数学与应用数学专业毕业论文

洛阳师范学院15届成人教育本科生毕业论文

学号1322060006 编号201522060006分类理工

LUOY ANG NORMAL UNIVERSITY

成人教育本科生毕业论文Adult Education B achelor’s Thesis

多项式理论在初等数学中的应用论文题目

郭莉娜

作者姓名

指导教师

数学科学学院

所在院系

数学与应用数学

专业名称

2015年3月20日

完成时间

多项式理论在初等数学中的应用

潇洒（指导教师：张永新）

（洛阳师范学院数学科学学系河南洛阳 435002）

摘要：多项式理论是高等代数的主要内容之一，它与初等数学有着密切的联系，它解决了初等数学中关于多项式的很多遗留问题。本文将从因式分解、一元高次方

程、多项式的恒等、证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学

中的应用，并给出了若干应用方法，彻底解决了一元多项式的理论问题，促使

师范专业的学生了解到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等

代数之间的联系，加强学生对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的

教师提供帮助。

关键词:因式分解一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判断法

多项式理论在初等数学中的应用

多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身和实际应用中都常遇见它.但因为高等代数与初等数学在研究对象、方法上出现了不同，加之它的抽象性，造成许多数学专业的大学生认为，“教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视.那么如何运用高等代数来指导中学数学便成了值得探讨的问题. 本文将运用高等代数中的多项式理论方面的知识来处理初等数学中的一些遗留问题.通过一些实例，使师范院校的学生充分了解到高等代数对初等数学的指导作用.

1 判断能否分解因式

多项式的因式分解是指在给定的数域F 上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积.我们知道，一个多项式可能在一个数域上不可约，但在另一数域上可约.例如

多项式22

-x 在有理数域上不可约，因为它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘

积，但这个多项式在实数域上可约，因为)2)(2(22+-=-x x x .

因为在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对因式分解作进一步探讨.

1.1 待定系数法

按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数.

例1 判断43

281x x x -+-在有理数域上能否分解因式.

解 令

43

()281f x x x x =-+-，因为(1)0f ±≠，所以()f x 无一次因式.若一个整系

数)0(>n n 多项式()f x 在有理数域上可约，那么()f x 总可以分解成次数都小于n 的两个

整数系数多项式的乘积.则可设

22

()(1)(1)f x x mx x nx =+++-，其中n m ,为整数.即43432281()()1x x x x m n x mnx n m x -+-=++++--

比较等式两端的对应项系数，得

2

0?8m n mn n m +=-⎧⎪

=⎨⎪-=⎩

①

②③

由②知 0=m 或0n =，若0=m ，则2n =- 但8202-≠-=--=-m n ；若0n =，则2m =-，但82-≠=-m n ，所以()f x 不可约.即()f x 在有理数域上不能分解因式.

1.2 艾森斯坦判断法

定理1]

1[ （艾森斯坦判断法）设01()n

n f x a a x a x =++

是一个整系数多项式.

若是能够找到一个素数p 使

（i) 最高次项系数

n

a 不能被p 整除；

(ii) 其余各项的系数都能被p 整除； （iii) 常数项

a 不能被2

p 整除，

那么多项式)(x f 在有理数域上不可约.

例2[1]

判断2n x +在有理数域上能否分解因式.

解 令()2n f x x =+，易找到素数2p =，满足上述条件，21，2|2 ，

2

22，故()f x 在有理数域上不可约.即2+n

x 在有理数域上不能分解因式.

艾森斯坦判断法不是对于所有整系数多项式都能应用的，因为满足判断法中条件的素数p 不一定存在.若是对于某一多项式)(x f 找不到这样的素数p ，那么)(x f 可能

在有理数域上可约，也可能不可约.例如，对于多项式232x x ++与21x +来说，都找不到

一个满足判断法的条件素数p ，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约.虽然有时对于某一多项式)(x f 来说， 艾森斯坦判断法不能直接应用，但是我

们可以把()f x 适当变形后，就可以应用这个判断法，例如2

1x +，令1x y =+ 得

2()22g y y y =++，因为21，2|2，222，所以21x +在有理数域上不可约.

以上通过待定系数法和艾森斯坦判断法，我们就可以知道多项式能否分解因式.

2 分解因式

在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便、特殊，如提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题.

2.1 综合除法

综合除法用以寻找所给整系数多项式()f x 的一次因式，()f x 有因式x a -的充要条件是()0f a =，a 就是()f x 的一个根.当a 是有理数时，可用综合除法试除予以确定.这种方法的依据是：如果整系数多项式

111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--

有因式

q

x p -

（p ，q 是互质的整数）则p 一定是n a 的约数，q 一定是0a 的约数.

具体做法是：

（1）先写出整系数多项式()f x 的首项系数n a 和常数项0a 的所有因数，然后以n

a 的因数为分母，0a 的因数为分子，做出所有可能的既约分数（包括整数），如果()f x 有有理根，则必在这些既约分数中，因此它们是()f x 可能的试除数.