光学 赵凯华 习题解答

《光学》赵凯华 （钟锡华）习题解答第一章P23—5 （1-4）证一： 对平行平板上下表面分别两次运用折射定律，并考虑到平板上下是同一介质，便可证明最后出射光线与当初入射光线的方向一致。

根据几何关系可得侧向位移量为)cos sin cos (sin 2211 )sin cos cos (sin cos )sin(211221i i i i t i i i i ti i AB X −=−=−=Δ122i折射定律 sini =nsini 在i 2<i 1<<1的条件下, 取小角近似 sini 1≈i 1,cosi 1≈cosi 2≈1于是有 n n X 1−≈Δt i 1证二：)1())sin(11n n t l x ()sin(cos 11t t−=−−=θθθθ=−=θθθθP23—7（1-6）证一：由于光线垂直入射，故光线在第一个界面不发生折射，仅在第二个界面有折射。

如图， 根据折射定律 nsini 2=sini ’2 以及几何关系 i 2=α, 故 nsinα=sini ’2当α很小时, 有sinα≈α,sini ’2≈i ’2 则上式可写成nα=i ’2所以偏向角为αααδ)1(2'2−=−=−=n n i i这个近似公式, 在干涉、衍射、偏振中经常要用到, 我们应当记住。

证二：αααα+δ+⇒δ=)sin(n →sin （当0α时）得出：δα)1(−n＝P23—11（1-10）解：设棱镜的折射率为n ，水的折射率为n ’，先求得n=60.15023550sin=+D DD 2sin再由 n=n ’2sin2sin αα+δm 得D25sin 33.160.1sin=+2sin 2′=αδαn nm'132305080.0sin 2D ==+−mδα最后求出此棱镜放在水中的最小偏向角为'411D =m δp23—14（1-13）解 ：根据折射定律，得到n 0sin22111sin 1sin θθθ−=n n 21'1cos θ==n 因为光线在玻璃芯和外套的界面上发生全反射的条件为sin122n n ≥θ所以，欲使光线在纤维内发生全反射，1θ必需满足n 0sin2121)(1n n n −1≤θ故数值孔径为 n 0sin221n n −=θ'sin sin i DEF n g =∠n g DEF EDF ∠−=∠D90n n g 21光导纤维的数值孔径反映集光本领，是导光传象的重要性能参数之一。

P23—16（1-15）证： 毛玻璃的作用是增加散射，以使液层上表面处处为散射源。

如图（b）所示，在AB面入射角较小的光线，在AC面出射时折射角较大。

以折射角下限i '出射的光线1ˊ,其共轭光线1在AB面的入射角为900。

出射方向观察用的是一架接收平行光用的望远镜，它能接收从AC面出射的一系列不同方向的平行光束，同一方向的平行光在望远镜中会聚于一点。

由于AC面出射光线的折射角有一下限i '，因此在视场中出现有明显分界线的半明半暗区。

对图（b）中的E 点写出折射定律为对图（b）中的D 点写出折射定律为D90sin sin n EDF =∠又因为DEFn EDF g ∠=∠cos sin =故由以上三式得2'22sin 1sin 1gg i n DEF n −=∠−gn ='22sin i n g −gg =<nn<n 是极限法测液体折射率的限制条件。

如果液体相对棱镜是高折射率，经AB面一次折射后就有各种方向的平行光束，它们在AC面出射时就不可能在望远镜中出现有明显分界线的半明半暗区。

p32--1.（1-16）Ζ−Η×=××==1481001009.5105893103λλνc 解： （1）光频ƒ=式中λo 为光谱线的真空波长。

（2）同一谱线在介质中的光波长038775893A ===52.1nλλP132—1（1-22）解一： 按点光源照明时的照度公式2I E cos r θ=并以 I=100cd（坎德拉），A B B A A r r m r 2,2/145cos cos ,0.1,10cos cos 0=====D θθ代入分别算出A,B两点的照度为 E A =100lx E B =35lx 解二: 对于A 点lx 100cd 100cos ==(1.0m)22′=Φ=I d E LA dS A θ 对于B 点lx 2252/2cd 100cos =×==Φ=I d E θm)2(22LB dS BP132—2（1-23）解 如图，设照明处B 与灯泡垂足A 的距离为l,灯泡位于不同高度将同时改变距离r 和倾角θ，θ为变量，则r=l/sinθ 照度公式改写为E=I 2cos r θI 2l cosθsin 2θ=对上式求导得 θd dE I 2l sinθ(2-3sin 2θ)=32θd dE=0，解得 sinθ=令 l21则可得 h=P132—4（1-25） 证明：θcos dS Bd d Ω=ΦBdS d d B dS πϕθθθππ==Φ∫∫202/0cos sinB dSE π=Φ=解一: 设地面的照度为E,地球的轨道半径为z,太阳的半径为r，由球对称性和太阳的总光通量为24EZ π=Φ太阳的面发光度为R=24r πΦ=22Ez r由面发光度与亮度的关系得太阳的亮度为22Ez Rr πB=π=/s '''ΔΩΔ=ΔΦ=ΔΦs B '/s ΔΔΦ22'/z r π≈=1.5×109lm/m 2·sr=1.5×105sb 如果考虑到光功当量为k M =683lm/W,则太阳的亮度也可以表示为 B=2.2×106W/m 2·sr如果对大气层的吸收（以致地面照度降低）作修正，并考虑到太阳辐射于整个波段（不限于可见光范围）的功率，那么太阳辐射亮度值自然比以上数值还要高。

目前在大气层上边界所取的太阳辐射亮度值为2×107W/m 2·sr。

解二: 如附图，根据互易关系，亮度为B的太阳照射在地球面元上的光通量等于亮度为B的面元Δ照射在太阳上的光通量。

即现已知太阳光投射于地球的照度E=，又由太阳的半径和太阳至地球的距离可以算出太阳对地球所张的立体角ΔΩ解出B=('s ΔΔΦ)(22r z 22Ez r ππ=1.5×105sb)=r 为地球半径解三:R 为太阳半径，.srlm/m 105.1sb 105.12952×=×≈⋅==14420ππππr R E EB第二章P46—2（2-2） 解：n n r n n rn nr CA QC Q C AC QA Q A ′=+′′+=+′=′ n nC M C Q Q M H M Q M H M u u ′=′=′=′///sinsin求得球面镜的曲率半径和横向放大率为r=-19.4cm v=-30这说明，为了满足象距要求应选用一块凹面镜，此时得到的是个放大了30倍的倒立的实象。

P55—10（2-11）解一： 本题是P点经两次平面（半径为无穷大的球面）折射成象于P '点。

联立物象距公式（令r ∞→）′′−=1s n 11s '2s 21s n −=n t ns )(1+并注意到s 2=-(s ’1-t)，解出 s ’2=-t nn s pp 1('2's t )()1−=−−+=须知物象之间的位移值'1pp n−n 所以 t=mm pp 3'=与物点P的远近无关，原题中的数据15cm不是必要的。

以n=1.50，代入上式算出 t=9mm 解二：第一平面：0)150(15.11=+−+′t s 第二平面：0m )(5.1315011=−′−++t sm 9=tP70—2（2-16） 解：见P62的光焦度定义)11)((21r r n n f n P l −−==5.1=l n 1=n当 ，时，5)11(5.02=−=r r P ； 1当，n 时，5.1=l n =液n 111(5.121－）液=−−r r n (=P ＝液n 解方程得出：6.1P71—3（2-１７）解 这里的粘和剂可以看为一个两侧为空气的胶透镜，于是复合透镜相当于三个透镜的密接，其合成焦距公式为2011111f f f f ++=式中f 1,f 2分别为原来两个透镜的（两侧是空气）的焦距，f 0是胶透镜的焦距，它应当为)11)(1(10n f −−=320r r ∞式中n 0为胶的折射率。

由此可见，当r 2=r 3，既两透镜吻合时，→0f 即使有一层胶，合成焦距公式仍为=f12111f f +21a a >201=−a aP71—8（2-22） 解：设2fa 100−a 111=+10021=a a ＋得出：fa a 10021=24f 1=a ,40 ,602==a2321−=a a 1−=v ，322−=vP71—10（2-24）解：对L 来说是虚物成实像，2=s =′s 152−=−s 201=sfs =+s 111′ ，cm 60−=fP71—11（2-25）解 这是两次成象问题，设对L 1的物距、象距分别为s 1、s /1,对L 2 的物距、象距分别为s 2、s ’2，并注意到s 2=-(s /1-d)，d是L 2在L 1.510.1011'1=+s 右方的距离。

把数据代入高斯公式得 0.101)0.5(11'1'2−=−−+s s '1s cm s 0.102=′,0.10cm =解得. 并有 s 2=-5.0cm.10.100.101'11−=−=−=s s V 所以经此光学系统象成在L 2之右10.0cm处，横向放大率分别为.20.50.102'22=−−=−=s s V x总放大率为V=V 1V 2=-2 用作图法验证（如图所示）。

P97—4（2-41）解 放大镜（或目镜）的工作距离是要使得物体处在第一焦点附近稍靠里一些的小范围内，这样才能形成一个明视距离s 0以远的放大虚象供正常人眼观察。

所谓“焦深”就是指的上述小范围的纵向间隔Δ，此值也正是与明视距离相对应的物距。

令象距，由牛顿公式得f s f x f x +−==02'2)(0'f s x +−=须知视角放大率M=s 0/f，替换上式中的焦距f 得)1(0+−=M M s x焦深)1(0+==M M x Δs x cm x 17.4=x x =Δx Δ由此算出 M=2x, Δcm08.2=Δ M=3x, cm 83.0M=5x, cm23.0=M=10x,由此可见，高倍放大镜或目镜的焦距很短，焦深也随之缩短，要求实验调节更要精细。