考研数学：协方差和相关系数例题(一)
4.5.2 协方差与相关系数
4.5.2 协方差与相关系数 定义 : 称E (ξ − Eξ )(η − Eη )为随机变量 ξ 与η 的协方差 , 记为 Cov ( ξ , η )，即 Cov ( ξ , η ) = E (ξ − Eξ )(η − Eη )
即
第i 1, 第i部分需要调整 Xi = 0， 第i部分无需调整
EX = E ( X 1 + X 2 + X 3 ) = EX 1 + EX 2 + EX 3 = 0 . 1 + 0 .2 + 0 .3 = 0 . 6 DX = D ( X 1 + X 2 + X 3 ) = DX 1 + DX 2 + DX 3 = 0.1× 0.9 + 0.2 × 0.8 + 0.3 × 0.7 = 0.46
解 ：EX =
EY =
∫∫ xϕ ( x , y ) dxdy = ∫
R
R
r
−r
r
dy ∫
r2 − y2
− r2 − y2
r2 − x2
∫∫ yϕ ( x , y ) dxdy = ∫
−r
dx ∫
− r2 − x2
KXY = Cov( X,Y) =∫
=∫
+∞ +∞ −∞ −∞
r
x 2 dx = 0 πr y 2 dy = 0 πr
r2 − y2 , | y| ≤ r 2 πr | y| > r |>
ϕ( x , y ) ≠ ϕ X ( x ) ⋅ ϕ Y ( y )
协方差与相关系数
D( X + Y ) = ? D( X + Y ) = E ( X + Y )2 − [ E ( X + Y )]2
= D( X ) + D(Y ) + 2 E {[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}.
协方差
(2) 定义
称 E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]} 为随机变量 X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 即 C ov( X , Y ) = E{[ X − E ( X )][Y − E (Y )]}. 称 ρXY = Cov( X , Y ) D( X ) ⋅ D(Y ) ( D( X ) ≠ 0, D(Y ) ≠ 0)
G
O
x
D(Y ) = D( X ) = 153 / 2800,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) = 19 / 400 = 0.0475,
Cov( ,Y ) X ρXY = = 0.87, D( X ) ⋅ D(Y )
D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ) = 0.2043.
a ,b
2 = E {[Y − (a0 + b0 X )]2 } = (1 − ρXY ) D(Y )
⇒ ρXY = 1.
(4) 不相关与相互独立的关系 若随机变量X， 相互独立 相互独立， 定理 若随机变量 ，Y相互独立， 则 ρ xy = 0 ,即X，Y不相关。 不相关。 ， 不相关 不相关 注 1) 相互独立 如后面例２ 如后面例２． 2) 不相关的充要条件
2) D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) + 2Cov( X ,Y ).
随机变量的协方差及相关系数
§1.1 随机变量的协方差及相关系数例1.1《熟悉原理》设(X,Y)在xoy 平面上由圆周122=+y x所围成的区域D 内服从均匀分布，试证明：X 与Y 不相关也不相互独立。
21x --21x -证明：因为(X,Y)的联合分布密度⎪⎩⎪⎨⎧∈=,,0),(,),(1other D y x if y x p π所以，E(X),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxx xdydx dxdy y x xp πE(Y),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxydydx dxdy y x yp πE(XY),0),(1121211===⎰⎰⎰⎰----xoyxxxydydx dxdy y x xyp πcov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)=0,ρ(X,Y)=0, X 与Y 不相关。
又因为11<<-x 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(x x x dy dy y x p x p X ππ11<<-y 时，⎰⎰∞+∞-----===2211221,1),()(y y y dx dx y x p y p Y ππ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22other x if x x p X π ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=,,011,1)(22o t h e r y if y x p Y π又由于,)0,0(,)0()0(12ππ===p p p YX),0()0()0,0(YX p p p =≠所以X 与Y 不相互独立。
例1.2《熟悉方法》设X 与Y 的相关系数为ρ，试求X*=a +b X 与Y*=c +d Y的相关系数，其中a 、b 、c 、d 均为常数，且b 、d 不为零。
证明：cov(X*,Y*)= E[a +b X-E(a+b X)][c+d Y -E(c +d Y)]= E[b X-b EX][ d Y -d EY] = E[b (X-EX)d (Y -EY)] = bd E[(X-EX)(Y -EY)]=bd cov(X, Y)。
4.3协方差及相关系数及其性质
P{Y aX b} 1.
取b aE( X ) E (Y )，
ρ XY 1 的充要条件是存在常数 a, b 使
意义 |ρXY|=1当且仅当Y跟X几乎有线性关系。这说 明了相关系数的概率意义。 ρXY是刻画X，Y之间线性相关程度。
3. 协方差的计算公式 法1.若 ( X ,Y ) 为离散型，已知pij
cov( X , Y ) [ xi E ( X )][ y j E (Y )]pij
i 1 j 1
若 ( X ,Y ) 为连续型，已知f(x,y)
cov( X , Y )
即 | Cov( X , Y ) | D( X ) D(Y )
所以|ρXY|≦1。
(2) ρ XY 1 的充要条件是存在常数 a, b 使 P{Y aX b} 1.
(2)证： 由柯西一许瓦兹不等式中等号成立（ ρ XY 1 ） 充要条件知 存在常数 a 使 P{Y E (Y ) a( X E ( X ))} 1.
X Y 得 ( Z ) E E 3 2
1 1 1 E ( X ) E (Y ) . 3 3 2
X Y X Y 1 D( X ) 1 D(Y ) 1 Cov( X ,Y ) D( Z ) D D 2 Cov , 4 3 3 2 3 2 9
为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
无量纲 的量
若 XY 0, 称 X ,Y 不相关.
2. 说明
若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov( X ,Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} E[ X E ( X )]E[Y E (Y )] 0.
南昌大学概率论协方差和相关系数
X Y X Y D( Z ) D( ) D( ) 2 Cov( , ) 3 2 3 2 1 1 1 D( X ) D(Y ) Cov( X ,Y ) 9 4 3 1 1 1 D( X ) D(Y ) ρXY D( X ) D(Y ) 9 4 3
6
注： 1°
协方差可正、可负、可为零。
2° | Cov( X , Y ) | 的大小刻划了X与Y线性关系的强弱。 • • yi
i
EX EY
j
*
xi
• yi
•
*
( x EX )( y
i j
EY ) pij
3° 受量纲的影响，不便于实际应用。
7
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相 互间的关系，但它还受X与Y 自身取值的影响。 例如：当X与Y同时增大k倍时， kX与kY之间 的相互联系和X与Y之间的相互联系应该是一样 的，但反映这种联系的协方差却增大了k2倍， 即 Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，就需要对协方差进行 标准化处理，这就引入了相关系数的概念。
1 f X ( x) e 2 σ1
1 fY ( y ) e 2 σ 2
( x μ1 )
2 2 σ1
, x ,
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
, y .
17
E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ , D(Y ) σ .
1 1
3 1 有: Cov(X, Y)=E(XY)E(X)E(Y) 144 1 1 2 2 5 E ( X ) x ( x y )dxdy 0 0 12 2 5 同理,得: E (Y ) 12 2 11 5 7 2 2 ( ) D(X)=E(X )E (X) 144 12 12
概率论--方差、协方差和相关系数
2021/5/23
26
一般地， ||1
若 | | 1 ,称 与 完 全 线 性 相 关 。 若 0 ,称 与 不 相 关 。 若 0 | | 1 ,表 明 与 近 似 有 线 性 关 系 。 0 时 ,称 与 正 相 关 ， 0 时 ,称 与 负 相 关 。 当 与 独 立 时 ， 由 于 - E 与 - E 独 立 。
平均抗拉强度都是126
若最低抗拉强度要求为110，
第二批质量较差。
在平均值或期望值相同的情况下，
随机变量的离散程度也是分布的一个特征。
一 般 考 虑 随 机 变 量 对 E 的 偏 离 程 度 。
2021/5/23
4
由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?
求D() 解 法 一 ： 1 0 1
P 0.180.540.28
E ( ) ( 1 ) 0 . 1 8 0 0 . 5 4 1 0 . 2 8 0 . 1 E ( ) 2 ( 1 ) 2 0 . 1 8 0 2 0 . 5 4 1 2 0 . 2 8 0 . 4 6
2021/5/23
28
部分资料从网络收集整 理而来，供大家参考，
感谢您的关注！
2 8.5 8.8 9 9.2 9.5 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 两者的平均长度是相同的，均为9 第二批零件更好。 因为它的误差相对较小。
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2
例2，某零件的真实长度为a，现用甲、
乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐
标上的点表示如图：
• • • •• a•• • • •
协方差和相关系数
2021/5/23
协方差矩阵求相关矩阵例题
协方差矩阵求相关矩阵例题摘要：一、协方差矩阵和相关矩阵的定义与性质二、协方差矩阵的计算方法及例题三、相关矩阵的计算方法及例题四、协方差矩阵与相关矩阵的关系正文：一、协方差矩阵和相关矩阵的定义与性质协方差矩阵是一个n 阶对称矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关程度。
协方差矩阵的第i 行第j 列表示随机变量xi 和xj 之间的协方差。
协方差矩阵的元素范围为[-1,1]，若所有元素均接近0，则表示各个随机变量之间相关性较弱。
相关矩阵则是用于描述多个变量之间的线性相关程度，其元素表示变量之间的相关系数。
相关矩阵的行和列分别对应于不同的变量，矩阵中的元素表示对应变量之间的相关程度。
相关矩阵的元素范围也为[-1,1]。
二、协方差矩阵的计算方法及例题计算协方差矩阵的方法有多种，其中一种常见的方法是利用样本均值和样本方差来计算。
假设有一个n×m 的矩阵x，表示m 个随机变量，我们可以先计算出每个变量的样本均值，然后计算每个变量的样本方差，最后根据协方差的定义计算出协方差矩阵。
例题：给定一个3×3 的矩阵x，其元素为：x = [[1, 2, 3],[7, 8, 9]]计算协方差矩阵。
解：首先计算每个变量的样本均值：x_mean = [[2, 5, 8],[5, 8, 11],[8, 11, 14]]然后计算每个变量的样本方差：sx_1 = (1-2)^2 + (2-5)^2 + (3-8)^2 = 14sx_2 = (4-5)^2 + (5-8)^2 + (6-11)^2 = 22sx_3 = (7-8)^2 + (8-11)^2 + (9-14)^2 = 22最后根据协方差的定义计算协方差矩阵：cov(x) = [[0, sx_2, sx_3],[sx_2, 0, sx_1],[sx_3, sx_1, 0]]cov(x) = [[0, 22],[22, 0],[22, 0]]三、相关矩阵的计算方法及例题相关矩阵的计算方法与协方差矩阵类似，也是利用样本均值和样本方差来计算。
4.3协方差 相关系数
ξ
-1 0 1
η
－1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
0 1/8 1/8 0 1/8 1/8 2/8
1 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 3/8
pi•
3/8 2/8 3/8
p• j
信息系刘康泽
ξ 服从 − 1 , 1 内的均匀分布 而 η = cos ξ 例6、 设 、 内的均匀分布,而 2 2 不难求得： 不难求得：cov(ξ ,η ) = 0
信息系刘康泽 二、相关系数
1、定义： 、定义： 设 (ξ ,η ) 存在有 cov(ξ ,η ) ，且 Dξ > 0 , Dη > 0 ,
cov(ξ ,η ) 的相关系数, 称 为 ξ 与 η 的相关系数,记作 ρξη . Dξ Dη cov(ξ ,η ) ρξη = 即 . Dξ Dη
.
事实上， 事实上，相关系数实质上是
信息系刘康泽
【定义 不相关。 2、 定义】若 ρξη = 0 ，则称 ξ 与 η 不相关。 【定义】
3、 性质】 【性质】
(1) | ρξη | „ 1 .
由方差的性质和协方差的定义知, 证: 由方差的性质和协方差的定义知 对任意实数b，有：
D(η − bξ ) = Dη + b Dξ − 2bCov(ξ ,η )
(4) cov(ξ ,η ) = E (ξη ) − Eξ ⋅ Eη .
协方差的一个 简洁计算公式
(5) D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η ) .
即： D (ξ ± η ) = Dξ + Dη ± 2 E (ξ − Eξ )(η − Eη )
随机变量的协方差和相关系数.
独立与不相关的关系：
若 X 与 Y 独立，则X与Y不相关，
但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.
但可以证明对下述情形，独立与不相关等价
若(X,Y)服从二维正态分布，则
X与Y独立
X与Y不相关
X 与 Y 的相关系数 XY
1 147 . 46 147
Cov ( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
例1 设X~N(0,1), Y=X2, 求X和Y的相关系数。
4. 若 XY 0 ，则称X和Y（线性）不相关。
定理：若随机变量X与Y的数学期望和方差都存 在，且均不为零，则下列四个命题等价： （1） XY 0 ； （2）cov(X ,Y) = 0；
（3）E(XY)=EXEY；
（4）D(X ±Y)=DX+DY。
2 2 2 2 2
cov(Z1 , Z 2 ) cov(X Y , X Y )
cov( X , X )
2 2
2 2 D ( X ) D(Y ) cov(Y , Y )
( )
2 2
2
Z Z
1 2
cov( Z1 , Z 2 ) 2 2 D( Z1 ) D( Z 2 )
第三节
随机变量的协方差和相关系数
协方差 相关系数 协方差矩阵
相关系数矩阵
原点矩、中心矩
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的
4协方差及相关系数
若 XY 0, 称 X ,Y 不相关.
4.4.2 协方差及相关系数的性质
协方差的性质： (1) Cov ( X ,Y ) Cov (Y , X ) (2) Cov (aX ,bY ) ab Cov (Y , X ) a,b 为常数 (3) Cov ( X1 X2,Y ) Cov ( X1,Y ) Cov ( X2,Y )
, 为X ,Y的线性组合
所以 , 都服从正态分布N(0，(a2 b2 ) 2 )
在正态分布中,不相关与独立是等价的
所以当 a b 时, , 独立
当 a b 时, , 不独立
(3) 当 , 相互独立时,即a 2 b2 , , 都服从
正态分布 N (0,2a 2 2 )
f (s)
1
e
s2 22 a 2
若 X , Y 服从二维正态分布，
X , Y 相互独立
X , Y 不相关
X和Y独立时， =0，但其逆不真.
由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0.
故 Cov( X ,Y ) = 0 D( X )D(Y )
但由 0 并不一定能推出X和Y 独立.
请看下例.
例4.4.4 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0， （请课下自行验证）
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
又显然 E[(Y E(Y )) t0(X E(X ))] 0
D[(Y E(Y )) t0(X E(X ))] 0
P[(Y E(Y )) t0(X E(X )) 0] 1
P[(Y E(Y )) t0(X E(X )) 0] 1 即
协方差相关矩阵相关系数
协⽅差相关矩阵相关系数通过两组统计数据计算⽽得的协⽅差可以评估这两组统计数据的相似程度。
样本：A = [a1, a2, ..., an]B = [b1, b2, ..., bn]平均值：ave_a = (a1 + a2 +...+ an)/nave_b = (b1 + b2 +...+ bn)/m离差（⽤样本中的每⼀个元素减去平均数，求得数据的误差程度）：dev_a = [a1, a2, ..., an] - ave_adev_b = [b1, b2, ..., bn] - ave_b协⽅差协⽅差可以简单反映两组统计样本的相关性，值为正，则为正相关；值为负，则为负相关，绝对值越⼤相关性越强。
cov_ab = ave(dev_a x dev_b)cov_ba = ave(dev_b x dev_a)案例：计算两组数据的协⽅差，并绘图观察。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as mpa = np.random.randint(1, 30, 10)b = np.random.randint(1, 30, 10)#平均值ave_a = np.mean(a)ave_b = np.mean(b)#离差dev_a = a - ave_adev_b = b - ave_b#协⽅差cov_ab = np.mean(dev_a*dev_b)cov_ba = np.mean(dev_b*dev_a)print('a与b数组：', a, b)print('a与b样本⽅差：', np.sum(dev_a**2)/(len(dev_a)-1), np.sum(dev_b**2)/(len(dev_b)-1))print('a与b协⽅差：',cov_ab, cov_ba)#绘图，查看两条图线的相关性mp.figure('COV LINES', facecolor='lightgray')mp.title('COV LINES', fontsize=16)mp.xlabel('x', fontsize=14)mp.ylabel('y', fontsize=14)x = np.arange(0, 10)#a,b两条线mp.plot(x, a, color='dodgerblue', label='Line1')mp.plot(x, b, color='limegreen', label='Line2')#a,b两条线的平均线mp.plot([0, 9], [ave_a, ave_a], color='dodgerblue', linestyle='--', alpha=0.7, linewidth=3)mp.plot([0, 9], [ave_b, ave_b], color='limegreen', linestyle='--', alpha=0.7, linewidth=3)mp.grid(linestyle='--', alpha=0.5)mp.legend()mp.tight_layout()mp.show()相关系数协⽅差除去两组统计样本的乘积是⼀个[-1, 1]之间的数。
概率论与数理统计协方差及相关系数详解演示文稿
故有 D[Y (a0 b0 X )] 0 E[Y (a0 b0 X )] 0
从而有 P{Y (a0 b0 X )} 1,即P{Y a0 b0 X} 1
第十四页，共35页。
(2) 若存在常数a*,b*使得P{Y=a*+b*X}=1,则有P{[Y(a*+b*X)]2=0}=1.即得E {[Y-(a*+b*X)]2}= 0,又由
特别, 若X=Y,则 cov(X,X)=E(X-E(X))2=D(X) 因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机
变量之间的“某种”关系.
第七页，共35页。
3. 计算 对于任意随机变量X与Y,总有
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
由协方差定义得
cov(X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
Cov(X ,Y ) E[(XY ) YE(X ) XE(Y ) E(X )E(Y )]
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
这是计算协方差的常用公式.
可见，若X与Y独立，则 Cov(X,Y)= 0 .
第八页，共35页。
4.协方差的性质
(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
(对称性)
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
第二十五页，共35页。
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
0 E{[Y (a* b*X )]2}
概率论与数理统计-协方差和相关系数01
2) X与Y相互独立
X与Y不相关,只说明X与Y之间没有线性关系，但可以有 非线性关系； 而X与Y独立是指X,Y之间既无线性关系，
也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 2 2 , 2 ;) 即：若二维r.v ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; 1
E( X ) p E ( X ) np E( X )
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p) D(X)=
2
E( X )
E( X ) ab 2 1 E( X )
D(X)=
(b a ) 2 D(X)= 12
D( X )
1
(5) 切比雪夫不等式 =
∴ Cov(X,Y)=0-0=0 即X与Y不独立。
8
8
8
8
3、性质ⅰ) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(对称性)
ⅱ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是任意常数； 数 ⅲ) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) 注： 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系， 字 但它还受X与Y本身的系数影响. 例如： 特 征 Cov(10X, 10Y)=100Cov(X,Y) 标准化的协方差称为 X，Y的相关系数 实际上，10X与10Y之间的关系和X与Y之间的关系应一致。 为了克服这一缺点，将协方差标准化，即在计算协方差时， 先对X与Y进行标准化.即:
复习：方差
数 （1）定义：D（X）= E
X E( X )
2
（2）计算：
字 特 征 方法1：由定义 方差是函数g( X ) X E ( X ) 2的期望 方法2:
协方差矩阵求相关矩阵例题
协方差矩阵求相关矩阵例题【最新版】目录一、协方差矩阵的概念及性质二、协方差矩阵的计算方法三、相关矩阵的概念及性质四、相关矩阵的计算方法五、协方差矩阵与相关矩阵的关系六、例题：求相关矩阵正文一、协方差矩阵的概念及性质协方差矩阵是一个 n 阶对称矩阵，用于描述多个随机变量之间的相关性。
设随机向量 X = (X1, X2,..., Xn)，其协方差矩阵定义为：Cov(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T] / n其中，E[·] 表示期望，μ为 X 的均值向量，n 为随机变量个数。
协方差矩阵的元素 cov(i, j) 表示随机变量 Xi 与 Xj 的协方差，具有以下性质：1.协方差矩阵是对称的，即 cov(i, j) = cov(j, i)。
2.协方差矩阵的主对角线元素都是方差，即 cov(i, i) = Var(Xi)。
3.协方差矩阵的元素范围在 [-1, 1] 之间，若 cov(i, j) = 1，表示 Xi 与 Xj 完全正相关；若 cov(i, j) = -1，表示 Xi 与 Xj 完全负相关；若 cov(i, j) = 0，表示 Xi 与 Xj 不相关。
二、协方差矩阵的计算方法计算协方差矩阵的方法有多种，其中一种常见的方法是根据样本数据计算。
假设有 n 个样本数据 X1, X2,..., Xn，对应的协方差矩阵元素cov(i, j) 可以计算为：cov(i, j) = (1/n) * ∑(Xi - X 均值)(Xj - X 均值)其中，X 均值为 (X1 + X2 +...+ Xn) / n。
三、相关矩阵的概念及性质相关矩阵是用于描述多个变量之间相关性的矩阵，其元素是各变量之间的相关系数。
设随机向量 X = (X1, X2,..., Xn)，相关矩阵 R 定义为：R = Corr(X) = E[(X - μ)(X - μ)^T] / (n - 1)其中，E[·] 表示期望，μ为 X 的均值向量，n 为随机变量个数。
43协方差和相关系数
1.
| XY | 1
证明： D(X+tY) =D(X)+t2D(Y)+2tcov(X,Y) ≥0 于是， 即， △=4cov2(X,Y)-4D(X)D(Y) ≤0 cov2(X,Y)/D(X)D(Y) ≤1，得证！
Y
Y
Y
Y a 0 b0 X ( b0 0 )
c22 E[( X 2 E ( X 2 ))2 ] D( X 2 )
写成矩阵的形式
c11 c12 C Cov( X , X ) c21 c22
( X1 , X 2 ) 的协方差矩阵. 称矩阵 Cov( X , X ) 为 X 为对称阵 CT C, 即 C 为正定(非负定)阵 C 0, 即 C
23 6
Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 ;
XY
Cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
1 6 1 3 1 1 2 2
例2. 设随机变量X的方差D( X )≠0，且Y=aX+b(a≠0), 求X和Y的相关系数ρXY .
解： D(Y ) D(aX b) a2 D( X ),
例3. 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而Y=cos (X)，求X， Y的相关系数.
解：不难求得 Cov(X,Y)=0.
( 因 E ( X ) 0, E( XY )
1/2
1/2
x cos( x) f ( x)dx 0 )
因而之间不存在线性关系，并不意味着它们之间不 ρ =0， 即X和Y不相关 . X,Y 存在任何关系（即相互独立）！ 但Y与X有严格的函数关系， 即X和Y不独立 . 相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
协方差和相关系数
ρ XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数 .
3. 协方差的计算公式
(1) Cov( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ); ( 2) D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 Cov( X ,Y ).
协方差
2. 定义
( X , Y )是二维随机变量 ,量 E{[ X E ( X )][Y E (Y )]} 称为随机变量X 与 Y 的协方差. 记为 Cov( X , Y ), 或 XY ,即 C ov( X , Y ) E{[ X E ( X )][Y E (Y )]}.
而
1
解：E ( X )
x dx dy 0 2 1 － 1-x ＋ 同理 E (Y ) ypY ( y )dy － yp ( x, y )dxdy 0
1-x 2
xp X ( x) dx
＋
－
xp( x, y )dydx
2 2 σ1
, x ,
( y μ2 ) 2
2 2σ 2
2 σ 2
, y .
2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
而 Cov( X , Y ) ( x μ1 )( y μ2 ) p( x , y ) d x d y
证明 (1 ) Cov( X , Y ) E {[ X E ( X )][ Y E (Y )]}
E[ XY YE ( X ) XE (Y ) E ( X ) E (Y )]