chapter7-0 数学物理方程导论
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10
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数， n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数。
uxy 2 y x
通解：
u(x,
y)
d
2u xy
2
dx1dyx2 y
(
2Fy(
x)x)Gdx(dyy)
dxdy 2
特解： dduxud(x,y)
[
(x2yy2
x1)dxy2 ]ydx 2
2x4[
y 25x2y sinf
ux
u x
,uy
u y
,, uxx
2u x2
,
utt
a 2u xx
f
(r , t)
方程的阶 : 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数
自由项: 偏微分方程中不含有未知函数及其偏导数的项
自由项等于零
齐次方程 自由项不等于零
非齐次方程
3
偏微分方程基本概念
线性方程 : 对未知函数和未知函数的所有（组合）偏
2.非齐次线性偏微分方程的解的特性：
特解 u I
非齐次方程的通解
对应齐次方程的通解 u II
u I u II
7
定解条件：初始条件
初始条件：确定体系的历史状况
初始条件的个数：等于方程中对时间偏导的最高阶数
ut
a22u
f
(r , t )
u x, y, z,t |t0 x, y, z
utt
a22u
f (r,t)
2u
f (r )
双曲方程 Hyperbolic
抛物方程 Parabolic
椭圆方程 Elliptic
2u
2u
2u
u
u
A(x, y) B(x, y) C(x, y) D(x, y) E(x, y) F (x, y)u G(x, y)
x2
xy
y2
x
y
B2 4AC
5
偏微分方程的通解和特解
数学物理方程导论
1
分析 讨论
数学物理方程： 是某一类（或几 类）物理现象所 必需遵循的规律
实际物理问题
数学问题
定解条件：
定解问题
唯一地、确定地 描写某一个具体
的物理过程。
泛定方程 （数学物理方程）
？
定解条件
求解
适定性
2
偏微分方程基本概念
偏微分方程 : 含有未知多元函数及其偏导数的方程
F (x, y,,u, u , u ,, 2u , 2u , 2u ,) 0 x y x2 y2 xy
y( x)]dx
u( x, y) [ y2 xy f ( x)]dx xy2 1 x2 y G( y) f ( x)dx
2
6
线性偏微分方程解的特征
线性叠加原理
1.齐次线性偏微分方程的解的特性：
c, c1, c2为常数
(1)当 u 为方程的解时，则 cu 也为方程的解；
(2)若 u1, u2 为方程的解，则 c1u1 c2u2 也是方程的解；
u(r ,t) n
rB
f
rB
(r , t )
f (r,t)
第一类边界条件（Dirichlet条件） 第二类边界条件(Neumann条件)
(u cun )
rB
f
(r , t )
第三类边界条件(混合边界条件)
f (r,t) 0
齐次边界条件
9
定解问题的适定性
解的存在性: 即定解问题是否有解 解的惟一性: 即看是否只有一个解 解的稳定性: 即看解是否是稳定的
f (r,t)
u x, y, z,t |t0 x, y, z
2u
f (r )
ut x, y, z,t |t0 x, y, z
稳定问题不需要初始条件！
8
定解条件：边界条件
边界条件：反应体系和外界的界面上的情况
常见的边界条件：三类
[u
un
]
rB
f (r,t)
u(r , t )
导数的幂次数都是一次
uxx uyy 0
非线性方程: ut uux 0
冲击波方程
ut uux uxxx 0
KdV方程
4
物理学中常见的数学物理方程
二阶线性偏微分方程（组）
波动方程
热传导方程 （扩散方程）
Poisson方程 Laplace方程
utt
a22u
f (r,t)
ut
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a22u
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数， n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数。
uxy 2 y x
通解：
u(x,
y)
d
2u xy
2
dx1dyx2 y
(
2Fy(
x)x)Gdx(dyy)
dxdy 2
特解： dduxud(x,y)
[
(x2yy2
x1)dxy2 ]ydx 2
2x4[
y 25x2y sinf
ux
u x
,uy
u y
,, uxx
2u x2
,
utt
a 2u xx
f
(r , t)
方程的阶 : 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数
自由项: 偏微分方程中不含有未知函数及其偏导数的项
自由项等于零
齐次方程 自由项不等于零
非齐次方程
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偏微分方程基本概念
线性方程 : 对未知函数和未知函数的所有（组合）偏
2.非齐次线性偏微分方程的解的特性：
特解 u I
非齐次方程的通解
对应齐次方程的通解 u II
u I u II
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定解条件：初始条件
初始条件：确定体系的历史状况
初始条件的个数：等于方程中对时间偏导的最高阶数
ut
a22u
f
(r , t )
u x, y, z,t |t0 x, y, z
utt
a22u
f (r,t)
2u
f (r )
双曲方程 Hyperbolic
抛物方程 Parabolic
椭圆方程 Elliptic
2u
2u
2u
u
u
A(x, y) B(x, y) C(x, y) D(x, y) E(x, y) F (x, y)u G(x, y)
x2
xy
y2
x
y
B2 4AC
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偏微分方程的通解和特解
数学物理方程导论
1
分析 讨论
数学物理方程： 是某一类（或几 类）物理现象所 必需遵循的规律
实际物理问题
数学问题
定解条件：
定解问题
唯一地、确定地 描写某一个具体
的物理过程。
泛定方程 （数学物理方程）
？
定解条件
求解
适定性
2
偏微分方程基本概念
偏微分方程 : 含有未知多元函数及其偏导数的方程
F (x, y,,u, u , u ,, 2u , 2u , 2u ,) 0 x y x2 y2 xy
y( x)]dx
u( x, y) [ y2 xy f ( x)]dx xy2 1 x2 y G( y) f ( x)dx
2
6
线性偏微分方程解的特征
线性叠加原理
1.齐次线性偏微分方程的解的特性：
c, c1, c2为常数
(1)当 u 为方程的解时，则 cu 也为方程的解；
(2)若 u1, u2 为方程的解，则 c1u1 c2u2 也是方程的解；
u(r ,t) n
rB
f
rB
(r , t )
f (r,t)
第一类边界条件（Dirichlet条件） 第二类边界条件(Neumann条件)
(u cun )
rB
f
(r , t )
第三类边界条件(混合边界条件)
f (r,t) 0
齐次边界条件
9
定解问题的适定性
解的存在性: 即定解问题是否有解 解的惟一性: 即看是否只有一个解 解的稳定性: 即看解是否是稳定的
f (r,t)
u x, y, z,t |t0 x, y, z
2u
f (r )
ut x, y, z,t |t0 x, y, z
稳定问题不需要初始条件！
8
定解条件：边界条件
边界条件：反应体系和外界的界面上的情况
常见的边界条件：三类
[u
un
]
rB
f (r,t)
u(r , t )
导数的幂次数都是一次
uxx uyy 0
非线性方程: ut uux 0
冲击波方程
ut uux uxxx 0
KdV方程
4
物理学中常见的数学物理方程
二阶线性偏微分方程（组）
波动方程
热传导方程 （扩散方程）
Poisson方程 Laplace方程
utt
a22u
f (r,t)
ut
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ a22u