第五章-第二十三讲(晶体的机电耦合效应)

0
0
1
2 3
2 0
2
1
2 0
0 1
晶体的极化性质
11 0 0 i'j aik kla jl 0 11 0
0 0 33
过程？作业
晶体的极化性质
➢ 三方晶系 ： 矩阵法：
变换矩阵
1 3 0
2 2
3 1
aij
2 0
2 0
0
1
作业
立方晶系介电常数空间分布
33
0 1
0 11 0 12
12 22
13 23
0 0 113 23 33 0 0 1 13 23 33
其几何表象是一个三轴不等的椭球
晶体的极化性质
➢ 三斜晶系：
其特征对称素为沿x2轴的2次旋转对称轴 其标变换矩阵
1 0 0 aij 0 1 0
0 0 1
1 0 0 x1 x1 xi' aij x j 0 1 0 x2 x2
0 0 1 13 23 33 0 0 1
22 12 13 11 0 0 12 11 13 0 11 0
23 13 33 0 0 33
晶体的极化性质
➢ 六方晶系 ：
特征对称素是x3的6次旋转轴
1 3 0
c os aij sin
0
sin cos
0
晶体的极化性质
➢ 正交晶系 ：
特征对称素为三个彼此垂直的2次旋转对称轴
矩阵法：坐标变换矩阵：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
x1轴：
1 0
' ij
0
1
0 11 0 12
12 22
13 1 0 23 0 1
0 0 1 x3 x3
晶体的极化性质
x1 x1 x2 x2 x1 x1
1 0 0 11 12 13 1 0 0 i'j aik klakj 0 1 0 12 22 23 0 1 0
0 0 1 13 23 33 0 0 1
11 12
13
12 22 23
13 23 33
晶体的极化性质
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由Neumann法则
' ij
ij
x1x2 x1x2 12 12 12 0
x1 x3 x1 x3
13 13
13 13
x2 x3 x2 x3
23 23 23 0
11 0 13 0 22 0 13 0 33
4个独立非零分量
其几何表象是三轴不等的椭球，椭球的y轴重合于二次旋转的对称轴x
dw E dD Ei dDi ij Ei dE j ji E j dEi
w E j
ij Ei
w Ei
ji E j
2w Ei E j
ij
2w E j Ei
ji
晶体的极化性质
由于二次偏微商次序可调换
ij ji 对称二阶张量
11 12 13 ij 21 22 23
x3轴：
''' ij
1 0
0 1
0 11 0 12
12 22
13 1 23 0
0 1
0 11 0 0
0 13 11 0 22 0 0 22
0 0
0 0 113 23 33 0 0 1 13 0 33 0 0 33
晶体的极化性质
脚标法
晶体的压电性质
晶体的机电耦合效应
晶体的极化性质
➢ 应变X、应力x与电场强度和电位移之间的耦合作用
Di ij E j
二阶介电系数张量εij是一个对称张量， 只有六个独立分量，证明如下：
由热力学，晶体在电场作用，使正、负电荷q相对位移dl 作功：
dA f dl qdE dl E dP
讨论其形状
晶体的极化性质
电场对单位体积晶体作功：
dwp E dP
在建立电场时，电场对自由空间作功：
dwE D dE 0E dE
电场对充满晶体空间的单位体积作功：
dw dwp dwE E (0dE dP) E dD
晶体的极化性质
E 可理解为一种广义力
dD 理解为微小的广义位移
1
0.5
0
-0.5
-1 1
0.5
0 -0.5
-1 -1
0 -0.5
1 0.5
三方晶系介电常数空间分布
11>33
33
10
5
0
-5
-10 10
5
10
0 -5
5 0 -5
-10 -10
三方晶系介电常数空间分布
33>11
33
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
4 2 0 -2
4
2
-2
0
-4 -4
二阶张量的几何表示
坐标变换：
x1轴： 1 1
2 2
3 3
x2轴：1 1 2 2 3 3
x3轴：1 1 2 2 3 3
张量变换：
x1轴：
11 11
22 22
33 33
12 12 0 13 13 0
以x1轴为例
23 23
晶体的极化性质
➢ 四方晶系：
特征对称素为x3轴的4次旋转轴
31 32 33
只有六个独立分量且还受晶体结构对称性的制约
晶体的极化性质
➢ 三斜晶系：
对称性最低，介电系数张量有六个独立分量
1 0 0
1 0 0
坐标变换矩阵 0 1 0 或 0 1 0
0 0 1
0 0 1
1
(
' ij
)
0
0 1
0 11 0 12
12 22
13 1 23 0
脚标法： 坐标变换： 1 2 2 1
33
张量变换： 11 22 22 11 33 13 12 21 23 13 13 23
33 13 12 21 0 23 13 23 0
晶体的极化性质
矩阵法：
0 1 0
aij 1 0 0
0 0 1
0 1 0 11 12 13 0 1 0 i'j aikkla jl 1 0 0 12 22 23 1 0 0
0 11
0 0
0
22
13
0
0 0 113 23 33 0 0 1 13 0 33
晶体的极化性质
x2轴：
'' ij
1 0
0 1
0 11 12 13 1 0 0 12 22 23 0 1
0 11 0 0 0 22
13
0
0 0 113 23 33 0 0 1 13 0 33
若sij s ji对称
上式二次方程就是以原点对中心的二次曲面，即椭球或双曲面
作坐标变换：
xi aki xk'
x j alj xl'
可得：
xk' akisij alj xl' 1
二阶张量的几何表示
xk'
s
'
kl
xl'
1
在新坐标系中二次曲面
这与二阶张量的变换形式相同，可见二阶张量所代表 的物理性质可用二次曲面来描述，这一曲面称作张量 的几何表象。
➢ 晶体的各向异性可用张量表示，也可用几何形式表述 张量。那么晶体的物理性质也可用几何图形来表述
二次方程
xi sij x j 1
展开 s11x12 s12x1x2 s13x1x3 s21x1x2 s22x22 s23x2x3 s31x3x1 s32x3x2 s33x32 1
二阶张量的几何表示