刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律

0
系统（子弹+棒） 外力： 重力、轴的作用力
方向？
vo
2
对轴的力矩为零
角动量守恒
或
mlv0 I
1 2 mlv0 mlv ( Ml ) (v l ) 3
3mv 0 /( M 3m )l
1 2 ( I ' I1 I 2 ml Ml ) 3
动量守恒？
结合本章教材习题 7.3.6（打击中心） ，在什么情况 下，上页例题中系统（子弹与杆）的动量在碰撞打击前后 保持守恒？
[解] 分别以质点 m 和转动系统 I+I0 作为研究对象，受力
分析如图. y
FT2 FT1
FT1r ( I I 0 )
FN
mg FT2 ma
O
x
a r
h
FT1 FT2
1 2 gt 2
W
gt 2 I mr 2 ( 1) I 0 2h
[例题] 如图所示，将一根质量为 m 的长杆用细绳从两端水平 地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？
4 m 2m M
[讨论] ① M>>m ② M<<m
作 业：
7.4.3. 思 考： 7.4.1.
例:
已知均匀直杆(l ,M),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止 在竖直位置，有一子弹（m.vo)水平射入而不复出。求杆与子弹 一起运动时的角速度.
解：
子弹进入到一起运动，瞬间完成.
2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在 水平方向上动量是否守恒？
4、机械能是否守恒？
刚体的重心
重心——刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点. 如图,被悬挂刚体处于静止,C为重心,因C不动,可视为
转轴.因为刚体静止,所以诸体元重力对C 轴合力矩为零.
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
以子弹和杆为系统
动量不守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
例: 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平 位置时, 有一只小虫以速率v 0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并 背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为 m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率 向细杆端点爬行? 解: 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰 撞前后系统角动量守恒
in ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
讨论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
下面几种情况系统的动量、角动量和机械能 是否守恒？
则
O
vi

Байду номын сангаас
t2
t1
Mdt dL L2 L1
L1
L2
刚体作定轴转动的转动 惯量 I 保持不变，则

t2
t1
Mdt dL L2 L1 I 2 I 1
L1
L2
刚体定轴转动的角动量定理
刚体角动量定理：

t2
t1
Mdt I2 I1
作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。 非刚体定轴转动的角动量定理
I
i i
i
const.
但角动量可在内部传递。
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M 讨论
守 恒条件:
0 ，则
L I 常量
M 0
若 I 不变， 不变；若 I 变， 也变，但 L I 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 在冲击等问题中


M M L 常量
yF t I
t 为作用时间
y
F
由质心运动定理：
l d 切向： F Rx m 2 dt
于是得到： R (1 3 y ) F x 2l
法向： R mg m l y
2
2
9 F 2 y 2 (t ) 2 R y mg 2l 3m
[例题] 如图所示，一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒 的角速度 ，已知棒长为 l ，质量为 M.
[解] 设杆长为2l ，质心运动定理和转动定理给出绳断的一刹 那的运动方程：
mg T mac
mgl I
2
式中转动惯量 I m(2l ) 3 。因在此时刻 悬绳未断的一端的速度为0，从而在质心 的加速度和角加速度之间有 如下关系： 得绳中张力
ac l
T mg 4.
现在讨论力矩对时间的积累效应。
※ 现在讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： dL 对点： M 外 dt
M 外 dt dL （质点系的角动量定理） 如果 M 外 0 ，则 L 常量 （角动量守恒定律）
※ 对于定轴转动质点系： 如果 M z 0 ， Lz 常量（定轴角动量守恒定律） 则
系统对轴的角动量守恒 m
2 1 2l ( I ' I1 I 2 m( l ) 2 Ml 2 ) v0 I 3 3 3 2l 2l 1 2 2l m v0 m v ( Ml ) (v ) 3 3 3 3
6mv0 /(3M 4m)l
碰撞前后系统的动量： P mv0 1
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学） ：
结 论：
一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动 量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其 成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对 称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任 一点的角动量与角速度的方向相同.
（可以不是刚体，也可以是一个或几个刚体）
※ 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动（对轴）的角动量
2 L mi ri vi mi ri ( ri )= ( mi ri ) i
L I
i
i

ri
mi
z
2. 刚体定轴转动的角动量定理 dL d( I ) M dt dt
p1 p2
P2 mv Mvc
(v l 2)
所以，系统（子弹与杆）的相互作用力作用在打击中心时， 动量在碰撞打击前后保持守恒.
例：质量为M，长为 l 的均匀棒，如图，若用水平力打击在离轴下
y 处，求：轴反力
解：轴反力设为 Rx R y 由转动定理： 得到：
Ry
Rx
d yF I dt
l 1 l 2 2 mv0 ml m( ) 4 12 4
12 v 0 7 l
12 v0 7 l
由角动量定理
dL d ( I ) dI M dt dt dt
即
d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt
y
A B C D D W B C
z
A
x C
W
Wi
Wi ( x i xc ) 0
xc
Wi xi
W
yc
Wi yi
W
zc
Wi z i
W
若取
Wi mi g
则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量 中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作 用线通过的那一点.
2
人— ，盘— （对地的角位移） d d m 1 2 dt dt

I1d I 2 d
1 2 0
2
1 M 2
I d I d
0
2m 2 2m M
例：
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2, 转轴光滑,人的质量m,开始时， 两者静止．求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过 的角度．
67 mg ，质点O 对闸门钢 即起动瞬时绳对闸板的拉力为 90
架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90.
(2) 用 FT 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛
顿第二定律，得：
FT
FT mg ma
11 FT mg 10
W
比较上面结果，可见提升弧形闸门 所用的拉力较小.

t2
t1
Mdt I 22 I11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
dLz 若 M 0 ，则 Mz dt
L I 常量
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若M
0 ，则
L I 常量
若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此固定 轴的角动量守恒。
-------对定轴的角动量守恒 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 当 M 0时，
典型例子
[例题]如图(a)表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中
左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴
7 9
2 处，闸 R 3
门及钢架对质点的总转动惯量为 I mR 2 ,可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为 重力加速度,不计摩擦,不计水浮力.
y FN
FT
O 图(a)
W
x
FNx ma c x
FT mg FNy ma c y
根据转动定理
2 7 FT R mg R mR 2 z 3 9
起动时
ac x 0
ac y
2 zR 3
a z R
67 FT mg 90
FNx 0
FNy
29 mg 90
解：在走动过程中,人－盘系统 L=const. 设任意时刻，人对盘: ；盘对地: 则有 mR2 ( ) 1 MR 2 0 2
2m 2m M
2m dt dt 2m M



0
2m d 2m M

2
0
d
考虑到
t
12v0 dr g 7lg v cos t cos( t) dt 2 24v0 7l
例：圆盘（R，M），人（m）开始静止，人
走一周，求盘相对地转动的角度.
1 I 2 MR 2 2
解： 系统对转轴 角动量守恒
M=0
I11 () I 22 0
I1 mR
[解] 以 f 代表棒对子弹的阻力，对于子弹有

3 fdt m(v v0 ) mv0 4
M
v0
l
子弹对棒的反作用力 f 对棒的冲量矩为
m v
f ldt l f dt I
由 ff
3mv0l 9mv0 4I 4Ml
思考题：
1、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？
图(a)
（1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门[图(b)]
需拉力是多少？
FT
W
图(b)
[解]（1）以弧形闸门及钢架 为隔离体，受力如图(a)所示. 建立直角坐标系Oxy， 根据质心运动定理 FT FN W mac 向x及y轴投影得
图(b)
[例题]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待
测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定 滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动 惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线 的长度不变. I I0 h r m