非齐次线性方程解法

d2x dt 2

2
dx dt

3x

et
2 2 3 0 3, 1
~x t Aet Atet
d2x dt 2

2
dx dt

3x

(t
2

1)et
x t0 (At2 Bt C)et (At2 Bt C)et
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
~x t k (B0t m B1t m1 Bm1t Bm ) e t
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
例1
求方程
d2x dt 2

2
dx dt

3x

3t
1
的通解.
解 1 先求对应齐次方程的通解

B~0t m

B~1t m1

B~m1t

B~m
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
d k1~x dt k 1

B~0 t m1 m 1

B~1 m
tm

B~mt

~x t k ( 0t m 1t m1 m )
2 2 3 0 3, 1
通解 c1e t c2e3t
2 用比较系数法求一特解
0不是特征根， 则方程有形如 ~x At B 的特解
2A 3(At B) 3t 1
3
3A 3 2A 3B 1
通解 x c1et
类型Ⅱ/Type Two/
f (t) [ A(t) cos t B(t) sin t]e t
其中 , 为实数， A(t), B(t) 是 t
的实系数多项式
max(A(t),B(t)) m
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
~x 1 tet
4
4
3
通解
x

c1e t
c2e3t

1 tet 4
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
例3
求方程
d3x dt 3

3
d2x dt 2

3
dx dt

x

e t
(t

5) 的通解
解 1 3 32 3 1 0 1,2,3 1
L[x]
dnx dt n
a1
d n1x dt n1
an1
dx dt an x
f (t)
(4.32)
1） 0 f (t) b0t m b1t m1 bm1t bm
（1） 0 不是特征根 F(0) 0 an 0
要证明(4.32)有解 ~x B0t m B1t m1 Bm1t Bm
d2x dt 2

2
dx dt

3x

3t

1
et
2 2 3 0 3, 1
特解 At B A 1, B 1
3
~x1

t

1 3
特解 Atet A 1
4
~x2


1 4
tet
x

c1e3t
c2et
t

1 3

1 4
tet
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
f (t) A(t) e( i )t e( i )t 2
i B(t) (e( i )t e( i )t ) 2
A(t) iB(t) e( i )t A(t) iB(t) e( i )t
2
2
f1(t) f2 (t)
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
结论2 方程(4.32)有特解
~x t k [P(t) cos t Q(t) sin t]et
P(t),Q(t) 是次数不高于 m 的多项式，
k 由 i 决定
当 i 是特征方程 F() 0 的根时，k 为重数
当 i 不是特征方程 F() 0 的根时，k 0
L[x] f1(t) f2 (t)
若 L[x] f1(t) 有特解 ~x1(t) L[x] f2 (t) 有特解 ~x2 (t)
则 L[x] f1(t) f2 (t) 有特解
~x1(t) ~x2 (t)
练习
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
即证明 Bi 能由已知条件唯一确定。
事实上，将其代入方程， 比较同次幂的系数，得
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
an B0 b0
an B1 an1mB0 b1 an B2 an1 (m 1)B1 an2m(m 1)B0 b2
0 ,1,, m 为确定的数。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
2）如果 0 引入 x ye t
dnx dt n

a1
d n1x dt n1

an1
dx dt

an x

et
Pm
(t)

an Bm an1Bm1 2an2 Bm2 bm
an 0 B0 , B1,, Bm 可唯一确定。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
（2） 0 是 k 重特征根
~x t k (B0t m B1t m1 Bm1t Bm )
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
当 是(4.32) 的 k 重特征根，
则0就是 (4.37) 的 k 重特征根
~y t k (B0t m B1t m1 Bm1t Bm )
(4.32)有特解为
f (t) (b0t m b1t m1 bm1t bm ) e t
其中 , b0 , b1,, bm 为确定的实常数。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
结论1 当方程(4.32)中右端函数 f (t)为以上类型时， 方程 (4.32) 有一特解为以下形式
4.2.3 非齐次线性方程解法
------比较系数法与拉普拉斯变换法
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
dnx L[x] dtn
a1
d n1x dt n1
an1
dx dt
an x

f
(t)
(4.32)
当 不是(4.32) 对应齐次方程的特征根，
则 0 就不是(4.37)的特征根。
利用1）的讨论，故 (4.37)有形如以下的特解
~y B0t m B1t m1 Bm1t Bm x yet (4.32)有形如
~x et (B0t m B1t m1 Bm1t Bm ) 的特解
d nk z dt nk

a1
d nk 1z dt nk 1
ank z
f (t)
(4.36)
对方程(4.36) ， ank 0
0 不是 (4.36) 的特征根， 有如下形式的特解
~z B~0tm B~1tm1 B~m1t B~m
d k ~x dt k
2 e t sin t e( i )t e( i )t
2i
1 i(e( i )t e( i )t ) 2
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
f (t) [ A(t) cos t B(t) sin t]e t
~x t k (B0t m B1t m1 Bm1t Bm ) e t
其中 B0 , B1,, Bm 为待定系数， k 由(4.32) 对应的特征方程 F () 0 来决定，
是特征根时， k 为 的重数， 不是特征根时， k 0
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
2 -1是特征根， ~x t Aet Atet
~x Aet Atet
~x Aet Aet Atet 2Aet Atet
2 Ae t Atet 2( Ae t Atet ) 3Atet et
A1
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
e( i )t [cos t i sin t]e t
e( i )t [cos t i sin t]e t
e t cos t e( i )t e( i )t
(c1 c2t c3t 2 )e t
2 设 ~x t 3 ( At B)et
A 1 B5
24
6
3
x

(c1

c2t

c3t 2 )et

1 t 3 (t 24

20)e t
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
(4.32)
dny dt n

A1
d n1 y dt n1

An1
dy dt

An
y

b0t
m

bm
(4.37)
A1, A2 ,, An 为确定的常数。
当 是(4.32) 的 k 重特征根，
则0就是 (4.37) 的 k 重特征根
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
显然
______
ai (i 1,2,, n) 为常数， f (t) 为连续函数。
令 D d
dt
L D n a1D n1 an1D an
L 为线性微分算子。
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
L[x] f (t)
其特征方程为
n a1n1 ank k 0
也就是 an an1 ank1 0 ank 0
原方程为
dnx dt n

a1
d n1 x dt n1


ank
dkx dt k

f (t)
令 dkx z dt k
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
L[x] 0
相 加
F () n a1n1 an 0
特解
基本wk.baidu.com组或通解
常数变易法
比较系数法与拉普拉斯变换法
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
（一）比较系数法/Comparison Coefficients Method/ 类型Ⅰ/Type One/
c2e3t
t
A
1 3
1, B

1 3
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear ODE
例2 求方程 解 1 1, 3
d 2 x 2 dx 3x et 的通解 dt 2 dt
x c1et c2e3t