弹性力学6详细讲解

2020年11月25日
力学与工程科学系
4
简单拉压
• 应力解
x y yz zx xy 0
A d x, y G
z Rz A
• 位移解（不计刚体位移）
u Rz x
EA
v Rz y
EA
w Rz z EA
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5
纯弯曲
• 应力解
x y yz zx xy 0
• 位移场单值：
d 0 i 1, 2, , n
Li
• 扭转函数的确定
Li
d
Li
d
ds
ds
Li
x
cos s, x
y
cos s, y ds
Li
y
y
cos
n,
y
x
x
cos
n,
x
ds
Li
d dn
ds 2Ai
d
Li dn ds 2Ai
i 1, , n Ci
kn x kna
cos
kn
y
• 剪应力
xz
y
2 y
16b
2
n0
1n 2n 12
cosh cosh
kn kn
x a
sin
kn
y
yz
x
16b
2
n0
1n 2n 12
sinh knx cosh kna
coskn y
y
• 扭转刚度
B
a
D
16 3
ab3
1024b4
5
n0
tanh kna 2n 15
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扭转刚度的下界
• 用扭转函数表示的扭转刚度
D
2
d
x,
y
m
2
Ci
Ai
,
G
i 1
2 2, in G
L0
0,
Li Ci
i 1,
,m
Li
d dn
ds
2 Ai ,
i 1,
,m
• 扭转刚度的另一种形式
D
J
G
4
x
2
y
2
1 z2 M y EI y
3
2 2
My EI y
Euler-Bernoulli
平截面假定： z C
z
z
w
1
My EI y
x z
1
x
C
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扭转应力
• 应力假设 • 平衡方程 • 应力协调方程
x y z xy 0 zx,z yz,z 0 zx,x yz, y 0 2 zx 2 yz 0
1
2a
cos
r
• 扭转刚度
D
2 G
d
x,
y
a4
2
计算
• 位移场
a r2 2 sin r
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力学与工程科学系
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带半圆槽圆杆的扭转（续）
• 扭转应力
r
r
a
1
r
2 2
sin
r
2
r
a 1
r2
cos
• 边界上的扭转应力
刚度相当 强度减半
r
r 2a cos
A
2
s2
2
2
2
0
in G on G
yr
近似解：
2
2
2
rn
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O
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B
L*
x
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开口薄壁杆件的扭转（续）
• 扭转刚度 • 扭转应力
• 翘曲函数
D
2 G
d
x,
y
1 3
l
3
s
2
n
s
0
中线上：
s
x
cos s,
x
y
cos s,
y
rn
s
0 rnds
2020年11月25日
0
2
zx
1
1
z,xz
0
2 yx
1
1
z, yz
0
x y xy 0 zx,z yz,z 0 zx,x yz, y z,z 0
原点在截面形心 主轴坐标系
应力一般解
zx zx x, y , yz yz x, y z C1x C2 y C3 z D1x D2 y D3
2 0 in G
d
dn
L
y cos n, x
x cos n,
y
d
0
i 1, 2,
,n
Li
D
G
x2
y2
x
y
y
x
d
x,
y
M z D
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扭转的性质
• 扭转刚度恒正
• 剪应力的最大值在边界上达到
• 剪应力的方向为扭转函数等值线的 切向
Ψ c1 Ψ c2
• 问题的难点
原点取在截面形心
– 端头外力分布的任意性
x，y为截面主轴
• Saint-Venant原理的应用
– 采用两组容易求解的静力等效的外力代替端头外力
– 实际工程应用中能提供的边界条件
• 放松边条件：
– 用合力及合力矩代替端头边条件
G
合力 R t x, y d x, y G
合力矩 M r t x, y d x, y r xi yj G
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扭转位移场
• 位移场满足：
x
u
yz
y
v
xz
z
w
0,
y
u
yz
x
v
xz
0,
z
v
xz
y
w
0,
z
u
yz
x
w
0
• 位移场
u yz, v xz, w
ur 0, u rz, wz
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12
位移单值性条件
• 侧面边条件
zx cosn, x yz sin n, x 0
• Saint-Venant边条件
Rx Ry zxd x, y yzd x, y 0
G
G
n L1
M z x yz y zx d x, y G
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n
s
L0 8
扭转应力的求解
Ψ 0
Ψ C1
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闭口薄壁杆件的扭转（续）
• 开、闭口扭转刚度比较
Do Dc
1
3 a
2
• 扭转应力比较
o 3a
(a)
c
• 多连通区域的求解
C1
1
C2
3
0 0
l1 l1
C1 C2
2
C2 C1
2
l2 l2
2 A1 2 A2
C
2
3
E
Ψ c2 D
(b)
1 B
Ψ c1 Ψ 0
Ψ 0
• 引理： 下调和函数的最 小值在边界上达 到
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扭转性质的证明
• 扭转刚度恒正
n
0, Ci 0 D 2 G d x, y i1 Ci Ai 0
• 剪应力的最大值在边界上达到
2
2 xz
2 yz
2 2
x
2
y
2
2 2 42 2 0
u yz, v xz
w
a2 a2
b2 b2
xy
• 平截面假定是否成立？
• 圆杆的扭转
• 什么截面扭转刚度最大？
• 最大剪应力的位置？SV猜想。
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带半圆槽圆杆的扭转
• 问题边界描述
y
r 2a cos r
B
• 扭转函数
A
a
x
C
1 2
2 r2
弹性力学（6）
Saint-Venant问题
x
O
z
y
l
• 问题的提法
– 细长柱体在端头力作用下的弹性力学边值问题
• 边值问题的描述
– 方程组（不考虑体力）
– 边界条件
T 0
2T
1
1
J
T
0
侧面 n T 0
端头
k T t k T t
z l z0
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2
放松边条件
L0
M z G
x yz y zx
d
x,
y
G
x
x
y
y
d
x,
y
n
2 d x, y Ci Ai D
扭转刚度
wk.baidu.com
G
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i1 力学与工程科学系
10
扭转位移的求解
• 应用Hooke定律和几何关系
u x
v y
w z
0,
u v 0 y x
v
w
,
u w
采用放松边界条件，解的唯一性？
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3
问题的分类
• 将问题应用叠加原理分为拉压弯扭
– 简单拉压
kR0 M 0
– 纯弯曲
R0 k M 0
– 扭转
R0 kM 0
Rz 0 Mx,My 0 Mz 0
– 横向弯曲
k R0 M 0
Rx , Ry 0
问题的半逆解法，设： x y xy 0
xz
y
2 a2
a2 b2
y
yz
x
2 b 2
a2 b2
x
A
a
• 扭转刚度
D
2
G
d x,
y
a3b3
a2 b2
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椭圆截面杆的扭转（续）
• 最大剪应力
2
4 2 2
a2 b2 2
a4 y2 b4x2
max
2 a2b
a2 b2
• 位移场
z y
x z x y
• 引入辅助函数
x, y x, y 1 x2 y2 2
2 0 in G
Li
Ci
1 2
x2 y2
i 0,1, 2, , n C0 0
• 扭转的翘曲函数
,
x y y x
2 0 in G
d
dn
L
y cos n, x
x cos n,
y
C
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A
b
x
D
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矩形截面杆的扭转（续）
• 最大剪应力
yb
16b
2
n0
1
2n 12
1
cosh cosh
kn x kna
max
2b 1
8
2
n0
2n
12
1
cosh kna
• 位移场
u yz, v xz
w
xy
32b2
3
n0
1n 2n 13
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13
扭转解的表达式
xz
y
yz
x
2 2 in G
x,
y L0
0
x, y
Li
Ci
i 1, 2,
,n
Li
d dn
ds
2 Ai
i 1, 2,
,n
n
D 2 G d x, y i1 Ci Ai
M z D
xz
x
y
yz
y
x
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扭转刚度
• 考虑一般的多连通区域 G L L0 L1 Ln
• 应用侧面边条件，有：
x, x,
y y
L0 Li
0 Ci
i 1, 2,
,n
• 验证应用端头边条件：
n
M x M y 0, Rz 0
s
Rx
zxd
G
x,
y
G
y
d
x,
y
0
n L1
Ry 0
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24
闭口薄壁杆件的扭转
• 扭转函数近似解
– 位移单值性条件
d
L1 dn ds 2A1
L1
C1
0
ds
2
A1
C1 2A1 l1
• 扭转刚度
L1 L0
D
2
G
d x,
y 2C1A1
C1A 2C1A1
4 A12
l1
• 最大剪应力
max
Mz
2 A1
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s a 2a cos , n 0
s
a
1
2 4a2 cos2
,
n
0
• 最大扭转应力 max 2a
• 半圆槽杆与圆杆比较
D槽 D圆,
槽
:圆
2
a
2
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力学与工程科学系
20
矩形截面杆的扭转
• 扭转函数
b2
y2
32b2
3
n0
1n 2n 13
cosh cosh
• 剪应力的方向为扭转函数等值线的
切向
s
xz
cos s,
x yz
cos s,
y
n
n
xz
cos n,
x
yz
cos n,
y
s
0
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力学与工程科学系
16
椭圆截面杆的扭转
• 假设扭转函数
y
B
K
1
x2 a2
y2 b2
b
2 2 K a2b2
x
a2 b2
• 剪应力
• 扭转应力函数（Prandtl应力函数）
– 平衡方程
zx zx x, y, yz yz x, y
定义： x, y
x,y
x0,y0 yz , d zx , d
zx
y
,
yz
x
积分与路径无关？
– 应力协调方程
2 2
• 侧面边条件
d 0 ds L
• 常数如何确定？ 利用端头放松边条件
2020年11月25日
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6
平截面假定的合理性
• 考虑特殊的纯弯曲
Mx 0
中心线变形 u 0, 0, z M y z2
2EI y
v 0, 0, z w0, 0, z 0
变形后中心线方程 x M y z2, y 0, z z 2EI y
变形后中心线曲率
1
M y EI y
A
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扭转刚度的上界
• 用翘曲函数表示的扭转刚度
D
G
x2
y2
x
y
y
x
d
x,
y
2 0, in G
d
y
cos
n,
x
x
cos n,
y,
onL
dn
• 扭转刚度的另一种形式
D
I
G
x
y
2
y
x
2
d
x,
y
• 上界定理
f x, y, D I I f
d
x,
y
4
m i 1
Ci
Ai
• 下界定理 g x, y, g 0 L0 , g gi Li , i 1, , m
D J J g
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横向弯曲
• 应力假设
• 平衡方程 • 应力协调方程
z,xx z, yy z,xy 0
2 z
1
1
z,zz
z
My Iy
x
Mx Ix
y
惯性矩
Ix y2d x, y G
I y x2d x, y G
• 位移解（不计刚体位移）
u
My 2EI y
z 2
y2 x2
Mx EI x
xy
v
Mx 2 EI x
z 2
x2 y2
My EI y
xy
w
My
xz
Mx
yz
EI y
EI x
sinh knx cosh kna
sin kn y
计算
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22
开口薄壁杆件的扭转
• 问题描述
中线：x f s y g s
切向量：s f s, gs 法向量：n gs, f s
坐标变换：
x y
f g
s s
gs f s
0 s l,
2
s
n
• 扭转函数