2021年高三周练 数学(9.22) 含答案

2021年高三周练 数学（9.22） 含答案

命题：喻峥惠 沈春妍 审核：胥容华 一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1. 若集合则集合中元素个数为3 __． 2. 若复数满足则 __．

3. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 20 __．

4. 已知是实数，则“且”是“且”的充分必要条件__条件． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的值为 21 __．

6. 等差数列的前项和为，若，则24.

7. 将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图像关于点中心对称，则的最小值为 __．

8. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 __．

9. 已知函数 若，则x 的取值范围为 __．

10. 已知直线被圆所截的弦长为，则实数的值为 －17或7 __．

11. 已知点P 是曲线上的一动点，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的取值范围为 __．

12. 在平行四边形中，，边的长分别为2、1，若分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 [2,5] __．

13. 设实数，若不等式对任意都成立，则的最小值为 __． 14. 已知函数,3

)(),0(ln 3221)(22++=>+-=

x t

x x g x x tx x x f 且函数在处取得极值函数在上的最大值比最小值大，若方程有3个不同的解，则的取值范围为 __． 二、解答题

15．（本小题满分14分） 设的内角所对的边分别为，且满足.

(1) 求角的大小；

(2) 若试求的最小值． 解：（1）；（2） 16．（本小题满分14分）

Print S

End While 2i+3

S

i+2i

<8While i 1i

如图, 是边长为的正方形，平面，，. (1)求证：平面；

(2)设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证

明你的结论.

解：(1)证明：因为平面，

所以.

因为是正方形， 所以，因为 从而平面.

（2）当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF ．

取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连结MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ， 故四边形AMNF 是平行四边形． 所以AM ∥FN ，

因为AM 平面BEF ，FN 平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF ． 17．（本小题满分14分）

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、． (1) 求数列的通项公式；

(2) 数列的前n 项和为，求证：数列是等比数列. 解：（1）（2）略 18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3. (1)求椭圆的方程;

(2)在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由. 解：（1）∵，∴可设 ∴ 故椭圆C 的方程为 设为椭圆上的任一点则

22

22

222

||(2)244

32(1)34PQ x y

y y b y b

①当时，在，|PQ|取得最大值3，于是有 解得 ②当时，在，|PQ|取得最大值3，于是有 解得或 均与“”矛盾，舍去。 ∴，所求的椭圆C 方程为

（2）假设点M （m,n ）存在，则 ， 即

A

B

C

D

F E

x (天)

t 圆心O 到直线的距离 ∴

222

2

2

2

21

11

||1

2

m n AB r

d

m n m n

△OAB 的面积222222

22

2

2

1

111

||2

OAB

m n m n S

AB d m n m n m n

22222

22

11

1111

2

1

m n

n m n m

n （当且仅当，即时取等号） 解得

∴所求点M 的坐标为2626

2

(()(,)(,)22222222

、、、

19．（本小题满分16分）

心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量；若在t （t >4）天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点” ． （1）若,求“二次复习最佳时机点”； （2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的取值范围．

解：设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为，

由题意知， 所以21284

()(4)(4)44

a y y y x t t t t x =-=

-+->+++

当时，

≤，

当且仅当 时取等号，

所以“二次复习最佳时机点”为第14天． (2)

≤，

当且仅当

4)4(244

)

4()4(2

-+-=+=++-t a

x x t x a 即 时取等号，

由题意，所以 ．

20．（本小题满分16分）