组合的性质
组合讲义
组合一、基本定义及性质1、组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2、组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3、组合数公式：(1)(2)(1)!m mnnmmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n-=,,(n m N m n ≤∈*且4、组合数的性质1：mn n m n C C -=．规定：10=n C ；5、组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC二、典型例题 例1、（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？例2、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？例3、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：例6、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？例7、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？例8、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本例9、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？例10、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？例11、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？例12、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？例13、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B、C两校必选，且B在C前问：此考生共有多少种不同的填表方法？例14．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？例15．在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，问：比赛开始时参赛者有多少人？三、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）A ．42B ．21C ．7D ．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对4．设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素，且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 （ ）A ．42B ．21C ．7D ．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n 五边形有 条对角线9．计算：（1）315C ；（2）3468C C ÷．10．,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,a b c d e 这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合14．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是 ；15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 ； 16．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 ；17．集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，从两个集合中各取出1个元素，不同方法的种数是 ．18、从1,2,3,,20 这20个数中选出2个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_ 种不同选法19．正12边形的对角线的条数是 ．20．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？ 21．在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有 个22．有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有（ ）A ．70B ．80C ．82D ．8423．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 （ ）种A ．4441284C C C B ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A24．5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同分法的种数为 A ．480 B ．240 C ．120 D ．9625．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛成员的组成共有 种可能26．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，第3题的2个小题中选做1个小题，有 种不同的选法27．从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的五位数28．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有 个 29．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法30．在200件产品中，有2件次品从中任取5件，（1）“其中恰有2件次品”的抽法有 种； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有 种； （3）“其中没有次品”的抽法有 种；（4）“其中至少有1件次品”的抽法有 种 四、课后作业：1．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 个 2．以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有 对3．⑴6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？⑵5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？ ⑶5本相同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？4．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ）A ．42B ．30C ．20D ．125．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A 6．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A7．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．8．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法9．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个10．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 ___________个平行四边形11．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体12．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)i i =的同学的考试成绩(){85,87,88,90,93}f i ∈，且满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种 13．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览如果其中的城市A 、B 必选，并且在旅游过程中必须按先A 后B 的次序经过A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则不同的游览路线有 种14．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有 种不同的调换方法15．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法16．学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是（）A．64B．20C．18D．1017．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90B．180C．270D．54018．公共汽车上有4位乘客，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4位乘客不同的下车方式共有种19．4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（4）女生按指定顺序排列．20．有排成一行的7个空位置，3位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法21．赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中挑选6人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法22．,,,,A B C D E5位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第5名的名次A、B两位同学去询问名次，主考官对A说：“很遗憾，你和B都未拿到冠军”；对B说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5位同学的名次排列共可能有种不同的情况23．学校餐厅供应客饭，每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备种不同的素菜种24．有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到测出1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有 _______种25．圆周上有12个等分点，以其中3个点为顶点的直角三角形的个数为个。
组合数的性质和应用
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
高中组合问题ppt课件
在数据处理中的应用
数据分组
对数据进行分组时，可以应用组合计数方法来计算分组数。例如，对10个人进行分组， 可以分为C(10,3)组，即从10个人中选择3个人为一组的方法数。
数据排序
在数据处理中，经常需要对数据进行排序。组合计数方法可以用来计算不同排序方法的可 能性数量。例如，对3个数进行排序，可以分为C(3,3)/A(3,3)种不同的排序方法。
高中组合问题ppt课 件
目录
• 组合问题概述 • 组合的基本性质 • 组合问题的解决方法 • 组合问题的实际应用 • 练习与思考
01 组合问题概述
什么是组合
组合是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有 组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
组合数公式：C(n,m)=n!/[(n-m)!m!]
组合与排列的区别
排列与组合的区别在于：排列不考虑 取出元素的顺序，而组合需要考虑取 出元素的顺序。
从排列与组合异同点来看，它们都是 从n个不同元素中取出m个元素，而排 列不考虑取出元素的顺序，组合需要 考虑取出元素的顺序。
组合问题的应用场景
• 组合在日常生活中有着广泛的应用，如彩票、博彩 、概率统计、密码学等领域。在解决实际问题时， 我们需要根据具体问题的要求和条件，灵活运用组 合的知识和方法来寻找最优解。
组合的乘法原理
总结词
组合的乘法原理是指当两个组合数相等且具有相同的元素时，它们可以相乘。
详细描述
设两个集合A和B，它们的元素个数分别为n和m。从A中选取k个元素，从B中选取k个元素进行组合， 得到的组合数为C(n,k)×C(m,k)。这个组合数等于C(n+m,2k)，即从n+m个元素中选出2k个元素的组 合数等于从n个元素中选出k个元素的组合数乘以从m个元素中选出k个元素的组合数。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
组合c的性质
组合c的性质
组合C是一种新型的组合，它由三种不同的元素组成：硅、铝和锰。
它的特点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境。
组合C的组成元素有硅、铝和锰，它们的特性是：硅具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和酸碱环境；铝具有良好的耐热性和耐腐蚀性，可以抵抗高温和腐蚀性环境；锰
具有良好的耐热性和耐磨性，可以抵抗高温和磨损环境。
组合C的优点是，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。
例如，它可以用于制
造汽车发动机的燃烧室、排气管、排气系统等，也可以用于制造火箭发动机的燃烧室、排
气管、排气系统等。
组合C的缺点是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现一些问题。
总之，组合C是一种新型的组合，它具有良好的耐腐蚀性、耐热性和耐磨性，可以抵抗高温、酸碱和腐蚀性环境，因此可以用于制造各种耐腐蚀、耐热、耐磨的零件和装置。
但是，它的成本比其他组合要高，而且它的加工性能也不是很好，因此在加工过程中可能会出现
一些问题。
排列、组合与二项式定理(理)
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0<m≤n），不考虑顺序，称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
组合数的性质(2)
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质1 C
m n
=
C
nm n
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
29
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
Thank you！
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
高中数学—15—组合-教师版
1、组合数：从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合mn C 表示. 组合数公式为!(1)(2)(1)(,*,)!()!!m m n nm m P n n n n n m C m n N m n P m n m m ---+===∈≤-L ,规定01n n n C C ==.组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式。
2、组合数的性质：性质一：C m n =C mn n- ①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标.②此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化.例如20152016C ＝201520162016-C ＝12016C =2016.③y n xn C C =y x =⇒或n y x =+．性质二、1m n C +=m n C +1m nC - ①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．③证明过程：1!!!()!(1)![(1)]!mm n nn n C C m n m m n m -+=+----!(1)!!(1)!n n m n m m n m -++=-+(1)!!(1)!n m m n m n m -++=+-1(1)!![(1)]!mn n C m n m ++==+-.组合知识梳理3、组合问题常见解题方法： （1）注意“至少”、“最多”、“含”等词； （2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法=取法/!m （3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. （4）分排问题直排处理； （5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.一、组合数及其运算性质【例1】解方程（1）333222101+-+-+=+x x x x x P C C（2）8771nn n C C C =-+【难度】★★ 【答案】（1）4；（2）14【解析】（1）335242101+++=+x x x P C C ， 3353101++=x x P C ， ()()()()()()()10123543211123+⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅+⋅+x x x x x x x x ，∴()121=-⋅x x ，∴4=x 或3-=x （舍）。
第2课时 组合数的性质
反思感悟 性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
二、组合数的性质2
知识梳理
组合数的性质 2：Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
第六章 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
一、组合数的性质1
知识梳理
组合数的性质 1：Cmn ＝_C__nn－_m__. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标.
例 2 (1)已知 m≥4，C3m－C4m＋1＋C4m等于
A.1 B.m
√ C.m＋1
D.0
解析 C3m－C4m＋1＋C4m＝C3m＋C4m－C4m＋1＝C4m＋1－C4m＋1＝0.
(2)C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C22 002129等于
A.C22 020
B.C32 021
C.C32 022
解析 C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C22＋C23＋C24＋…＋C218等于
A.C318
√B.C319
C.C318－1
D.C319－1
解析 C22＋C23＋C24＋…＋C218＝C33＋C23＋C24＋…＋8＝C34＋C24＋…＋C218 ＝C35＋C25＋…＋C218＝…＝C319.
数学的排列组合
数学的排列组合排列组合是现代数学中的一个重要分支，它是计算和分析事物数量关系的一种数学方法。
在生活和工作中，排列组合广泛应用于数据分析、桥牌、科学研究等领域。
下面将系统地介绍一些排列组合的概念和性质。
一、排列排列是对一个集合中所有元素的一种有序的排列方式。
例如，排列“ABC”和排列“ACB”是不同的排列。
排列的总数可以用阶乘来表示。
即n个不同元素的排列数为n!。
二、组合组合是在一个集合中，选取一些元素组成一个子集的方式。
不同于排列，组合的顺序是无关紧要的。
例如，从集合{A,B,C}中选取两个元素的组合有{A,B}、{A,C}和{B,C}。
组合的总数可以用二项式系数表示。
即从n个不同元素中选取k个元素的组合数为C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)。
三、二项式定理二项式定理是代数中的一个重要公式，它描述了多项式的幂和二项式系数之间的关系。
对于任何实数a和b以及非负整数n，我们有(a+b)^n = Σ(i=0到n)C(n,i)a^(n-i)b^i。
其中，C(n,i)是从n个元素中选择i个元素的组合数。
四、握手定理握手定理是图论中的一个简单而常用的定理。
在一个会议中，每个人都会和其他人握手，一共握手了k次。
则k的数量等于节点数n-1的和，即k = (n-1)+(n-2)+...+1=n(n-1)/2。
五、鸽巢原理鸽巢原理也称为抽屉原理，它是数学中的一种基本原理。
在一些情况下，如果把n个物品放入m个箱子中，且n>m，则至少有一个箱子里必然含有两个或两个以上的物品。
六、斯特林数斯特林数是一种组合数，它们用于计算把n个不同的物体划分成m个不同集合的方案数。
第一类斯特林数计算的是n个不同物品划分为m个环的方案数，第二类斯特林数计算的是n个不同物品划分为m个非空集合的方案数。
以上是排列组合的一些基本概念和性质，它们在数学中有着不可替代的作用。
无论是从理论上还是实践上，排列组合都为我们开辟了广阔的研究领域和应用前景。
组合数的性质
不 含 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m个 元 素 组 成 的 ， 共 有 C n 个
由分类计数原理，得
组合数性质2 组合数性质
Cn+1 = Cn +Cn
m m
m−1
性质2 性质
证明:
m n
C +C
= cn + cn c n +1
n−m n m n
作业： 作业：习题 10.3 1，9，11(B本) ， ， 本
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源源 头学子小屋 头学子小屋 源 /:源 .c 38 23 0 .oc m 头学子小屋 头学子小屋 hp x t w
(2) C
m+1 n m−1 n m n m+1 n+ 2
一、等分组与不等分组问题
本不同的书， 例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； 、 本不同的书 按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； ）分给甲、 丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； ）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份 本，一份 本，一份 本； ）分成三份，一份1本 一份2本 一份3本 （4）分给甲、乙、丙3人，一人 本，一人 本，一人 本； ）分给甲、 人 一人1本 一人2本 一人3本 （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； ）分给甲、 人 每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； ）分给 个人，每人至少一本； 个人 本相同的书， （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。 ） 本相同的书 分给甲乙丙三人，每人至少一本。
高中数学排列组合的性质及相关题目解析
高中数学排列组合的性质及相关题目解析在高中数学中，排列组合是一个重要且常见的概念。
它不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也有着实际的意义。
本文将从排列组合的性质出发，结合具体的题目进行解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握排列组合的知识。
一、排列的性质及相关题目解析排列是从给定的元素中选取若干个进行排列，它的性质主要包括全排列和部分排列两种情况。
1. 全排列全排列是指从给定的n个元素中选取n个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。
全排列的个数可以通过n!（n的阶乘）来计算。
例如，有4个元素A、B、C、D，它们的全排列个数为4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
2. 部分排列部分排列是指从给定的n个元素中选取m个进行排列，排列的顺序不同即视为不同的排列。
部分排列的个数可以通过A(n, m)来计算，其中A代表排列数。
例如，有4个元素A、B、C、D，从中选取2个进行部分排列，部分排列的个数为A(4, 2) = 4 × 3 = 12。
下面通过具体的题目来进一步说明排列的性质。
题目1：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列。
由于顺序不同即视为不同的排列，因此这是一个部分排列问题。
根据部分排列的计算公式A(n, m)= n × (n-1) × ... × (n-m+1)，可得部分排列的个数为A(5, 3) = 5 × 4 × 3 = 60。
所以，有60种不同的选取方式。
题目2：某班有5名学生，要从中选取3名学生参加数学竞赛，如果其中一名学生必须参加，请问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可知，从5名学生中选取3名学生进行排列，并且其中一名学生必须参加。
这个问题可以转化为从剩下的4名学生中选取2名学生进行排列。
高二数学必修三组合知识点
高二数学必修三组合知识点组合是高二数学必修三中的重要知识点之一，本篇文章将详细介绍组合的概念、性质以及应用。
一、组合的概念在概率论中，组合指的是从一个集合中选取若干个元素组成一个子集。
组合的数量可以用组合数来表示，记作C(n, k)，其中n为集合的大小，k为选取的元素个数。
组合数的计算公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中"!"表示阶乘运算。
二、组合的性质1. 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个与选取n-k个的组合数相等。
2. 互补性：C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1)，即从n个元素中选取k个的组合数加上选取k+1个的组合数等于从n+1个元素中选取k+1个的组合数。
3. 递推性：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个的组合数等于从n-1个元素中选取k-1个的组合数加上选取k个的组合数。
三、组合的应用1. 排列组合问题：组合数可以用于计算排列组合问题，如从n 个元素中选取k个元素进行排列的方式数目。
2. 概率计算：组合数可用于计算事件发生的概率，如从一副扑克牌中抽取几张牌中包含某个特定的组合的概率。
3. 数学证明：组合数在数学证明中有广泛的应用，可以用于推导和证明各种数学定理。
四、组合的例题解析例题1：某班有10个男生和8个女生，从中选取5个同学参加运动会，其中至少有2个男生。
问有多少种可能的选择方案。
解析：根据题意，我们可以分别计算选取2个男生加上3个女生、3个男生加上2个女生、4个男生加上1个女生、5个男生这四种情况的组合数，然后将它们相加即可得到总的方案数。
例题2：从整数1到10中选取3个数，求这3个数的和为偶数的方案数。
解析：我们可以分别计算奇数个数和偶数个数的选取情况，并将它们相加。
选取奇数个数的情况即从5个奇数中选取3个数的组合数；选取偶数个数的情况即从5个偶数中选取1个数的组合数乘以从5个奇数中选取2个数的组合数。
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2 4 90 89 (1)C 5 C 5 __________ ( 2)C100 C 99 __________ _; _
C 性质1：
99
m n
C
n m n
性质2：
C
m n1
Cn Cn
m
m 1
例1、计算
(1) C 101 ;
(2) C 99 +C 99 +C 100 ;
acd
bcd
C 4
3 4
d
c
b
a
C 4
1 4
从4个不同元素中每次取出3个的一个组合，和剩下的1个 元素的组合是一一对应的。
性质1:
C
m
m n
Cn .
n m
证明: C n
n ！ , m（n m） ! !
C
说明：
n m n
n！ n！ ( n m ) ![n n m ] ! m !( n m ) ! （ ）
(3) C1 ＋C2 ＋C3＋＋C99
(4) C98 +2C98 +C98 ;
97 96 95
97
98
99
0
1
2
98
C 性质1：
m n
C
n m n
性质2：
C
m n1
Cn Cn
m
m 1
2 2 例2、 C2 C2 C5 C6 C2 =( 3 4 7
)
3 8
A. C
2 5
4. 已知 : C
n1 n 3
C
n 1 n1
C
n n1
C
n 2 n
, 求n的值.
小结： 1. 组合数性质
性质1 C C m m 性质2 Cn 1 Cn C
m n
nm n m 1 n
0 2. 规定： Cn＝1
3. 要进一步熟悉组合数的公式；
作业：
C
m n
Cn .
n m
7 98 如计算：C9，C100
n 1、为简化计算，当m＞ 2
x n y n
时，通常将计算
C
m 改为计算 n
C
2、为了使性质1在m＝n 时也能成立，规定 C
0 n
1
n m n
3、C C x y或x y n
问题：一个口袋内装有大小相同的7个红球和1个素中取出m(m≤n)个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。 m 用符号 C n 表示 3. 组合数计算公式
A n( n 1)( n 2) ( n m 1) (1)C A m!
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋里取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)
C 35 3 2 3 从引例中可以发现一个结论：C8 C7 C7
C 56
3 8
(2)
C 21
2 7
(3)
3 7
上述情况加以推广，可得组合数怎样的性质？
m n m n n m
n! m!n m !
第一步 n个不同元素 组合 m个不同元素
第二步 m个元素进 行全排列 排列
练习：计算
C 与C
7 10 3 10
1 3 计算C4 和C4
推测:
C C
m n
n m n
3 1 以 C4 与C4为例：在a、b、c、d中取三个不同元素的组合数
abc abd
0 组合数的另一个性质： n C
6 5
C C 2
1 n n n
n
C n , 则 C 10 （ 11 ） 2. （1）C n n
（2）若 C 28 C 28
0 3 1 4
x
3 x8
, 则 A （ 12或72 ）
17 20
2 x
3. 计算 : C C C C
m m
m 1
一般地，从a1,a2,…an+1这n+1个不同的元素中出m个的组合数是
C
m n1
这些组合可分为二类：
m C n 1个
(1)一类含有a1, 再从a2,a3,…an+1这n个元素中取出m-1个，共有
(2)另一类不含有a1， 2,a3,…an+1这n个元素中取出m个，共有 从a m Cn 个 由分类计数原理得： C m C m C m 1
2 8
B. C
3 8
C. C 1 D. C 1
2 8
C 性质1：
m n
C
n m n
性质2：
C
m n1
Cn Cn
m
m 1
例3、解方程或不等式
（） 1 C
（） 2 C
n 6 13
C
2n 2 13
5 m 1
m4 m
C
C
6 m 1
练习：
1. 课本P114. 1，2，3；
性质2:
C
m n1
Cn Cn .
m
m 1
性质2:
m Cn Cn . Cn1 . C n1 n! n! m m1 证明: Cn Cn m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n! (n 1)! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! m![( n 1) m]!
n1
n
n
性质2:
说明：
C
m
Cn Cn . n1
m
m 1
1. 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下 标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数。 2. 记忆方法：赋予实际含义，便于记忆。 3. 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项 式定理”时，我们会看到它的主要应用．