如何求线性规划问题的最优解(1)

精心策划
答 案 会 出 错） ；（ ４） 借 助 可 行 域 确 定 函 数 的 最 优 解 高
（ 如果是实际问题， 则应从实际角度审 查最优解） ， 二 版 进而作答．
目标函数最优解有些唯一， 有些不唯一， 有些
有无穷个， 有些不存在．如何求最优解呢？ 例析如下：
一、最优实数解的求法．
最优实数解的求法是： 平移法．
名师点金
问
题
的
如最
何优
求 线
解
性湖
规南
周
划
玉 英
数
求线性目标函数在线性约束条件下的最大
学
爱 （ 小） 值问题， 统称为线性规划问题．使目标函数取得
好 者 最大值或最小值的解叫最优解．求最优解的具体步
专 骤是（： １） 依题意， 设出变量， 建立目标函数；（ ２） 列出 业 Ｓ 线 性 约 束 条 件 ；（ ３） 作 出 可 行 域（ 图 形 要 准 确 ， 否 则
２ｘ＋３ｙ＝０
ｙ 表示斜率为－ ２ ， １ ｚ 为纵截距的直线方程， 函数 ｚ ３３
取最大值的最优整数解，
即是直线纵截距
１ ３
ｚ
取最
大值时对应的正整数 ｘ， ｙ．先作出直线 ｙ＝－ ２ ｘ，再将 ３
直 线 向 右 上 方 平 移，由 图 ２ 可 知，直 线 过 点 Ｍ 时 ｚ＝
! ! ｘ＋２ｙ＝８ ｘ＝２
“Ａｌｌ ｗｈｏ ｗａｎｔ ｔｏ ｇｏ ｔｏ ｈｅａｖｅｎ， ｐｌｅａｓｅ ｒｉｓｅ．”Ｅｖｅｒｙｏｎｅ ｇｏｔ ｕｐ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈｅ ｓｎｏｒｅｒ． Ａｆｔｅｒ ｗｈｉｓｐｅｒｉｎｇ
“Ｂｅ ｓｅａｔｅｄ”， ｔｈｅ ｍｉｎｉｓｔｅｒ ｓｈｏｕｔｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｔｏｐ ｏｆ ｈｉｓ ｖｏｉｃｅ，“Ａｌｌ ｔｈｏｓｅ ｗｈｏ ｗａｎｔ ｔｏ ｂｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｉｌ，
下） ， 若可行域“顶点”不是整点或不 包括边界时， 应
先求出最优实数解， 整数解的位置应是在可行域内
接近该解（ 点） 的地方．确定整数解的方法：一是用网
络线将线性区域分解为若干个整解点； 二是在原来
的最优解附近试值．
例 ２ 某 工 厂 家 具 车 间 造 Ａ、Ｂ 型 两 类 桌 子，每
张桌子需木料和漆工两道工序完成．已知木工做一
例１
#%ｘ＋ｙ－ １≤０ 已 知 ｘ、ｙ 满 足 下 列 条 件 $%%ｘ－ ｙ－ １≤０ 则
% %
&%ｘ＋２ｙ＋１≥０
函数 ｚ＝ｘ－ ２ｙ 的最大值为 ， 此时（ ｘ， ｙ） 是
．
解析
如图，
作出可行域，
由
ｚ＝ｘ－ ２ｙ
得
ｙ＝
１ ２
ｘ－
１ ｚ， 此 时 可 看 成 为 ｙ 表 示 ２
ｘ＋ｙ－ １＝０
移到点 Ａ 时， 直线 ｙ＝ １ ｘ－ １ ｚ 的纵 截 距－ １ ｚ 最 小，
２２
２
则函数 ｚ 有最大值．
’ｘ－ ｙ－ １＝０
由
(
)
%%ｘ＝
%%
$
１ ３
， 得 Ａ（ １ ， － ２ ） ， 将 Ａ
ｘ＋２ｙ＋１＝０
%
%%%ｙ＝－
&
２ ３
３３
点坐标代入函数
ｚ＝ｘ－ ２ｙ 得
ｚｍａｘ＝
１ ３
＋２×２３
＝
ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｒｍｏｎ．Ａｓ ｔｈｅ ｍａｎ ｗａｓ ｓｎｏｒｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｏｎｔ ｒｏｗ ｏｎｅ Ｓｕｎｄａｙ， ｔｈｅ ｐｒｅａｃｈｅｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ
ｈｅ ｗｏｕｌｄ ｔｅａｃｈ ｈｉｍ ｎｏｔ ｔｏ ｓｌｅｅｐ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｒｍｏｎ． Ｓｏ， ｉｎ ａ ｗｈｉｓｐｅｒ， ｈｅ ａｓｋｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｇｒｅｇａｔｉｏｎ．
ｙ
斜率为 １ ， － １ ｚ 为纵截距
ｘ－ ｙ－ １＝０
２２
Ｏ
ｘ
的直线方程， 要求函数 ｚ ｘ－ ２ｙ＝０ Ａ
ｘ＋２ｙ＋１＝０
的最优解， 即求直线 ｙ＝－ １
２
!" 数学爱好者 ２００６·８
ｘ－
１ ２
ｚ 的纵截距－
１ ２
ｚ 取 最 小 值 时 的 实 数 ｘ， ｙ．
先作
出 直 线 ｙ＝ １ ｘ， 再 将 直 线 平 移 ， 由 图 可 知，当 直 线 下 ２
能获利润最大？
解析 设每天生产 Ａ 型桌子 ｘ 张， Ｂ 型桌子 ｙ
*ｘ＋２ｙ≤８
%
张， 则 ｘ， ｙ 满足 $%%３ｘ＋ｙ≤９ ，
%
ｘ， %%
&
ｙ
Ｎ
目 标 函 数 为：ｚ＝２ｘ＋３ｙ，
作出可行域如右图．由目标
函 数 得 ｙ＝－ ２ ｘ＋ １ ｚ， 此 时 ３３
ｙ ３ｘ＋ｙ＝９
Ｍ Ｏ
ｘ ｘ＋２ｙ＝８
５ ３
．
∴所求最大值为 ５ ， 最优解为 Ａ（ １ ， － ２ ） ．
３
３３
点评 准确作出可行域， 是准确求出最优解的
关键．
二、最优整数解的求法．
最 优 整 数 解 的 求 法 一 般 是：若 可 行 域“ 顶 点 ”处
恰 为 整 点 ， 那 么 它 就 是 最 优 解（ 在 包 括 边 界 的 情 况
者
专 业Ｓ
或 第 一 种 钢 板 ６ 张 ， 第 二 种 钢 板 ７ 张 ， 得 所 需 三 种 精心策划
规格的钢板， 且使所用钢板面积最小．
高
点评 要准确求出最优整数解， 必须准确作出
二
版
可行域， 特别在最优解附近试值时一定要结合可行
域的特点， 详细列出可能的整点， 并认真仔细的检
验， 以免漏解．
名师点金
%’ｘ＋ｙ≥１２
’
则
ｘ，
ｙ
满足
’’’２ｘ＋ｙ≥１５
&
，
目标函数为
ｚ＝ｘ＋２ｙ，
作
’’ｘ＋３ｙ≥２７
’
’
(’ｘ， ｙ Ｎ
出可行域如右下图． 由目标函数得 ｙ＝－ １ ｘ＋ １ ｚ， 先 ２２
ｙ
作 出 直 线 ｙ＝－ １ ｘ， 再 ２
２ｘ＋ｙ＝１５
将直线向右上方平
移，由图可知， 直线过 点 Ａ 时 ｚ＝ｘ＋２ｙ 有 最
张 Ａ、Ｂ 型桌子分别需要 １ 小时和 ２ 小时，漆工 油漆
一张 Ａ、Ｂ 型桌子分别需要 ３ 小时和 １ 小时；又知木
工和漆工每天工作分别不得超过 ８ 小时和 ９ 小时，
工 厂 造 一 张 Ａ、Ｂ 型 桌 子 分 别 获 利 润 ２ 千 元 和 ３ 千
元， 试 问 工 厂 每 天 应 生 产 Ａ、Ｂ 型 桌 子 各 多 少 张，才
ａｒｅ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｎｅｓ ｆｏｒ ｉｔ．”
瞌睡者
牧师非常生气， 因为总有一个人在他说教时打瞌睡．一个星期天， 正当坐在前排的那个人又在瞌睡时， 牧师决
定要好好教育他一下， 让他不 要再在布道时睡觉．于是他 低声对信徒们说：“想去天堂 的 人 ， 都 请 站 起 来 吧．”所 有
的 人 都 站 了 起 来— ——当 然 ， 除 了 那 个 打 瞌 睡 的 人．在 低 声 说 过 请 坐 后 ， 牧 师 高 声 喊 道 ：“ 想 去 下 地 狱 的 人 请 站 起
来！ ”打瞌睡的人被这突然的喊叫声惊醒了， 他站了起来．看到牧师高站在教坛上， 正生气的看着 他．这个人说道：
“噢， 先生， 我不知道我们在选什么， 但看上去只有你和我是候选人．”
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数学爱好者 ２００６·８ !"
ｐｌｅａｓｅ ｒｉｓｅ．”Ａｗａｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｓｔａｒｔ， ｔｈｅ ｓｌｅｅｐｙ － ｈｅａｄ ｊｕｍｐｅｄ ｔｏ ｈｉｓ ｆｅｅｔ ａｎｄ ｓａｗ ｔｈｅ ｐｒｅａｃｈｅｒ
ｓｔａｎｄｉｎｇ ｔａｌｌ ａｎｄ ａｎｇｒｙ ｉｎ ｔｈｅ ｐｕｌｐｉｔ，“Ｗｅｌｌ， ｓｉｒ， ”ｈｅ ｓａｉｄ，“Ｉ ｄｏｎ’ｔ ｋｎｏｗｗｈａｔ ｗｅ’ｒｅ ｖｏｔｉｎｇ ｏｎ， ｂｕｔ ｉｔ ｌｏｏｋｓ ｌｉｋｅ ｙｏｕ ａｎｄ ｍｅ
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轻松一刻
Ａ Ｈｅ ａ ｖｙ Ｓ ｌｅ ｅ ｐｅ ｒ Ｔｈｅ ｐｒｅａｃｈｅｒ ｗａｓ ｖｅｘｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｍｅｍｂｅｒ ｏｆ ｈｉｓ ｃｏｎｇｒｅｇａｔｉｏｎ ａｌｗａｙｓ ｆｅｌｌ ａｓｌｅｅｐ
块数如下表：
规格类型 钢板类型
Ａ 规格
Ｂ 规格
Ｃ 规格
第一种钢板
１
２
１
第二种钢板
１
１
３
每张钢板的面积：第一种为 １ｍ２， 第二种为 ２ｍ２， 今 需 要 Ａ、Ｂ、Ｃ 三 种 规 格 的 成 品 各 １２、１５、２７ 块，问 各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且 使所用钢板面积最小？
解析 设需第一种钢板 ｘ 张，第二种钢板 ｙ 张， 所用钢板面积为 ｚｍ２，
２ｘ＋３ｙ 有 最 大 值．由
" ， 得 Ｍ（ ２， ３） ．即
３ｘ＋ｙ＝９ ｙ＝３
最优整数解为（ ２， ３） ．
答 每天应生产 Ａ 型桌子 ２ 张， Ｂ 型桌子 ３ 张，
才能获最大利润．
例 ３ 要 将 两 种 大 小 不 同 的 钢 板 截 成 Ａ、Ｂ、Ｃ
三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的
ｘ
Ｏ
ｘ＋３ｙ＝２７
ｘ＋ｙ＝１２
ｘ＋２ｙ＝０
) 小 值．由
ｘ＋３ｙ＝２７ 得 Ａ（
９ ， １５ ） ，
ｘ＋ｙ＝１２
２２
∵点 Ａ（ ９ ， １５ ） 不 是 可 行 域 内 的 整 点 ， 点 ２２
（ ４， ７） ，（ ４， ８） ，（ ５， ７） ，（ ５， ８） ，（ ６， ７） ，（ ６， ８） 都 在 Ａ
点附近， 将它们代入线性约束条件检验，即经过验值
得 ， 满 足 约 束 条 件 的 点 有（ ４， ８） ，（ ６， ７） ，（ ５， ８） ，（ ６， 数 学
８） ， 但 只 有 当 直 线 ｙ＝－ １ ｘ＋ １ ｚ 过 点（ ４， ８） 和（ ６， ７） ２２
爱 好
时，函数 ｚ 有最小值， 且 ｚｍｉｎ＝４＋２×８＝２０． 答 应截第一种钢板 ４ 张， 第二种钢板 ８ 张，