选修《不等式选讲》测试题
不 等 式 选 讲 测 试 题
1．若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )
(A)22b a > (B)1 (D)b a )21()21(< 2．不等式32->x
的解集是( ) (A ) )32,(--∞ (B) )32,(--∞),0(+∞Y (C) )0,32(-),0(+∞Y (D) )0,3
2(- 3．不等式125x x -++≥的解集为( )
(A) (][)+∞-∞-,22,Y (B) (][)+∞-∞-,21,Y (C) (][)+∞-∞-,32,Y (D) (][)+∞-∞-,23,Y
4．若0n >,则232n n +
的最小值为 ( ) (A) 2
(B) 4 (C) 6 (D) 8 5．若A=(3)(7)x x ++，B=(4)(6)x x ++，则A ，B 的大小关系为__________.
6．设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：
1）()()()8a b b c c a abc +++>；
2）a b c ab bc ca ++>++.
7.．已知x ，y R ∈，求证222x y +≥2()2
x y + 8．如图1，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大
9．已知a ，b ，0c >，且不全相等，求证222222
()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.
10． 已知1a ，2a ，…，+∈R a n ，且121=n a a a Λ，求证n n a a a 2)1()1)(1(21≥+++Λ. 11.已知x ，0>y ，且2>+y x .试证：y x +1，x
y +1中至少有一个小于2.
12.求函数x x y 21015-+-=的最大值.
13. 已知122=+b a ，求证θθsin cos b a +≤1.
14. 已知12=+y x ，求22y x +的最小值.
15. 已知10432=++z y x ，求222z y x ++的最小值.
16. 已知a ，b ，c 是正数，求证
2229a b b c c a a b c ++≥+++++. 17.证明：)(53+∈+N n n n 能够被6整除.
18. 设,,a b c R +∈,求证：32
a b c b c c a a b ++≥+++.
不 等 式 选 讲 答 案
1.D .提示：注意函数1()2x y =的单调性；
2.B .提示：先移项，再通分，再化简；
3.D .提示：当x ≤－2时，原不等式可以化为(1)(2)x x ---+≥5，
解得x ≤－3，即不等式组2125x x x ≤-???-++≥??的解集是(,3]-∞-.
当21x -<<时，原不等式可以化为(1)(2)x x --++≥5，
即3≥5，矛盾.所以不等式组21125x x x -<
当x ≥1时，原不等式可以化为(1)(2)x x -++≥5，解得x ≥2， 即不等式组1125
x x x ≥???-++≥??的解集是[2,)+∞.
综上所述，原不等式的解集是(,3][2,)-∞-+∞U ;
4.C . 提示：22
323222n n n n n +=++;
5. A B <.
提示：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系.
因为(3)(7)(4)(6)x x x x ++-++22
(1021)(1024)x x x x =++-++30=-<
所以(3)(7)(4)(6)x x x x ++<++;
6．提示：a b +≥Q b c +≥Q ，c a +≥Q 分别将以上三式相乘或相加即可;
7.提示: 222222222()()2()2442
x y x y x y x y xy x y +++++++=≥=; 8.提示: 设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则
当且仅当224a x a x x -=-=，即当6
a x =时，不等式取等号，此时V 取最大值3227a .即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16
时，盒子容积最大. 9.分析：观察欲证不等式的特点，左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积，右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.
证明：因为22b c +≥2bc ，0a >，所以22
()a b c +≥2abc . ①
因为22c a +≥2ac ，0b >，所以22()b c a +≥2abc . ②
因为22a b +≥2ab ，0c >，所以22
()c a b +≥2abc . ③ 由于a ，b ，c 不全相等，所以上述①②③式中至少有一个不取等号，把它们相加得222222()()()6a b c b a c c a b abc +++++>.
10．提示：观察要证明的结论，左边是n 个因式的乘积，右边是2的n 次方，再结合121=n a a a Λ，发现如果能将左边转化为1a ，2a ，…，n a 的乘积，问题就能得到解决.
证明：因为+∈R a 1，所以11112
1a a a =?≥+，即1121a a ≥+. 同理，2221a a ≥+，……n n a a 21≥+.因为1a ，2a ，…，+∈R a n ，由不等式的性质， 得n n n n a a a a a a 22)1()1)(1(2121≥≥+++ΛΛ.
因为1=i a 时，i i a a 21≥+取等号，所以原式在121====n a a a Λ时取等号.
11. 提示：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外，如果从正面证明，需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论，而从反面证明，则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法. 证明：假设y x +1，x y +1都不小于2，即21≥+y x ，且21≥+x
y . 因为x ，0>y ，所以y x 21≥+，且x y 21≥+.把这两个不等式相加，得)(22y x y x +≥++， 从而2≤+y x .这与已知条件2>+y x 矛盾.因此，y x +1，x
y +1都不小于2是不可能的，即原命题成立.
12. 提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为bd ac +的形式就能利用柯西不等式求其最大值.
解：函数的定义域为[]5,1，且0>y . 当且仅当x x -?=-?5512时，等号成立，即27
127=x 时函数取最大值36.
13.提示: cos sin a b θθ+=
1
14.提示: 22222221(2)(12)()5()x y x y x y =+≤++=+Q 2215x y ∴+≥
. 15.提示: 2222222100(234)(234)()x y z x y z =++≤++++Q 222100.29x y z ∴++≥
16.提示:111[2()]()a b c a b b c c a
+++++++ 17. 提示：这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证1=n 时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k k 53+能够被6整除的前提下，证明)1(5)1(3+++k k 也能被
6整除.
证明：1）当1=n 时，653
=+n n 显然能够被6整除，命题成立.
2）假设当)1(≥=k k n 时，命题成立，即k k 53+能够被6整除.
当1+=k n 时， 6)1(3)5(3++++=k k k k .
由假设知k k 53
+能够被6整除，而)1(+k k 是偶数，故)1(3+k k 能够被6整除，从而6)1(3)5(3++++k k k k 即)1(5)1(3+++k k 能够被6整除.因此，当1+=k n 时命题成立. 由1）2）知，命题对一切正整数成立，即)(53+∈+N n n n 能够被6整除;
18.证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：
91112a b c b c c a a b +++++≥+++ 即只须证：111[2()]()9a b c b c c a a b
++++≥+++ 由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。
（法二）由对称性，不妨设：0a b c ≥≥>,则111b c c a a b
≥≥+++， 所以：（顺序和）a b c b c a b c c a a b b c c a a b
++≥++++++++（乱序和） （顺序和）a b c c a b b c c a a b b c c a a b
++≥++++++++（乱序和） 将以上两式相加即得：32a b c b c c a a b ++≥+++.