点击Scores按钮，设置因子得分的选项。

选中Save as variables复选框，将因子得分作为新变量保存在数据文件中。

选中Display factor score coefficient matrix复选框，这样在结果输出窗口中会给出因子得分系数矩阵。

单击Continue按钮返回主界面。

图7.5 Scores子对话框
6.单击0K按钮，运行因子分析过程。

结果分析：
表7.1旋转前因子载荷阵表7.2旋转后因子载荷阵
从表7.1中可以看出，每个因子在不同原始变量上的载荷没有明显的差别，为了便于对因子进行命名，需要对因子载荷阵进行旋转，得表7.2。

经过旋转后的载荷系数已经明显地两
极分化了。

第一个公共因子在后三个指标上有较大载荷，说明这三个指标有较强的相关性，可以归为一类，属于文科学习能力的指标；第二个公共因子在前三个指标上有较大载荷，同
样可以归为一类，这三个指标同属于理科学习能力的指标。

根据表7.3易得：
F1 =0.064X1 0.085X2 0.137X3 0.332X4 0.378X5 0.432X6
F2 =0.439X1 0.400X2 0.484X3 0.014X4 0.073X5 0.169X6
表7.3因子得分系数矩阵
将每个学生的六门成绩分别代入F1、F2，比较两者的大小，F1大的适合学文，
F2大的适合学理。

计算结果为学号是1、16、24的学生适合学文，其余均适合学理。

7.8某汽车组织欲根据一系列指标来预测汽车的销售情况，为了避免有些指标间的相关关系
影响预测结果，需首先进行因子分析来简化指标系统。

下表是抽查欧洲某汽车市场7个品牌
不同型号的汽车的各种指标数据，试用因子分析法找出其简化的指标系统。

品牌价格发动机功率轴距宽长轴距燃料容
量
燃料
效率
A 21500 1.8 140 101.2 67.3 172.4 2.639 13.2 28 A 28400 3.2 225 108.1 70.3 192.9 3.517 17.2 25
A 42000 3.5 210 114.6 71.4 196.6 3.850 18.0 22
B 23990 1.8 150 102.6 68.2 178.0 2.998 16.4 27 B 33950 2.8 200 108.7 76.1 192.0 3.561 18.5 22
C 26990 2.5 1/0 107.3 C 33400 2.8 193 107.3 C 38900 2.8 193 111.4
D 21975 3.1 175 109.0 D 25300 3.8 240 109.0 D 31965 3.8 205 113.8 D 27885 3.8 205 112.2
E 39895 4.6 275 115.3 E 39665 4.6 275 108.0 E 31010 3.0 200 107.4 E 46225 5.7 255 117.5
F 13260 2.2 115 104.1 F 16535 3.1 170 107.0 F 18890 3.1 175 107.5 F 19390 3.4 180 110.5 F 24340 3.8 200 101.1 F 45705 5.7 345 104.5 F 13960 1.8 120 97.1 F 9235 1.0 55 93.1 F 18890 3.4 180 110.5
G 19840 2.5 163 103.7 G 24495 2.5 168 106.0 G 22245 2.7 200 113.0 G 16480 2.0 132 108.0 G 28340 3.5 253 113.0 G 29185 3.5 253 113.0 68.4 176.0 3.1/9 16.6 —26 68.5 176.0 3.197 16.6 24 70.9 188.0 3.472 18.5 25 72.7 194.6 3.368 17.5 25 72.7 196.2 3.543 17.5 23 74.7 206.8 3.778 18.5 24 73.5 200.0 3.591 17.5 25 74.5 207.2 3.978 18.5 22 75.5 200.6 3.843 19.0 22 70.3 194.8 3.770 18.0 22 77.0 201.2 5.572 30.0 15 67.9 180.9 2.676 14.3 27 69.4 190.4 3.051 15.0 25 72.5 200.9 3.330 16.6 25 72.7 197.9 3.340 17.0 27
74.1 193.2 3.500 16.8
25 73.6 179.7 3.210 19.1 22 66.7 174.3 2.398 13.2 33 62.6
149.4 1.895 10.3 45 73.0 200.0 3.389 17.0 27 69.7 190.9 2.967 15.9 24
69.2 193.0 3.332 16.0
24 74.4 209.1 3.452 17.0 26 71.0 186.0 2.911 16.0 27 74.4 207.7 3.564 17.0 23 74.4 197.8 3.567 17.0 23
解：令价格为X1，发动机为X2,功率为X3,轴距为X4,宽为X5，长为X6，轴距为X7,燃 料容量为X8,燃料效率为X9,用SPSS 找简化的指标系统的具体步骤同
7.7。

此时在系统默认情况下提取因子，结果是只抽取了一个成分，从方差贡献来看，前三个 成分贡献了 90.9%，因此重复因子分析过程，并在第三步
Extraction 子对话框中的Number of
factors 后的矩形框中输入 3,即为要提取的公因子的数目。

因子分析结果如下：
表7.4旋转后的因子得分系数矩阵
咸常揖分系数矩阵
其简化了指标体系为 F1、F2、F3，从旋转后的因子得分系数矩阵得： F1 =-0.399X1 —0.015X2 —0.060X3 0.305X4 0.354X5 0.599X6 0.036X7 —0.186X8 —0.071X9 F2 =0.289X1 - 0.525X2 0.700X3 —0.344X4 0.195X5 —0.100X6 —0.291X 7 —0.221X 8 0.082X9 F 3 =0.342X1 -0.278X2 -
0.409X3 0.241X4 -0.338X5 -0.332X6
0.494X7 -0.651X8 -0.239X9 7.9根据人均GDP 、第三产业从业人员占全部从业人员的比重、
第三产业增加值占 GDP 的比
重、人均铺装道路面积、万人拥有公共汽电车、万人拥有医生、百人拥有电话机数、万人拥
有高等学校在校学生人数、人均居住面积、百人拥有公共图书馆藏书、人均绿地面积等十一 项指标对目前我国省会城市和计划
单列市的城市化进行因子分析，并利用因子得分对其进行
排序和评价。

（数据可从《中国统计年鉴》查获）
（略）
7.10根据习题5.10中2003年我国省会城市和计划单列市的主要经济指标数据，利用因子分析法对其进行排序和分类，并与聚类分析的结果进行比较。

解：对其进行因子分析的步骤与7.7相同，结果如下：
表7.5特征根与方差解释分析表
由表可知，提取的两个因子方差贡献达到了。

表7.6旋转后的因子得分系数矩阵
成常得分系数描阵
由上面的因子得分矩阵可知：
F1 - £.093X1 -0.100X2 0.167X3 0.258X4 • 0.219X 5 0.248X6 -0.057X 7 0.086X8 - 0.233X9
F2 =0.315X1 0.316X2 -0.103X3 -0.097X4 0.017X5 -0.022X6 0.282X7 0.169X8-0.008X9
与主成分分析中计算综合得分同理，用 F ^F1 -F2进行加权，得排序：
送人Z
分类具有一定的主观性，只要合理即可。

聚类分析的结果见 5.11，可将两者进行比较。