圆波导场分布推导

⎞ ⎟⎟⎠
B
⎛ ⎜ ⎝
cos mϕ sin mϕ
⎞ ⎟ ⎠
由
Nm(x)的性质，
lim
x→0
Nm
(
x
)
→
−∞
，可得
A2=0，因此有
Hz
(ρ,ϕ,
z)
=
A1 BJ m
( Kc ρ
)
⎛ ⎜ ⎝
cos mϕ sin mϕ
⎞ ⎟
e−
⎠
jβ z
Step 2: 横向分量用纵向分量表示 在圆柱坐标系中有
alρ ρ alϕ alz
Φ
(ϕ
)
=
B1
cos
mϕ
+
B2
sin
mϕ
=
B
⎛ ⎜ ⎝
cos mϕ sin mϕ
⎞ ⎟ ⎠
对于方程(1)，如何求解？
其实方程(1)是应用广泛的 Bessel 方程。关于 Bessel 方程和 Bessel 函数，请自学。
因此可以得到 R(ρ)的特殊解：
R(
ρ
)
=
A1 J m
( Kc ρ
)
+
A2 Nm
alρ ρ alϕ alz
JG ∇× A=
1
∂
∂
∂ =1 ∂
∂ − jβ
ρ ∂ρ ∂ϕ ∂z ρ ∂ρ ∂ϕ
Aρ ρ Aϕ Az
Aρ ρ Aϕ Az
JJG
JG
由 ∇ × H = jωε E 可得
JG
JJG
由 ∇ × E = jωμ H 可得
⎧1 ⎪⎪ ρ
∂H z ∂ϕ
+
jβ Hϕ
=
jωε Eρ
⎨ ⎪⎪⎩− jβ Hρ
⎞ ⎟ ⎠
e−
jβ z
应用导体边界条件，Eφ=0 (ρ=a)——理想导体表面切向电场为 0。所以有
J
'
m
(
Kc
a
)
=
0
设 μmn 是 m 阶 Bessel 函数导数的第 n 根，所以有
Kca=μmn，所以可得
Kc
=
μmn a
因此可得 TE 波的通解形式如书(2-3-10)和(2-3-11)所示。
0
⎢ ⎢
∂ρ
⎥ ⎥
0 jωμ
−
jωμ ⎤ ⎢ 1
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
ρ
∂Ez ∂ϕ
⎥ ⎥ ⎥
− jβ 0
−
0 jβ
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎢
Байду номын сангаас∂H z ∂ρ
⎥ ⎥ ⎥
(3)
⎢ 1 ∂H z ⎥ ⎣⎢⎢ ρ ∂ϕ ⎥⎥⎦
Step 3: 应用边界条件求解
(1) 有限条件(已应用)，求出 A2=0
(2) 周期条件：f(φ=0)=f(φ=2π)。 所以 m 是整数，也就是说 Bessel 函数是整数阶的。 (3) 理想导体边界条件
圆波导场分布推导
Step 1: 求解纵向分量 因为 TE 波，所以 Ez=0，并且由 2.1 节推导可得：
H z = Hoz ( ρ,ϕ ) e− jβ z ≠ 0
接下来求解纵向分量，在圆柱坐标系中，有
∇t2
=
∂2 ∂ρ 2
+
1 ρ
∂ ∂ρ
+
1 ρ2
∂2 ∂ϕ 2
所以有
带入可得
∇t2
H
oz
(
ρ
,
ϕ
)
+
K
2 c
H
oz
(
ρ
,ϕ
)
=
0
⎛ ⎜ ⎝
∂2 ∂ρ 2
+
1 ρ
∂ ∂ρ
+
1 ρ2
∂2 ∂ϕ 2
⎞ ⎟ Hoz ⎠
( ρ,ϕ ) +
K
2 c
H
oz
( ρ,ϕ )
=
0
应用分离变量法，假设
Hoz ( ρ,ϕ ) = R ( ρ ) Φ (ϕ )
带入并整理可得
R
1
(ρ
)
⎡ ⎢ρ ⎣
2
d2R(ρ
dρ 2
)
+
ρ
− ∂H z ∂ρ
=
jωε Eϕ
⎧1 ⎪⎪ ρ
∂Ez ∂ϕ
+
jβ Eϕ
=
−
jωμ Hρ
⎨ ⎪⎪⎩− jβ Eρ
− ∂Ez ∂ρ
= − jωμ Hϕ
由上述两组方程可以解出
⎡ ∂Ez ⎤
⎡ Eρ ⎢ ⎢ Eϕ
⎢ ⎢
H
ρ
⎢⎣ Hϕ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
1
K
2 c
⎡− ⎢⎢0 ⎢0 ⎢⎣−
jβ jωε
0 − jβ jωε
dR ( ρ
dρ
)
+
ρ
2
K
2 c
R
(
ρ
)⎤⎥
⎦
=
−
Φ
1
(ϕ
)
d2Φ (ϕ
dϕ 2
)
令方程两边均等于 m2，那么可得
( ) ⎧
⎪ρ ⎪
2
d2R(ρ
dρ 2
)
+
ρ
dR ( ρ
dρ
)
+
ρ 2 Kc2 − m2
R(ρ) = 0
(1)
⎨ ⎪ ⎪⎩
d
2Φ (ϕ
dϕ 2
)
+
m2Φ
(ϕ
)
=
0
(2)
对于(2)，通解可以表示为
因为
Ez=0，所以 H z
=
H0Jm
(
Kc
ρ
)
⎛ ⎜ ⎝
cos mϕ sin mϕ
⎞ ⎟
e−
j
β
z
⎠
带入公式(3)，可得
⎧
⎪Eρ ⎪ ⎨
⎪ ⎪⎩
Eϕ
= =
jωμm
K
2 c
ρ
H
0
J
m
(
K
c
ρ
)
⎛ ⎜ ⎝
sin mϕ cos mϕ
⎞ ⎟ ⎠
e
−
jβ
z
jωμ Kc
H
0
J
'
m
(
Kc
ρ
) ⎛⎜
⎝
cos mϕ sin mϕ
( Kc ρ
)
=
⎛ A ⎜⎜⎝
Jm (Kcρ) Nm (Kcρ )
⎞ ⎟⎟⎠
其中 Jm(x)是第一类 m 阶 Bessel 函数，Nm(x)是第二类 m 阶 Bessel 函数。
所以，可以得到 Hoz 的解的形式：
H oz
(
ρ,ϕ
)
=
R
(
ρ
)
Φ
(ϕ
)
=
⎛ A ⎜⎜⎝
Jm (Kcρ ) Nm (Kcρ )