第三章静电场边值问题
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证明： （反证法） 2. 唯一性定理的重要意义
• 唯一性定理为静电场问题的多种解法(镜像法、试探解、数值解、解析解等）提供 了思路及理论根据。
3.2 镜像法
3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
1.平面导体的镜像
边值问题：
2 0
0
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
s D dS q
2 2 2 0 （阴影区域）
x 2 y 2
U ( xb,0 yb及yb,0xb)
0
图3.1.3 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 ( x2 y 2 a2 , x0, y0 )
x
0 ( x0,b ya)
y
0 ( y 0,b xa )
••••
数学模拟法 物理模拟法
•••• 图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，
铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源
U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
p
q
4 0r1
q'
4 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rbcos
图3.2.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
er
0ra ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分
方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；
再由 E 得到电场强度E的分布。
3.1.2 静电场中解的唯一性定理 1. 唯一性定理
在静电场中, 满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普 拉斯方程)的解是唯一的,称之为静电场的唯一性定理( Uniquness Theorem )
C3
a 2 2 0
,
C2
a3 3 0
电位：
1(r)
60
(3a2
r2)
2
(r)
a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
0ra ar
E1 (r )
1
1
r
er
r 3 0
er
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
例3.1.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解:
图3.1.4 体电荷分布的球形域电场
采用球坐标系,分区域建立方程
2 1
1 r2
d dr
(r 2
d1 )
dr
0
22
1 r2
d dr
(r 2
d2 dr
个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例3.2.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷q 离地面高度为h，则
Ep E E
（方向指向地面）
Ep
2
q 4 0r 2
cos
qh 2 0 (h2
x2 )3/ 2
p
0E p
qh 2(h2 x2 )3/ 2
d1和d2，求平面上的感应电荷作用在电荷q上的力。
解： 利用镜像法得
q1 q
d1
q
q2 q
d2
q3 q
y
F F1 F 2F3
q2
d1
d1
q
q2
F1 y 4 0 (2d2 )2
d2 d2
q3
o d1
d1
d2 d2
q1
x
F2
x
4
q2 0 (2d1)2
F3
S f1(s)
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第二类 边界条
件
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
n S f2 (s)
1 2
1
1
n
2
2
n
参考点电位
lim r 有限值 r
第三类 边界条件
为什么说第二类 边与界导条体件上给n定S电 荷f2 (分s)
4 0
q2 (2d1)2 (2d2 )2
3/ 2
2d1
x 2d2
y
百度文库
3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
2 0 （除q点外的导体球外空间) 0
r
导球面 0
2) 设镜像电荷 q位于球内,球面上任一点电位为
整个地面上感应电荷的总量为
图3.2.2 点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布
S pdS
0
qh 2(h2 x2
)3/ 2
2xdx
qh
(h2
1 x2 )1/ 2
0
q
例 两个相交成直角的半无限大导体平面间有一个点电荷q，与两平面的距离分
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)
r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)
C3 r
C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
一、二类边界
条件的线性组
合，即
(
)
n S
f3 (s)
布或边界是电力线的条 件是等价的？
图3.1.1 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
解析法
数值法 实测法 模拟法 定性 定量
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
第三章 静电场边值问题的解析解
边值问题的分类和解的唯一性定理 镜像法 复变函数法 分离变量法 点电荷密度的delta函数表示 格林函数法
3.1 边值问题的分类和解的唯一性定理
3.1.1 静电场的边值问题
边值问题
微分方程
边界条件
2
2 0
第一类 边界条件
已知场域边界 上各点电位值
（S 为包围 q 的闭合面）
上半场域边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区 域）
q q 0 （导板及无穷远处） 4 0r 4 0r
图3.2.1 平面导体的镜像
s D dS q
（S 为包围q 的闭合面）
镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的
• 唯一性定理为静电场问题的多种解法(镜像法、试探解、数值解、解析解等）提供 了思路及理论根据。
3.2 镜像法
3.2.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
1.平面导体的镜像
边值问题：
2 0
0
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
s D dS q
2 2 2 0 （阴影区域）
x 2 y 2
U ( xb,0 yb及yb,0xb)
0
图3.1.3 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 ( x2 y 2 a2 , x0, y0 )
x
0 ( x0,b ya)
y
0 ( y 0,b xa )
••••
数学模拟法 物理模拟法
•••• 图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，
铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源
U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
p
q
4 0r1
q'
4 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rbcos
图3.2.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
er
0ra ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分
方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；
再由 E 得到电场强度E的分布。
3.1.2 静电场中解的唯一性定理 1. 唯一性定理
在静电场中, 满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普 拉斯方程)的解是唯一的,称之为静电场的唯一性定理( Uniquness Theorem )
C3
a 2 2 0
,
C2
a3 3 0
电位：
1(r)
60
(3a2
r2)
2
(r)
a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
0ra ar
E1 (r )
1
1
r
er
r 3 0
er
E2 (r )
2
2
r
er
a2 30r 2
例3.1.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解:
图3.1.4 体电荷分布的球形域电场
采用球坐标系,分区域建立方程
2 1
1 r2
d dr
(r 2
d1 )
dr
0
22
1 r2
d dr
(r 2
d2 dr
个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例3.2.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷q 离地面高度为h，则
Ep E E
（方向指向地面）
Ep
2
q 4 0r 2
cos
qh 2 0 (h2
x2 )3/ 2
p
0E p
qh 2(h2 x2 )3/ 2
d1和d2，求平面上的感应电荷作用在电荷q上的力。
解： 利用镜像法得
q1 q
d1
q
q2 q
d2
q3 q
y
F F1 F 2F3
q2
d1
d1
q
q2
F1 y 4 0 (2d2 )2
d2 d2
q3
o d1
d1
d2 d2
q1
x
F2
x
4
q2 0 (2d1)2
F3
S f1(s)
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
第二类 边界条
件
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
n S f2 (s)
1 2
1
1
n
2
2
n
参考点电位
lim r 有限值 r
第三类 边界条件
为什么说第二类 边与界导条体件上给n定S电 荷f2 (分s)
4 0
q2 (2d1)2 (2d2 )2
3/ 2
2d1
x 2d2
y
百度文库
3.2.2 点电荷对导体球面的镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
2 0 （除q点外的导体球外空间) 0
r
导球面 0
2) 设镜像电荷 q位于球内,球面上任一点电位为
整个地面上感应电荷的总量为
图3.2.2 点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布
S pdS
0
qh 2(h2 x2
)3/ 2
2xdx
qh
(h2
1 x2 )1/ 2
0
q
例 两个相交成直角的半无限大导体平面间有一个点电荷q，与两平面的距离分
)
0
(0 r a) (a r )
积分之，得通解
1( r
)
r 2 60
C1
1 r
C2
2(
r
)
C3 r
C4
边界条件
1 ra
2 ra
0
1
r
ra
0
2
r
ra
1 r0 有限值 2 r 0 参考点电位
解得 C1 0 C4 0
一、二类边界
条件的线性组
合，即
(
)
n S
f3 (s)
布或边界是电力线的条 件是等价的？
图3.1.1 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
解析法
数值法 实测法 模拟法 定性 定量
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
第三章 静电场边值问题的解析解
边值问题的分类和解的唯一性定理 镜像法 复变函数法 分离变量法 点电荷密度的delta函数表示 格林函数法
3.1 边值问题的分类和解的唯一性定理
3.1.1 静电场的边值问题
边值问题
微分方程
边界条件
2
2 0
第一类 边界条件
已知场域边界 上各点电位值
（S 为包围 q 的闭合面）
上半场域边值问题：
2 0
（除 q 所在点外的区 域）
q q 0 （导板及无穷远处） 4 0r 4 0r
图3.2.1 平面导体的镜像
s D dS q
（S 为包围q 的闭合面）
镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的