三角形内角和定理
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ห้องสมุดไป่ตู้
想把它证明出来，一直证了一千多年也没
人成功！
平行公理
证明？失败！！！
高斯当时被誉为数学界的最高权威，他发 现了第五公设（平行公理）是不能证明的，而 从第五公设的否定，可以引出“三角形内角和 小于180°......”这种全新的几何内容把他吓 住了，他一直不敢公布这个发现。
非欧几何的发现
匈牙利21岁的数学家鲍耶也醉心于研究第
应该相信谁？
思考： 三角形内角和是180°吗？
你能用手中的三角形纸板 验证你的结论吗？
思考：
求证：三角形内角和是180° 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
A
几何语言：
∠A+∠B+∠C=180°
B
C
推论：
直角三角形两锐角互余
为什么？
B E
D
C
练习1
在△ABC中，
(1)∠A=25°,∠B=78°，则∠C的度数是多少？
(2)∠C=55°,∠B-∠A=10°，则∠A的度数是多少？ (3)∠B-∠A-∠C=50°，则∠B的度数是多少?
(4)若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠C的度数是多少？
练习2
如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°,
例2
三角形中，最大角等于最小角的2倍，最
大角又比另一角大20°,则此三角形的最小角
是多少度？
例3 如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D， DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF的度数
是 .
A
F E B D C
变一变：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，
A F
DE⊥AB于E，∠EDB=22°， ∠AFD=158°，那么FD⊥BC吗？
A
几何语言：
∵∠C = 90°
证明直角的方法：
∵∠A +∠B = 90° ∴∠C = 90°
B
C
∴∠A +∠B = 90°
例1
在△ABC中，
(1)∠A=80°,∠B=∠C,则∠B的度数是多少？ (2)∠C=90°,∠A=30°，则∠B的度数是多少？
(3)∠A-∠C=35°，∠B-∠A=20°，则∠B的度数 是多少？
五公设的证明，他不顾父亲的劝阻，夜以继日
顽强的探索，终于得到了和高斯同样的结果，
当他把自己的发现告诉高斯，得知高斯已先于
他发现了非欧几何的时候，他伤心失望了，停
止了对非欧几何的研究。
非欧几何的发现
俄国数学家罗巴切夫斯基经过独立的探索，登
上了成功的顶峰。他大胆的保留了除平行公理
以外的全部欧几里得的几何公理，然后加进自
） C.55° D.45°
则∠D的度数为（ A.35°
B
A E
B.65°
C
D
例4 如图，在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A,BD⊥AC于D,求∠DBC的度数.
A
D
B
C
练习3
如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的两
条角平分线，BD与CE交于点O，∠A=80°，则
∠BOC的度数是 .
A
E O D
B
C
THAT'S ALL THANK YOU
式也改变了，因为这些公式都是以三角形内角和
等于180°为依据的。 在罗巴切夫斯基公布他的非欧几何38年后， 德国数学家黎曼又发现了另一种非欧几何，在这 种几何里，三角形内角和大于180° 。
到底三角形内角和是多少？回答是：它们在
现实中都是正确的，都非常有用。在视线范围的 地平线内，欧式几何是适用的，当我们的视野扩 大到宏观世界（如天文学研究的宇宙）或微观世 界（例如原子核论）时，则要应用非欧几何。爱 因斯坦就是受到非欧几何的启发才发现相对论的 ，他经过计算预言：光线经过太阳附近会弯曲 1.75°，1979年，在西非附近普林西普群岛发生 的日全食观测，证实了这个结论，全世界都很震 惊。 所以，欧式几何和非欧几何都是成立的。
己的罗氏公理：“过已知直线外一点至少可以
做两条直线与已知直线共面不相交”，他公布
了自己发现的非欧几何，使几何学开辟了新天
地。
非欧几何的发现
三角形内角和一定是180°吗 ？ 把欧氏平行公理换成罗氏平行公理以后，几
何学的变化真是不可思议了！许多奇怪的结论产
生了：三角形的内角和将小于180°了，矩形也
不存在了......不但平面几何面目全非，连许多公
我们现在学习的几何知识是古希腊著名数学
家欧几里得在总结前人经验的基础上创立的，他
的著作《几何原本》把发展了四百年的几何学条
理化、系统化的展示出来，成为一部传世之作，
一直发展、沿用到今天。他所创立的几何学被称
为“欧式几何”，他被誉为“几何之父”。
不过，《几何原本》中的第五公设（即
平行公理）却引发了大家的兴趣，大家都
想把它证明出来，一直证了一千多年也没
人成功！
平行公理
证明？失败！！！
高斯当时被誉为数学界的最高权威，他发 现了第五公设（平行公理）是不能证明的，而 从第五公设的否定，可以引出“三角形内角和 小于180°......”这种全新的几何内容把他吓 住了，他一直不敢公布这个发现。
非欧几何的发现
匈牙利21岁的数学家鲍耶也醉心于研究第
应该相信谁？
思考： 三角形内角和是180°吗？
你能用手中的三角形纸板 验证你的结论吗？
思考：
求证：三角形内角和是180° 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
A
几何语言：
∠A+∠B+∠C=180°
B
C
推论：
直角三角形两锐角互余
为什么？
B E
D
C
练习1
在△ABC中，
(1)∠A=25°,∠B=78°，则∠C的度数是多少？
(2)∠C=55°,∠B-∠A=10°，则∠A的度数是多少？ (3)∠B-∠A-∠C=50°，则∠B的度数是多少?
(4)若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠C的度数是多少？
练习2
如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°,
例2
三角形中，最大角等于最小角的2倍，最
大角又比另一角大20°,则此三角形的最小角
是多少度？
例3 如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC于D， DE⊥AB于E，∠AFD=158°，则∠EDF的度数
是 .
A
F E B D C
变一变：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，
A F
DE⊥AB于E，∠EDB=22°， ∠AFD=158°，那么FD⊥BC吗？
A
几何语言：
∵∠C = 90°
证明直角的方法：
∵∠A +∠B = 90° ∴∠C = 90°
B
C
∴∠A +∠B = 90°
例1
在△ABC中，
(1)∠A=80°,∠B=∠C,则∠B的度数是多少？ (2)∠C=90°,∠A=30°，则∠B的度数是多少？
(3)∠A-∠C=35°，∠B-∠A=20°，则∠B的度数 是多少？
五公设的证明，他不顾父亲的劝阻，夜以继日
顽强的探索，终于得到了和高斯同样的结果，
当他把自己的发现告诉高斯，得知高斯已先于
他发现了非欧几何的时候，他伤心失望了，停
止了对非欧几何的研究。
非欧几何的发现
俄国数学家罗巴切夫斯基经过独立的探索，登
上了成功的顶峰。他大胆的保留了除平行公理
以外的全部欧几里得的几何公理，然后加进自
） C.55° D.45°
则∠D的度数为（ A.35°
B
A E
B.65°
C
D
例4 如图，在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A,BD⊥AC于D,求∠DBC的度数.
A
D
B
C
练习3
如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的两
条角平分线，BD与CE交于点O，∠A=80°，则
∠BOC的度数是 .
A
E O D
B
C
THAT'S ALL THANK YOU
式也改变了，因为这些公式都是以三角形内角和
等于180°为依据的。 在罗巴切夫斯基公布他的非欧几何38年后， 德国数学家黎曼又发现了另一种非欧几何，在这 种几何里，三角形内角和大于180° 。
到底三角形内角和是多少？回答是：它们在
现实中都是正确的，都非常有用。在视线范围的 地平线内，欧式几何是适用的，当我们的视野扩 大到宏观世界（如天文学研究的宇宙）或微观世 界（例如原子核论）时，则要应用非欧几何。爱 因斯坦就是受到非欧几何的启发才发现相对论的 ，他经过计算预言：光线经过太阳附近会弯曲 1.75°，1979年，在西非附近普林西普群岛发生 的日全食观测，证实了这个结论，全世界都很震 惊。 所以，欧式几何和非欧几何都是成立的。
己的罗氏公理：“过已知直线外一点至少可以
做两条直线与已知直线共面不相交”，他公布
了自己发现的非欧几何，使几何学开辟了新天
地。
非欧几何的发现
三角形内角和一定是180°吗 ？ 把欧氏平行公理换成罗氏平行公理以后，几
何学的变化真是不可思议了！许多奇怪的结论产
生了：三角形的内角和将小于180°了，矩形也
不存在了......不但平面几何面目全非，连许多公
我们现在学习的几何知识是古希腊著名数学
家欧几里得在总结前人经验的基础上创立的，他
的著作《几何原本》把发展了四百年的几何学条
理化、系统化的展示出来，成为一部传世之作，
一直发展、沿用到今天。他所创立的几何学被称
为“欧式几何”，他被誉为“几何之父”。
不过，《几何原本》中的第五公设（即
平行公理）却引发了大家的兴趣，大家都