二阶电路的零输入响应

经常写为： uC Ae t sin(t )
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uucC A0eU0et sitns(in(t t))
由初始条件uddCut(C0(0))
U
0 0
Asin A( )
U0
sin
A cos
0
A U0 ， arctan( )
sin
sin
0
A
0
U0
ω0
ω
δ
ω，ω０，δ的 关系
e p2t )
t=0+ iC=0 , t= iC=0
iC>0 t = tm 时iC 最大
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③电感电压
U0
uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
+
iC
O
tm
2tm uL
C
L
-R
t
uL
L
di dt
U0 ( p2 p1)
( p1e p1t
p2e p2t )
t 0, uL U0 t ∞, uL 0
uC
0
特征方程： LCp2 RCp 1 0
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特征根： p R R2 4L / C R ( R )2 1
2L
2L 2L LC
2. 零状态响应的三种情况
R 2 L 二个不等负实根 过阻尼 C
R 2 L 二个相等负实根 临界阻尼 C
R 2 L 二个共轭复根 欠阻尼 C
dt
dt
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以电容电压为变量时的初始条件：
uC(0+)=U0 i(0+)=0
duC dt
以电感电流为变量时的初始条件：
t 0
0
i(0+)=0 uC(0+)=U0
di
uC (0 )
uL (0 )
L dt
t 0
U0
di U0
dt t0
L
电路方程：
LC d2uC dt
RC duC dt
+
+
C -
L
C -
L
R
R
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(2) R 2 L C
p1, 2
R 2L
( R )2 1 2L LC
共轭复根
令：
R 2L
(衰减系数),
0
1 (谐振角频率) LC
2 0
2
(固有振荡角频率)
p j
uC 的解答形式：
uC A1e p1t A2e p2t et ( A1e j t A2e j t )
C
uC
A e p1t 1
A e p2t 2
可推 R 2 L 临界阻尼， 非振荡放电
广应 用于
C uC A1e t A2te t
一般 R 2 L 欠阻尼， 振荡放电
二阶
C
电路
uC Ae t sin(t )
由初始条件duduCtC(0(0)) 定常数 返回 上页 下页
例5-1 电路如图，t=0 时打开开关。求uC并画出其
变化曲线。
解 （1） uC(0－)=25V iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串
20 + 100F
+50V
0.5H
5
uC -
iL
联电路，方程为
LC d2uC dt
RC duC dt
uC
0
10 10
特征方程为 50p2+2500p+106=0
p 25 j139 uC Ae25t sin(139t )
0< t < tm ， i 增加, uL>0， t > tm i 减小, uL <0
t=2 tm时 uL 最大
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uL
L
di dt
(
U0 p2 p1)
(
p e p1t 1
p2e p2t )
iC=i 为极值时，即 uL=0 时的 tm 计算如下:
( p1ep1t p2ep2t ) 0
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uC
0
U
e
0
t
sin(t
)
uC
是振幅以
0
U
为包络线依指数衰减的正弦函数。
0
t=0 时 uC=U0 uC =0：t = －，2－ ... n－
uC
U0
0
U
e
0
t
O － 2－ 2
t
0
U
e
0
t
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U0 uC
iC
C duC dt
U0 e t sin(t) L
iC
U
0
0
A1 A1
U
(
0
)
A2
Байду номын сангаас
0
A1 A2
U0
U0
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uC A1e t A2te t
A1 U0 A2 U0
uC
U
e
0
t
(1
t)
iC
C duC dt
U0 L
te t
非振荡放电
uL
L
di dt
U
e
0
t (1
t)
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小结 R 2 L 过阻尼， 非振荡放电
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(1) R 2 L C
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) U0 A1 A2 U0
duC dt
(0 )
p1 A1
p2 A2
0
A1
A2
p2
p2
p1
U0
p1 p2 p1
U
0
uC
U0 p2
p1
(
p2e p1t
p1e p2t )
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①电容电压
7-5 二阶电路的零输入响应
1. 二阶电路的零输入响应
+
i
uC
L
C- R
已知： uC(0+)=U0 i(0+)=0
电路方程： Ri uL uC 0
i C duC dt
uL
L
di dt
以电容电压为变量：
LC d2uC dt
RC duC dt
uC
0
以电感电流为变量： LC d2i RC di i 0
p1tm
p e 2
p1
e p2tm
由 duL/dt 可确定 uL 为极小时的 t 。
ln( p2 )
tm
p1 p1 p2
( p12e p1t p22e p2t ) 0 2ln( p2 )
t 2tm
t
p1
p1 p2
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④能量转换关系
U0
uC
iC
O tm 2tm
t
uL
0 < t < tm uC 减小 ，i 增加。t > tm uC减小 ，i 减小。
O － 2－ 2
t
iC=0：t =0，，2 ... n ，为 uC极值点，
iC 的极值点为 uL 零点。
uL
L
di dt
0
U
e
0
t
sin(t
)
uL=0：t = ，+，2+ ... n+
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uC U0
能量转换关系：
iC
O - 2- 2
t
+
+
+
C
LC
LC
L
-
-
-
R
0 < t <
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uC Ae25t sin(139t )
(3)CudCdu(t0C
) 25 0 5
Asin 25 A(139 cos
25
s
in
)
5 104
A 356， 176o
uC uC 356e25t sin(139t 176o )V
356
25
O
t
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R
< t < -
-
R
< t <
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特例：R=0 时
0 ， 0
1 ， π
LC
2
uC U0 sin(t 90 ) uL i U0 sin(t)
L
等幅振荡
+
C
L
O
t
-
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(3) R 2 L C
p1
p2
R 2L
uC A1e t A2te t 相等负实根
由初始条件uddCut(C0(0))
设 |p2|>|p1|
U0
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
uC
p2U0 e p1t
p2 p1
O
t
p1U0 e p2t
p2 p1
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②电容和电感电流
U0
uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
iC
O tm
t
iC
C duC dt
U0 (e p1t L( p2 p1)