近代测量数据处理进展

在
V T PV min ˆ TX ˆ min X II II
部分参数最小范数条件下
高德曼（Goldman）蔡勒(Zelen)（1964年）（奇异 权逆阵的最小二乘） Q，P满秩 Q，P奇异阵
V T Q V min
劳（C.R.Rao）（1971年）提出广义G-M模型
ˆ l V BX
最小二乘配置（拟合推估）： L AX BY 既包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号） 广义LS准则：
V T PV VYT PYVY min
拟合推估
Bayes准则：
进行随机参数向量估计
Bayes估计
L AX BY
③
4
随机模型的验后估计
经典平差研究：平差函数模型的建立——研究平差方法，方程 式的建立； 近代平差研究：随机模型——观测值的权（观测值之间的精度 比例） 近代： 不同类多种观测值，不同精度的观测值；
① L随机独立 → 随机相关，P—对称方阵（相关平差）。
② A列满秩→A秩亏，秩亏自由网平差；
③ X非随机参数具有各态经历性的平稳随机函数（拟合推估） 最小二乘配置； ④ 仅考虑研究函数模型（各种平差方法）→考虑研究随机 模型（方差分量估计）； ⑤ 不考虑模型误差（系统误差，粗差）→顾及模型误差 （附加系统参数的平差，可靠靠性理论，数据探测，稳 健估计）
成果的精度与可靠性
6
有偏估计
经典平差——最小二乘原理——最优无偏估计。 ˆ X E X
ˆ X X ˆ X T X E min
ˆ X) 0 lim( E X
T r

当平差中含有较多未知参数的大型线性模型，往往会出现模型线 性近似或参数近似相关，法方程性态不好（病态）——接近奇异，按 最小二乘平差将导致虽满足最小二乘最优条件。方差最小，但值都很 大，精度差，相当不稳定。 有偏估计： 偏差： 有偏估计：
例1： GPS、InSAR测量中的大气误差、轨道误差等
区域水汽分布图
例2： 统计模型参数项的确定问题：曲面拟合
H a0 a1 x a2 y a3 x 2 a4 y 2 a5 xy
H a0 a1 x a 2 y a3 x 2 a 4 y 2
模型参数选择不够导致产生系统误差！
②剔除粗差的平差方法； 测量中除了有偶然误差，还有粗差，导致平差结果失真、 不可靠。传统中采用在测量工作中剔除粗差。例如，增加多余 观测，闭合差检验。检验方法，统计检验粗差，仅说明有无粗 差，无法剔除粗差。
1953年，薄克斯（G.E.P.Box）提出稳健估计（Robust）概念；
1964年，胡倍儿（P.J.Huber）发表“位置参数的稳健估计”；
观测量独立 相关 直接观测值 导出量
相关平差对测量平差理论研究有重大促进作用，推动了 测量平差的发展，它有着强的概括性，并具有统一的形式。
附有限制条件的条件平差模型（概括模型）： ˆ W 0 AV BX ˆ CX W x 0
E 0
（1）当A=-E,C=0时,间接平差（参数平差）
R( B) t 0 t
D 0 Q
2
det(Q) 0
Mittermayer（1971年）提出广义逆解法 中国的周江文、陶本藻等的进一步研究完善，形成了 一套完整的秩亏自由网平差理论与方法，从而实现了经 典平差模型和平差方法的进一步扩展，使求解模型更加 合理，应用面大大拓宽。
如 何 确 定 起 算 点？ IGS站点位置与测区关系示意图
正态分布的要求，仍用最小二乘，将使平差结果失真（遥感、 航测， GPS）则须考虑.
① 考虑系统误差的平差方法： 在仅含有偶然误差模型中加入一些附加参数（系统参数） 以补偿观测数据中存在的系统误差对结果的影响。 平差模型为： V
AX BS L
S为附加系统参数向量，B为附加系统参数系数阵.
基本思想：方差和偏差都要小，或适当增大，换 ˆ t ( D( X ˆ )) T 取均方误差的减小. MSEX r 有偏估计包括岭估计、广义岭估计、主成分估计、 特征根估计等，其中研究和应用最多的是岭估计， ˆ ( N KI ) 1W 其模型为： X 式中k>0为常数，I为单位阵
ˆ l V BX
（2）当B=0,C=0时,条件平差
AV W 0
（3）当A=-E时,附加约束条件的间接平差：
ˆ l V BX
ˆ W 0 CX x
（4）当C=0时，附有未知参数的条件平差：
ˆ W 0 AV BX
当P，Q对角阵则对应经典平差； 当P，Q满秩阵则对应相关平差。 相关平差使最小二乘原理平差概念广义化，是测量 平差理论的一大进展。
如：GPS网平差属于相关平差
长三角江苏域GPS网图
2 秩亏平差
ˆ l V BX
迈塞尔（Meissl）（1962年）提出了秩亏自由网平差 B列满秩 B奇异阵
经典平差要求：必要的起算数据（基准），使平差结果
强制附加在起算数据上
LS
B列满秩
LS
唯一解 无穷解
B奇异阵
！增加新的约束条件以实现参数的唯一解。
外可靠性：平差系统发现观测值最小粗差的能力。 内可靠性：不可发现的最大粗差对平差结果的影响
测量实用上，研究在平差过程中自动剔除粗差方法,即粗差 定位，粗差定位分为两种： ①粗差归入函数模型的数据探测法（识别法） ②粗差归入随机模型的稳健估计法（调节法）（Robust） 优缺点： ①识别法：可以剔除粗差。依靠V最小二乘将大改正数分 配到许多观测值上。 ②调节法：不能剔除粗差，改正数、权合理分配。
① 普通秩亏自由网平差： V T PV min 在 X ˆTX ˆ min 最小二乘，最小范数条件下 ② 加权秩亏自由网平差： V T PV min 在 X ˆTP X ˆ min 最小二乘，加权最小范数条件下 X ③ 拟稳平差：将网中的未知数分为两类：
ˆ X Z I 周江文于1982年提出！ ˆ X II ˆ 是稳定点； ˆ 是非稳定点， X X
测区2007～2008年度地面沉降模型
3
ˆ l 最小二乘滤波、推估和配置 V BX
最小二乘平差：未知参数X是非随机的量，不具有随机性质
1969年克拉鲁普（Krarup），随后莫里兹（Moritz）（1970） 提出了带随机性的未知参数的平差； 根据所含未知参数的性质的不同分为： ① 滤波： L BY 未知参数信号Y与观测值建立了函数模型的滤波信号； ② 滤波推估: L BY 除了含有滤波信号（未知参数）还含有：推估信号Y ；推估 参数与观测值没有建立函数模型。 ③ 最小二乘配置（拟合推估）： L AX BY 既包含最小二乘中的非随机未知数，又包含随机未知参数（信 号）
9
多种估计准则
近代数据处理除最小二乘估计准则外扩展出现了极大似然 估计、极大验后估计、最小验后方差、贝叶斯估计、稳健 估计、P—范估计、半参数估计等多种估计准则 其中针对不同数据类型和特征有着不同的适用性，极大地 拓展了数据处理和参数估计的应用面。
总结：
经典平差：高斯——马尔柯夫模型：
L AX
ˆ E X

X
准确度：（精度好，准确度差）
ˆ E X ˆ X Bias X ˆ t ( D( X ˆ )) T MSE X r


1955年斯坦因（C.M.Stein）提出了通过压缩改进最 小二乘的方法克服方程的病态问题，压缩后的估值 不再具有无偏性，称为有偏估计。
1.3
近代测量数据处理进展
0 引言 自1794，Gauss，LS发展了200余年 1950年代，数据采集手段—现代化、自动化、高精度
电子计算 机，矩阵代数，泛函分析，最优化理论以及概率 统计的发展和完善，经典平差逐渐发展到近代平差。
1 相关平差
（1947年）田斯特拉（Tienstra）将经典平差中的G-M模 型中的Q，D，P由满秩对角阵扩展为满秩对称阵。
i i
i i
② MINQUE估计法（minimum norm quadratic unbiased estimation）（C.R.Rao 1970）： 最小范数：根据估计应具有的性质：无偏性，不变性， 最小范数，把满足这些性质的条件变成一个求最小迹的
极值问题，求极值的解。
③ BIQUE法（K.R.Koch 1980） 最优不变二次无偏估计
E () 0 2 2 1 D Q 0 0 P
( 无偏估计）
X—非随机，L—随机独立，A—列满秩，P—对角方阵；
近代平差：使观测值概念广义化.
L AX BY
2 2 E () 0 D 0 Q 0 P 1 R ( A) t , det Q 0 X非随机，Y随机
。
7 非线性模型参数估计
经典最小二乘：线性模型进行参数估计
现代数据处理中所涉及的误差模型一般均为非线性型，且 对估计参数精度要求较高
非线性模型的参数估计方法：
高斯-牛顿法、最速下降法和组合最小二乘法、模拟 退火算法、遗传算法、蒙特卡洛法、同伦算法，以 及顾及泰勒级数二阶项的非线性参数最小二乘法。
8
验前方差：平差前根据一些条件确定的可能不能如实反映测量 精度，各观测量之间的权比不合理。 验后方差：通过平差估计方差——方差分量估计——达到提高 平差结果精度，比较可靠地确定各观测量之间的权
随机模型的验后估计的方法有:
① 赫尔默特估计法(F.R.Helmert 1923)： 建立各类观测值 V T PV 与对应的 i2的关系式，通过平差 i i 求得的 V T PV ,求 i2 , 2
1968年，巴尔达（W.Baarda）提出“数据探测”法和可靠性理论。 1988年，李德仁粗差统计学，用于摄影测量平差