高三数学选择填空难题突破—复杂的三视图问题

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新高考数学复习专题突破——突破1.4 有关三视图的问题含解析

突破1.4 有关三视图的问题【基础巩固】1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱【答案】A2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体【答案】C【解析】：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P-A1B1A的侧视图为()【答案】D【解析】：如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P-A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C5、若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm³。

【答案】24【解析】根据上述步骤，还原几何体可得AD-BCMN，则11134534324232AD BCMNV-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=6、已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.【答案】【解析】由三视图可得三棱锥如图所示，则.7、—锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为________.【答案】8、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面中，面积最小值等于________.【答案】9．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．【答案】略【解析】： (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体．(2)直观图如图所示．10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，如图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A．【答案】(1) 36 cm2 (2) 6 3 cm.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝6 3 cm.【能力提升】11．[数学文化]我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：如图以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图形状为()【答案】B【解析】：由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.12.(2016年北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】A13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．13π+ B ．23π+ C ．123π+ D ．223π+ 【答案】．A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A ． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）俯视图4222A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 【答案】．B【解析】由三视图可知该几何体的体积：221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=．【高考真题】15．（2018课标卷I ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【答案】B16.（2018课标卷III）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．【答案】A17.（2018北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．18.（2018浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C19.(2017课标I)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B20.(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【解析】：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l =++=，故选B.21.(2016课标卷III)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18365+（B ）54185+（C ）90（D ）81【答案】B22.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.【解析】．该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =，所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok 了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA 之类的先边化角然后把第一题算的比如角A 等于60度直接假设B 和C 都等于60°带入求解。

高中数学高考复习《空间几何体的三视图》经典例题解析附习题答案

3 32正视图侧视图俯视图图1空间几何体的三视图1..一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48 (B)32+8(C) 48+8(D) 80【答案】 C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。

故S 表【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。

2.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.1229 B.1829 C. 429 D. 1836答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于233)23(3431829。

故选 B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.3.如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）b5E2RGbCAPA.63 B.93 C.123 D.183【解析】 B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，.ABCD EA 平面3931232hS VABCD平行四边形。

所以选 B4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283（B ）83（C ）82（D ）23【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为3212123283故选A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是HGFEDCBA 3123A ．8B ．62C ．10 D ．82【答案】 C6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.p1EanqFDPw答案：2323234aa ，解得解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a ，则由a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是322232.DXDiTa9E3d7.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________ 3m 【答案】6【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为1321363V V 长方体圆锥.8. 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.9.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是第一节10.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于（）A.3 B.2 C.23 D.6【命题立意】本题考查三棱柱的三视图与直观图、表面积。

专题4.1 复杂的三视图问题高考数学选填题压轴题突破讲义

高考有方法——三视图解题超级策略

高考有方法——三视图解题超级策略一、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、还原三视图的常用方法1、方体升点法；2、方体去点法（方体切割法）；3、三线交汇得顶点法方法一方体升点法例1：(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为() A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.方法二方体去点法例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直角边长为4，宽为3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练5.如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为4等腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积.方法三三线交汇得顶点法例3：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．62 B． 6 C．42 D． 4正确答案是 B．解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可跟踪训练6.首先在正方体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平行延长，如图．类似地，将俯视图和侧视图也如法炮制．这样就可以找到三个方向的交叉点．由这些交叉点，不难得到直观图．练习1、练习2、练习1答案：练习2答案：跟踪训练7.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是直角边长为4 等腰直角三角形，侧视图是边长为4 的正方形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练8. 如图所示为四棱锥的三视图，主视图是边长为4 的正方形，侧视图是直角边长为4 等腰直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练9.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是长为4，高为5 的长方形，侧视图的长为3 的长方形，俯视图为直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.三视图练习1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.4042+2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）D A 、8π B 、252π C 、12π D 、414π 4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（）AA 、23B 、43C 、83D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）D （A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51 6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） C A. 1727 B. 59C. 1027D. 137、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（）A(A) (B) (C)(D)8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ）9、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（）D10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.4244C D B PAO y x z(0,1,1)(0,0,0)(1,0,1)(1,1,0)D D 1C 1B 1111、已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为_____________.20或1612、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于_____________.13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.14、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________. 15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）816、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A .62B .42C .6D .4 17.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A )A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 22222CAP B 3383323。

高中数学三视图解题技巧

高中数学三视图解题技巧在高中数学中，三视图是一种常见的解题方法，尤其在几何题中应用广泛。

通过三视图，我们可以更加直观地理解和解决问题。

本文将介绍一些常见的三视图解题技巧，并通过具体的题目进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一解题方法。

一、什么是三视图三视图是指一个物体或图形从不同方向观察时所得到的三个视图，通常包括俯视图、前视图和侧视图。

通过这三个视图，我们可以全面了解物体或图形的形状和特征，从而解决与其相关的问题。

二、三视图解题的基本步骤1. 确定视图方向：在解题过程中，首先要确定俯视图、前视图和侧视图的方向，通常俯视图在上方，前视图在中间，侧视图在下方。

2. 观察图形特征：通过观察三个视图，分析图形的特征，如边长、角度、对称性等。

3. 建立关系：根据观察到的特征，建立各个视图之间的关系，找出它们之间的联系。

4. 运用几何知识：根据建立的关系，运用几何知识进行推理和计算，解决问题。

三、三视图解题的考点1. 图形的投影：在三视图中，图形的投影是一个重要的考点。

投影是指物体在不同方向上的阴影，通过观察投影，我们可以确定图形的形状和位置。

例如，某题给出了一个正方体的三视图，要求求解正方体的体积。

通过观察侧视图，我们可以发现正方体的高度，然后根据俯视图和前视图中的边长信息，计算出正方体的体积。

2. 图形的对称性：在三视图中，图形的对称性也是一个重要的考点。

通过观察三个视图，我们可以判断图形是否具有对称性，并利用对称性进行计算。

例如，某题给出了一个立方体的三视图，要求求解立方体的表面积。

通过观察俯视图和前视图，我们可以发现立方体的两个相对面是相等的，根据对称性，我们可以利用这个特点计算出立方体的表面积。

3. 图形的位置关系：在三视图中，图形的位置关系也是一个重要的考点。

通过观察三个视图，我们可以确定图形之间的位置关系，并利用位置关系进行计算。

例如，某题给出了一个平行四边形的三视图，要求求解平行四边形的面积。

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析

高三数学空间几何体的三视图与直观图试题答案及解析1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的四分之一，其底半径为，高为，所以其体积为，故选.【考点】1.三视图；2.几何体的体积.2.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知，空间几体体的直观图如下图所示：所求几何体的体积故选C.【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积.3.如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为A．πB．2πC．3πD．4π【答案】C【解析】原几何体为有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是边长为1的正方形，垂直于底面的侧棱长也为1，因此，该几何体可以补形为一个棱长为1的正方体，其外接球就是这个正方体的外接球，直径为正方体的对角线长，即2R＝，故R＝故外接球表面积为：4πR2＝3π.【考点】三视图，几何体的外接球及其表面积4.如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位： cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为________cm2．【答案】29π【解析】从三棱锥的三视图可知，三棱锥有两侧面与底面垂直，把三棱锥补成长，宽，高分别为4,2,3的长方体，设外接球的半径为R，由42＋22＋32＝4R2得，S＝4πR2＝29π(cm2)．球5.某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A．4B．2C．D．8【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2．HD＝3，BF ＝1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为×2×2×4＝8．6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知左视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D．7.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，= .【答案】【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，底面是面积为的矩形，高为，所以，解得.【考点】三视图，空间几何体的体积.8.如图，水平放置的正三棱柱的主视图是一边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图的面积为．【答案】【解析】左视图为一个矩形，长宽分别为，因此面积为.【考点】三视图9.若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为() A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．10.图中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为________．【答案】16【解析】从三视图可知，这是一个四棱锥，.【考点】三视图.11.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】几何体是圆柱，.【考点】三视图，圆柱的体积.12.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A．1B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.13.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，正视图的最大面积为对角面的面积，最小面积为，而，故选C．【考点】三视图.14.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体，，，∴.选B.【考点】三视图，体积.15.三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】过B作BD⊥AC于点D，则BD=2，CD=2，所以BC=,因为SC⊥平面ABC，所以SC⊥BC，所以SB=,故选B.【考点】三视图、直线与平面垂直的性质.16.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.【考点】1.三视图；2.组合体的体积17.右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】【解析】所求几何体为一个底面半径为1，高为1的圆柱与半径为1的四分之一的球的组合体，所以体积为【考点】三视图18.一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为______.【答案】96【解析】几何体为一个三棱柱，底面为一个等腰三角形，底边长为6，底边上高为4，棱柱的高为8.因此所求体积为【考点】三视图19.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C－ABD，它的主视图与俯视图如右上图所示，则二面角 C－AB－D的正切值为．【答案】【解析】如图所示,做BD,AB的中点分别为点E,F.则有CE面ABD,由于EF为等腰直角三角形ABD的中位线,故EF AB,则为二面角 C－AB－D的代表角,所以,故填.【考点】二面角三视图20.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC 的面积为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】D【解析】斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶，则易知S＝ ( a)2，∴S＝a2.21.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A．πcm3B．3πcm3C．πcm3D．πcm3【答案】D【解析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=3π-π=π(cm 3).22. 右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝AD ＝2EC ＝2.(1)请画出该几何体的三视图； (2)求四棱锥B-CEPD 的体积．【答案】(1)见解析 (2)2【解析】解：(1)该组合体的三视图如图所示．(2)∵PD ⊥平面ABCD ， PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD. ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，且BC ＝DC ＝AD ＝2. 又∵平面PDCE∩平面ABCD ＝CD ， BC ⊂平面ABCD. ∴BC ⊥平面PDCE.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥DC.又∵EC ∥PD ，PD ＝2，EC ＝1，∴四边形PDCE 为一个直角梯形，其面积： S 梯形PDCE ＝ (PD ＋EC)·DC ＝×3×2＝3， ∴四棱锥B-CEPD 的体积V B-CEPD ＝S 梯形PDCE ·BC ＝×3×2＝2.23. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【答案】A【解析】将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋×22×π×4＝16＋8π.24.某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．【答案】【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r＝1.∴体积V＝×(π×12×2)＝.25.如图所示为一个几何体的直观图、三视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形)．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.【答案】（1）（2）见解析【解析】(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4 ，BE＝2 ，AB＝4.∴VP-ABCD ＝PA·S四边形ABCD＝×4 ×4×4＝.(2)∵＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，∴△EBA∽△BAP，∴∠BEA＝∠PBA.∴∠BEA＋∠BAE＝∠PBA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE.∵BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.∵PG⊂平面PBC，∴AE⊥PG.26.如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．【答案】9【解析】由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，∴V＝Sh＝×9×3＝9.27.某几何体的三视图如图所示，主视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形.则该几何体的表面积为( )A. B. C. D【答案】B【解析】此几何体直观图如图所示。

三视图习题(含答案)较难

几何体的三视图练习题1309131、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（A ）2（B ）1（C ）23（D ）132、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）（A ）372 （B ）360 （C ）292 （D ）2803、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（A ）3523cm 3 （B ）3203cm 3 （C ）2243cm 3 （D ）1603cm 34、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为：（）5、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) AB ．2 C．．66、图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h= cm7、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。

8、如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.第2题第5题9、如图1，△ ABC 为正三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' ⊥平面ABC 且3AA '=32BB '=CC '=AB,则多面体△ABC -A B C '''的正视图（也称主视图）是（）10、一空间几何体的三视图如图所示,的体积为().A.2π+B. 4π+C.2π+ D. 4π+11、上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π12、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（）（A ）（B ）（C ）（D ） 13、若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．第7题侧(左)视图正(主)视俯视图俯视图正(主)视图侧(左)视图第14题14、设某几何体的三视图如上图所示。

高中数学小问题集中营专题5.3 突破点几何体三视图

问题3突破点几何体三视图常见误区一、问题的提出在立体几何三视图中易忽视组合体的结构特征是几何体切割类而得到，正视方向与侧视方向的判断而出错．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，否则容易出现错误．二、问题的探源某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体正视图和侧视图的画法正确的是( )【答案】A【解析】该几何体是由圆柱切割而得，由俯视图可知正视方向和侧视方向，进一步可画出正视图和侧视图(如图所示)，故选A.1．易忽视组合体的结构特征是由圆柱切割而得到和正视方向与侧视方向的判断而出错．2．三种视图中，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线．画三视图时，一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．三、问题的佐证：借助典型例题进行针对讲解，分析问题的症结，提出解决问题的方法；考向一：几何体切割例一、沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是( )【答案】D【解析】选D 从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线．考向二：画几何体三视图[例2] 画出如右图所示的四棱锥的三视图．【解析】几何体的三视图如下：画三视图的注意事项(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．练习：如图，在正方体1111ABCD A B C D 中， M N 、分别是1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在平面11ADD A 上的投影为图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点N 在平面11ADD A 上的投影在1D D 中点处，点M 投影在D 处，由投影可判断B 图正确，故选B.考向三：由三视图还原空间几何体例3 下图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为__________．【答案】83【方法总结】由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状．练习一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】A考向四：空间几何体中的最值问题例四、某三棱锥的三视图如图所示．（1）该三棱锥的体积为__________．（2）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是__________．【答案】 8【解析】三棱锥的底面积13462S =⨯⨯=，1164833V Sh ==⨯⨯=，其四个面的面积分别为113462S =⨯⨯=，2115322S =⨯=，314102S =⨯=，412S =⨯=．四、问题的解决：通过针对性的训练，进行集中的反复打磨，确实达到能够达到问题的解决。

三视图高考题选答案版

三视图高考题选一、知识点1、三视图的名称几何体的三视图包括：主视图、左视图、俯视图．2、三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．【题型一】空间几何体的三视图1、若某几何体的三视图如图7－1－4所示，则这个几何体的直观图可以是( )图7－1－4【解析】根据主视图与俯视图可排除A、C，根据左视图可排除D.故选B.2、(2012·陕西高考)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )图7－1－73、[2014·福建卷]某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱[解析]A由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形．4、[2014·江西卷]一几何体的直观图如图1-1所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )图1-1A B C D图1-2[解析]B易知该几何体的俯视图为选项B中的图形．【题型二】三视图与面积1、(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧(左)视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正(主)视图的面积等于( )A. B．1 C. D.【解析】由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，因此该几何体的主视图是一个长为，宽为1的矩形，其面积为.【答案】D2、[2014·安徽卷]一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为( )A．21＋B．8＋C．21D．18图1-2[解析]A如图，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其表面积S＝6×4－×6＋2×××＝21＋.3、[2014·浙江卷]几何体的三视图(单位：cm)如图1-1所示，则此几何体的表面积是( )图1-1A．90 cm2B．129 cm2 C．132 cm2D．138 cm2[解析]．D此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，故选D.4、[2014·重庆卷]某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为( )图1-2A．54B．60 C．66D．72[解析]B由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝×3×4＋＋×4＋×5＋3×5＝60.【题型三】三视图与体积1、(2013·广东高考)某三棱锥的三视图如图7－1－8所示，则该三棱锥的体积是( )图7－1－8A. B.C. D．1【解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V＝××1×1×2＝，故选B.【答案】B2、[2014·辽宁卷]某几何体三视图如图1-1所示，则该几何体的体积为( )A．8－2πB．8－πC．8－D．8－图1-1[解析]B根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2××π×2＝8－π.3、[2014·天津卷]一个儿何体的三视图如图1-3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图1-3[解析]由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π×22×2＝.4、（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A 5、（2013年广东（理））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．4B ．143C ．163D ．6 【答案】B 正视俯视侧视第5题。

专题三三视图问题解题策略

专题二二视图问题解题策略【咼考地位】在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题 •在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题 .因此，牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法【知识要点】一、三视图相关问题1画物体的三视图时，要符合如下原则：长对正，高平齐，宽相等•2、要求：能看见的轮廓线和棱用实线，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。

3、位置：俯视图安排在正视图的正下方，侧视图安排在正视图的正右方一、三视图的还原【典例分析】类型一三视图的识别与还原问题【例1】正方体ABCD - A I B I C I D I 中E 为棱BB i 的中点（如图），用过点 A , E , C i 的平面截去该正方体【例2】牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体•它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）•其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线•其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A • a,bB • a,cC . c,bD . b,d类型二以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题r 简单的三视圏直接还原*圧肛|佃 —*■根据俯视图碉址1樹KIE 豳 ”|視图确电儿定檢和侧血—丈线*廉线対应棱的仃胃.定形状 H 确定几何怵的形状「从清垂肓与半行关系乙复杂的三视圈在正方体或者长方体内还原.的上半部分，则剩余几何体的左视图为B( )AB C D面体外接球的表面积为（）25 —n 2【例7】设某几何体的三视图如上右图（尺寸的长度单位为 m ）,则该几何体的体积为 ________________________________________________________________【课后练习】、选择题1•如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用）,则四面体ABCD 的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（）5 3）④ ⑤ ⑥【例3】设某几何体的三视图如左下图（尺寸的长度单位为 m ）,则该几何体的体积为【例6】如上中图，网格纸上小正方形的边长为 1粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多C . 12- 41 条棱中，A . 最长的棱的长度为（） 6 .2B . 6C . 4 2D . 4 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如下左图所示，则该几何体的体积为（ 2込A .D .A .①②⑥B .①②③C .④⑤⑥D .③④⑤2•若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）3.已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）2的正三角形，侧视图是有一条直角边为4.如左下图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）’ 1 J2 /6D .-2 4A . 8 8.2 4.6 B. 8 82 2. 65. 如右上图是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为8 4A . - B.-3 36. 如左下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是B.8310( )C . 4、34A.-311複图7•某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（注12A. 4B. 21 .3C.3.3 12D.8.已知点E 、F 、G 分别是正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱AA i 、C®、DD i 的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、AG 、BE 、C 1B 1上.以M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥 P — MNQ 的俯视图不可能是（）19•一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为2,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的 _________ .（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆. 11•某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为 12.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为▲▲▲选择、填空题答案填在此处题号12345678答案,其中一个几何体的三视图如左下图所示，那么该几何体图柳ft10.棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体的体积是 ___________丁沖.西fn9、10、11、12、_____________专题二二视图问题解题策略参考答案【例1】【答案】C【解析】过点A、E、C i的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图，则该几何体的左视图为C,所以C选项是正确的。

高三数学二轮复习必考问题专项突破12 三视图及空间几何体的计算问题理

必考题12 三视图及空间几何体的计算问题1．(2012·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )．A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案：D [球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.]2．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5答案：B [该三棱锥的直观图，如图所示，其中侧面PAC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面PAC ，从而BC ⊥PC .故S △PAC ＝12×5×4＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝12×4×5＝10；由于PB ＝PD 2＋BD 2＝16＋25＝41，而AB ＝52＋42＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边AP 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥PA ，又AE ＝12PA ＝5，所以BE ＝41－5＝6，所以S △PAB ＝12×25×6＝6 5.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.]3．(2012·新课标全国)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )．A.26B.36C.23D.22答案：A [在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.] 4．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案 38在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题．试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题．该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.必备知识正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长．(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题．必备方法1．几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段．2．求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.三视图的识图与计算常考查：①三视图的识别与还原问题；②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题．主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点．【例1】►已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )．A.4 0003 cm 3B.8 0003cm 3C ．2 000 cm 3D ．4 000 cm 3[审题视点] [听课记录][审题视点] 画出直观图后求解．B [此几何体的图为SABCD ，且平面SCD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，边长为20 c m ，S 在底面的射影为CD 的中点E ，SE ＝20 c m ，V SABCD ＝13S ▱ABCD ·SE ＝8 0003c m 3.故选B.]解答此类题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确； (2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚； (3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等．【突破训练1】如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝________.解析由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a ，∴V ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×a ＝33⇒a ⇒ 3.答案3几何体的表面积与体积此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题为主，多为容易题．【例2】► 如图所示，四棱锥PABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P ABC 的体积． [审题视点] [听课记录][审题视点] (1)利用BD 是圆的直径可知∠BAD ＝90°，再利用△ADP ∽△BAD 求解． (2)先通过计算证明PD 2＋CD 2＝PC 2，则可知PD ⊥面ABCD ，再由S △ABC ＝12AB ·BC si n ∠ABC .可求解．解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°，又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DPAD，DP ＝AD 2BA＝BD2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R .∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2， ∴PD ⊥CD ，又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥底面ABCD ，则S △ABC ＝12AB ·BC si n (60°＋45°)＝12R ·2R 32×22＋12×22＝3＋14R 2，所以三棱锥PABC 的体积为V PABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【突破训练2】 (2012·巢湖二模)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、俯视图．已知CF ＝2AD ，侧(左)视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示．求该几何体的体积．解如图，取CF 的中点P ，过P 作PQ ∥CB 交BE 于Q ，连接PD ，QD ，AD ∥CP ，且AD ＝CP . 四边形ACPD 为平行四边形，∴AC ∥PD .∴平面PDQ ∥平面ABC ，该几何体可分割成三棱柱PDQCAB 和四棱锥DPQEF ， ∴V ＝V 三棱柱PDQCAB ＋V DPQEF ＝12×22si n 60°×2＋13×＋2×3＝3 3.切接问题该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易．【例3】► 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2[审题视点] [听课记录][审题视点] 确定球心的位置，寻找直角三角形，通过直角三角形求球的半径． B [设三棱柱上底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，由已知r ＝23·32a ＝33a .又∵R 2＝r 2＋12a 2＝13a 2＋14a 2＝712a 2，∴S 球＝4πR 2＝4π·712a 2＝73πa 2，故选B.]涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．【突破训练3】设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C ，若圆C 的面积等于7π4，则球O 的表面积等于________．【突破训练3】解析如图，设O ′为截面圆的圆心，设球的半径为R ，则OM ＝R2，又∠O ′MO ＝45°，∴OO ′＝24R .在Rt △O ′OB 中，OB 2＝O ′O 2＋O ′B 2，∴R 2＝R 28＋74，∴R 2＝2，∴S 球＝4πR 2＝8π. 答案 8π等价与转化在求几何体体积中的应用1．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解．2．求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高易求．【示例】►如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC的体积．[满分解答] (1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA.因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD、CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，PC⊂平面PDC，所以AB⊥PC.(6分)(2)作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.(8分)因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB.所以三棱锥PABC的体积V ＝13·S ·PC ＝83.(12分)老师叮咛：本题难度中档，第问要证线线垂直，则需转化为证线面垂直；第问求三棱锥P ABC 的体积，可转化为求以△ABE 为底，PC 为高的两个三棱锥的体积.【试一试】 (2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q ABCD 的体积与棱锥P DCQ 的体积的比值． (1)证明由条件知四边形PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD . 又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥QABCD 的高，所以棱锥QABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥PDCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥PDCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为1.。

高考数学：立体几何——三视图——命题类型规律和解题技巧

高考数学：立体几何——三视图——命题类型规律和解题技巧三视图问题是高考中的重要题型。

此类问题要求学生有较强的空间想象能力，因此成为很多考生做题的难点。

下面将三视图考题的出题规律和解题技巧，归结如下。

根据高考所考查几何体的结构特征，其出题类型分为三种：单体型、组合型和切削型，现逐一分析。

一、单体型所谓单体型，即根据三视图还原后的几何体是一个我们常见的基本几何体，如长方体、三棱锥、圆锥、三棱柱、球等。

一般情况下，我们可以根据下列结论来判断所求几何体的结构特征：(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形和一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形和一个圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形和两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形和一个圆，对应圆柱。

二、组合型所谓组合型,即根据三视图还原后的几何体是两个或两个以上的几何单体组合而成的，此时我们只需根据三视图看懂相应部分对应的每个单体的结构特征即可。

三、切削型所谓切削型．即根据三视图还原后的几何体可以看成是从某一熟悉的几何单体(我们可以将其看成所求几何体的载体)中截去一部分后得到的。

对于此类问题，我们的解决方案是：先画出所求几何体的载体，再根据题意截去其中一部分，最后根据题目中的位置关系和数量关系进行推理和计算。

例1：[2018全国卷Ⅲ,3,5分]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）思路分析：根据题意画出带卯眼的木构件的直观图，借助直观图判断俯视图。

解析：由题意带卯眼的木构件的直观图如下图所示，由直观图知其俯视图应选A。

答案：A注意：不要忽视木构件俯视图中的虚线。

例2：[2018北京卷,5,5分]某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：根据还原出来几何体的形状，判断直角三角形的个数。

高中三视图试题及答案

高中三视图试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在三视图中，主视图、左视图和俯视图分别表示物体的哪个面？A. 正面、侧面、上面B. 侧面、正面、上面C. 正面、上面、侧面D. 上面、侧面、正面2. 以下哪个选项不是三视图的组成部分？A. 主视图B. 左视图C. 右视图D. 俯视图3. 根据三视图的规则，物体的长、宽、高分别在哪个视图中表示？A. 主视图、俯视图、左视图B. 俯视图、主视图、左视图C. 左视图、主视图、俯视图D. 主视图、左视图、俯视图4. 如果一个物体的主视图和俯视图都是圆形，那么这个物体可能是：A. 圆柱体B. 圆锥体C. 球体D. 立方体5. 在绘制三视图时，如果一个物体的左视图和主视图相同，那么这个物体可能是：A. 正方体B. 长方体C. 圆柱体D. 圆锥体二、填空题（每空1分，共10分）6. 三视图包括______、______和______。

7. 物体的三视图应该按照______、______、______的顺序排列。

8. 在三视图中，______视图可以反映物体的高度和长度。

9. 如果一个物体的主视图是一个矩形，左视图是一个圆形，那么这个物体可能是______。

10. 在绘制三视图时，需要考虑物体的______、______和______。

三、简答题（每题5分，共10分）11. 简述三视图的定义及其重要性。

12. 描述如何根据一个物体的主视图和俯视图推断其形状。

四、绘图题（每题5分，共10分）13. 根据以下描述绘制一个物体的三视图：- 主视图：一个正方形- 左视图：一个矩形，宽度为正方形的边长的一半- 俯视图：一个圆形，直径等于正方形的边长14. 根据以下三视图，描述物体的形状：- 主视图：一个圆形- 左视图：一个矩形- 俯视图：一个圆形答案：一、选择题1. A2. C3. D4. C5. A二、填空题6. 主视图、左视图、俯视图7. 主视图、左视图、俯视图8. 左视图9. 圆柱体10. 长度、宽度、高度三、简答题11. 三视图是工程图学中用来描述物体形状的三个基本视图，包括主视图、左视图和俯视图。

高考三视图问题常考题型及处理策略

--参谋高考三视图问题常考题型及处理策略!华中师范大学第一附属中学程季康三视图问题是立体几何的人门内容，也是高考数学中的一个重要考点.翻阅近年来的高考试卷，三视图问题是高考的必考内容;在学习之余，结合近年的高考真题，我总结近年来高考对三视图的考查主要有以下几个方面，现分类例析，供参考：一、判断几何体的三视图问题给出一个几何体的直观图，然后根据几何体的形状判断其三视图的问题.由于其难度较小，因此这类直接判断型问题高考基本没有涉及过.但在2013年和 2014年的高考中，曾以空间直角坐标系中点的坐标来表示几何体，利用考生的想象能力来判断几何体的三视图的问题.例1(2014年湖北卷)在如图1所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2,2,0)，（1，2，1)，（2,2,2)，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）.① ②③④图1(A)①和② （B)③和①(C)④和③ （D)④和②解析：如图2,将四面体放人正方体中，四面体）- 即坐标系中四个点所围成的四面体，显然可以看出其正视图为④，俯视图为②，故选D.图2""""""""""""""""""""""""""""""""""于基础较为差的学生，笔者则通过“启发式”的教学方法，引导学生完成“函数性质”的研究，在有必要的情况下，可以花费2!5分钟的时间，帮助学生复习初中阶段学过的“一次函数”和“二次函数”的相关性质，在此基础上在引导学生研究函数性质，进而认识到研究函数性质的一般方法.综上所述，教科书是课堂教学的主要载体，所以作为一线的教育工作者，要深人研读教科书，挖掘、提炼蕴含的化归思想，进而使学生的综合素养和数学技能得到锻炼和提升.同时，在日常教学的课堂上，教师应在日常教学过程中有意地反复向学生讲解化归思想方法，使学生逐渐达到一定的认识高度，最终能自觉地运用.除此之外，教师还应该注重反思，及时分析学生的反馈信息，不断地创新和完善教学方法，开展具有针对性、目的性的教学，真正地贯彻“以生为本”的教学理念，落实素质教育.参考文献：1. 戴海林.迁移性教学—“等比数列性质的探究”教学设计[J].中小学数学&高中版），2014(04).2. 孙西洋.中学数学化归思想方法的教学策略$J%.江苏教育，2013(02).3. 任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D].内蒙古师范大学，2013.4. 倪晨旭.例谈化归思想在高中数学解题中的应用[J].新课程（下），2017(06).高中版十炎，？77参谋例2 (2013年全国卷！）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（1，〇，1)，（1，1，〇)， (0，1，1)，（0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（P(A ) (B ) (C ) (D )解析：在空间直角坐标系中，根据点的坐标先画出四面体的直观图，再以'0(平面为投影面，沿)轴负半轴方向看去则得到正视图，如图3可以观察得到A 符合要求，故选A .点评:上述两题给出的均是空间直角坐标系中点的坐标，直接由点的坐标想象出空间几何体的形状，然后再判断其三视图，理论上是可以，但实际操作难度较大;此时将该几何体在空间直角坐标系中还原，则判断其三视图的问题即可迎刃而解.二、利用几何体的三视图还原几何体并计算纵观近年来的高考试题，大多数试题是先给出几何体的三视图，要求计算几何体的体积、表面积及其他量. 其中以计算几何体的体积的问题居多，其次是计算几何体的表面积，有时也会要求计算棱长或其余与几何体有关的量.1.利用几何体的三视图计算几何体的体积例3 (2017年北京卷)某三棱锥的三视图如图4所示，则该三棱锥的体积为（）.(A )60(B )30(C )20(D )103_正(主)视图侧(左)视图俯视图图4解析:根据几何体的三视图，还原其直观图，如图5，可以看出该几何体底面三角形两条直角边长为3和5，高为4,其体积为+=丄丄x 丄x 3x 5x 4=10.故选D .3 3 2点评:对于空间几何体的三视图问题，一般首先要观察几何体的三视图，找出其特征及数量关系，再还原该几何体的直观图；在还原几何体的直观图时，对于规则的几何图形，一般将其放到长方体中来观察特征，进行还原，最后根据还原后的图形计算几何体中边角关系.需要注意的是本题中俯视图中的图形不是几何体的底面，它只是俯视时看到的图形而已.例4 (2017年全国卷！）如图6,网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）.(A )90! (B )63!(C )42!(D )36!7\77S一图6解析：由网格纸上的小正方形边长为1可以看出该几何体的正视图由一个边长为6的正方形和一个直径为6的半圆组成，其侧视图由一个长为6,宽为4的长方形和一个直角边长为6的等腰直角三角形组成，其俯视图是一个直径为6的圆；因此该几何体的下半部分是一个底面半径为3,高为4的圆柱；上面部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱切去一半所得的部分.所以其体积为：+,+i ++2,!x 32x 4+ x !x 32x 6=3=63!.故2选B .点评：本题将几何体的三视图放人网格纸上，其作用就是暗示其相关的边长，即相等于告知几何体三视图中的边长.本题的难点在于利用几何体的正视图和俯视图综合判断几何体的形状.由三视图看出该几何体是两个圆柱体叠放在一起，其中上面的一个圆柱体被分成相等的两部分后剩下的其中的一部分.例5 (2015年课标全国卷！）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7所示，则截去78 十•？炎，？高中版--参谋部分体积与剩余部分体积的比值为（2(A31⑶+(C)士（D)士6 5解析：根据题意，该几何体是由一个正方体截去部分后剩下的图形，由该几何体的三视图还原其直观图得到正方截去了一个三棱锥（-(a a后的图形如图8所示.易知= ^VABCD-AtBtCtDt，所以66点评：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.2.利用几何体的三视图计算几何体的表面积例6 (2017年全国卷I )某多面体的三视图如图9所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）.(A)10 (B)12 (C)14 (D)16图9 图10解析:根据该几何体的三视图可以看出该几何体是一个三棱锥叠放在一个三棱柱上面形成的，其直观图如图10所示，从直观图可以看出该几何体有2个全等的梯形，其上底为2，下底为4，高为2，所以其面积之和为S=2x (2+4)!2!丄=12.故选 B.2点评:对于根据几何体的三视图计算几何体的表面积问题，一般先要根据几何体的三视图还原其直观图，再根据直观图观察该几何体各个面的形状，从而计算其表面积.例7 (2016年全国卷"）如图11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）.图 11(A)18+36V T(B)54+18V T(C)90 (D)81解析：根据三视图，可以看出该几何体是一个斜四棱柱，其底面是一个边长为3的正方形，高为6;其正视图看到的平行四边形即为该几何体的前面，显然其是一个平行四边形，底为3，高为6，面积为S1=3x6=18;其上下两个面是两个边长为3的正方形，每一个面的面积为S2=3x3=9;其左右两个面是两个竖着放的长方形，底为3,高为正视图中平行四边形的一个边长度为V3W,3 V T，即每一个侧面的面积为.3,3x3 V T,9 V T.综上，该几何体的表面积为.=2(.1+.2+.3)=54+18 V5.故选B.点评：本题将三视图放在网格中，其目的就是给出计算所需要的边的长度.本题中几何体的前后两个面和上下两个面很直观，与其正视图及俯视图类似，但左右两个侧面是两个竖放的长方形，其高线的长需要引起注意，防止出错.3.利用几何体的三视图计算几何体中棱长或球体的半径例8 (2017年北京卷)某四棱锥的三视图如图12所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）.高中版十炎，？79参谋W—2—H1<—2—H 正(主)视图侧(左)视图俯视图图12A------/2L/图13(a)3!t (C)2V T (b)2!3 (D)2解析：根据该几何体的三视图，还原该几何体如图 13所示，可以看出该几何体是边长为2的正方体中所截得到部分，其底面是边长为2的正方形，顶点垂直于底面.显然其最长棱为图中棱&4，其长度为V&*2+*#2+#$2, V22+22+22=2V T.故选 B.点评:本题考查空间几何体三视图的识别及几何体边角的计算，首先要根据其三视图还原其直观图，再从其直观图中判断出其中最长的边，最后根据给出的数值进行计算.例9 (2015年全国卷I )圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为!)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图14所示.若该几何体的表面积为 16+2〇!，则 r#( ).(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析：由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为!，高为2!的半圆柱 (水平放置），后半部分是一个半径为!的半-2r-正视图2r俯视图图14球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合，所以此几何体的表面积为2r.2r+ !r2" !r2+!r.2r+222!r2#4r2+5!r2=16+2〇!，解得 r#2.故选 B.点评：本题只给出了三视图中的两部分，解决的关键仍然是从正视图及俯视图中确定几何体的形状.从正视图是个圆可以确定该圆柱是横放，从俯视图中的长方形和半圆型可以确定半球在圆柱的后面，从而利用圆柱和球体的表面积公式计算出球的半径.4.利用几何体的三视图既计算体积又计算表面积例10 (2016年全国卷I )如图15,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半28!径.若该几何体的体积是-，则它的表面积是（图15(A)17! (B)18! (C)20! (D)28!解析：由三视图可以看出该几何体是i个球，设球8的半径为-，则F s l x^4!-3,^，解得-,2,所以它的8 3 3表面积是丄x4!x22+丄x!x22,17!，故选A.84点评:本题解题的突破口在由三视图观察出几何体的形状，从而根据体积的值计算出球体半径的长度，最终计算出球体的表面积.例11 (2016年浙江卷)某几何体的三视图如图16所示(单位:cm)，则该几何体的表面积是_____cm2,体积是____cm3.W~W<~>1K~~W正视图侧视图俯视图图16图17解析：根据三视图，可以发现该几何体是两个相同的长方体靠在一起而形成的，它们的底面是边长为2的正方形，高是4，其中一个“站立”，另一个“平躺”.其直观图如图17所示.所以其表面积为1,2x(2x2x2+2x4x4)-2x 2x2,72(cm2)，体积为 F,2x2x2x4,32(cm3).点评:本题考查三视图的识别与几何体的表面积与体积的计算.先根据三视图还原几何体的直观图，再计算其表面积与体积'从上面近年来的高考真题可以看出，三视图问题往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由几何体的三视图准确确定几何体的形状及其结构特征，然后再根据要求进行计算.一般说来，其难点主要有两点:一是根据三视图确定几何体的形状及相关数量关系;二是根据相关数量关系准确进行计算.只要解决了这两个难点，三视图问题一般都能迎刃而解.80十•？炎，？高中版。

专题4.1 复杂的三视图问题高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)

一．方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.根据几何体的三视图确定直观图的方法：（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体. 二．解题策略类型一构造正方体（长方体）求解【例1】【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.【指点迷津】正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥．【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1【答案】 B【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC ，其中点A 为中点，所以611112131V ABC -P =⨯⨯⨯⨯=.故选B.2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）34.A 38.B 328.C 324.D 【答案】B3、【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）2（B ）3（C ）2（D ）2 【答案】B【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD ，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为32222222=++=l .故选B.&网类型二旋转体与多面体组合体的三视图【例2】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是则它的表面积是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，因为该几何体的体积为，所以，即，解得，所以该几何体的表面积为，故选C.【指点迷津】1.三视图有两个长方形含两个虚半圆，一个圆，故知该几何体是圆柱内挖去一个半径为的半球．2. 三视图有两个半圆含虚三角，想到半球有挖空部分，俯视图是一个圆含实线正方形，几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥．【举一反三】1、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. 13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π 【答案】 C【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π.故选C.2、一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】分析：该几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，分别求出2部分的体积并相减即可得到答案.解：由题意知，该几何体是由半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，则该正方形边长为，故四棱锥的体积为，半球的体积为，故该几何体的体积为.故答案为D.类型三与三视图相关的外接与内切问题【例3】已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆如图，则这个几何体的内切球的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3，其正视图为等腰三角形，圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径，且内切圆的半径满足，解得，几何体的内切球体积为，故选A．【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径.【举一反三】1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，所以球心在上．设球半径为，则在中，，由勾股定理得，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为．故选C．2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A．23π B. 83πC．43 D.163π【答案】D【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC⊥平面ABC,△ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DE⊥AC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥EB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE= ,AD= =2=DC=DB,AB=BC= ,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=DO=DE-OE= -OE,所以AO= ,故球O的半径为 ,故所求几何体的外接球的表面积S=4π( )= π,故选D.3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A．12πB．43πC．3πD．123π类型四与三视图相关的最值问题【例476的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（A）2（B）3（C）4 （D）5【答案】C【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b ，用不等式2222a b a b ++≤求其最值.【举一反三】1、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（）A.32 732.B C.64 764.D 【答案】C【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，其中，平面，B D CD ⊥.作，BD //EC ，且、交于点，连接，则.设，根据图中的几何关系，有，，两式联立消去得，再由均值不等式，得.故选C.2、若某几何体的三视图如图所示，这个几何体中最长的棱长为，几何体的体积为.16【答案】33，33、某三棱锥的三视图如图所示．（1）该三棱锥的体积为__________．（2）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是__________．【答案】 8 234【解析】三棱锥的底面积13462S =⨯⨯=，1164833V Sh ==⨯⨯=，其四个面的面积分别为113462S =⨯⨯=，22211533422S =⨯⨯+=，2231434102S =⨯⨯+=，()2241425222342S =⨯⨯-=，∴面积最大为234．&网三．强化训练一、选择题1.【山东省泰安市高三2019年3月检测】九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为422? 2? 442? 2A B C D ++．．．．6+4【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱'''ABC A B C -，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积1221222226422S =⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，故选：D ．2.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A ．40B ．43C ．46D ．47【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.3.【广东省梅州市2019届高三总复习质检】九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图还原原几何体知，羡除中，，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，AB，CD间的距离，如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，该羡除的体积为．故选：B．4.【安徽省合肥市2018届高三三模】我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A．B．40 C．D．【答案】D【解析】由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，故选D.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过三视图还原，可知三棱锥为如下图所示的，可通过切割长方体得到所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球又，，所以外接球半径：球的表面积为：本题正确选项：6．如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则（）A．3 B．4C．5 D．6【答案】B【解析】所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球表面积，即.故选.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，故几何体的体积为：，故选D.8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．10 B．20 C．30 D．60【答案】A【解析】根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,故选A.9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱，挖去一个半圆锥的几何体如图：几何体的体积为：．故选：A．10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A．15π B．18π C．22π D．33π【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为3的半球，下部是一个圆锥，圆锥的底面半径为3.母线长为5，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.11.榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是1的正方形，高为2），下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2）．其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，所以．其体积圆柱与长方体体积之和，所以．故选A ．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）62（B ）6 （C ）62 （D ）4【答案】 B4CA BD13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）【答案】A【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为()1182224412333ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A.14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图像，如图所示平面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B.二、填空题15.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.【答案】π2216、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为俯视图侧视图正视图311【答案】。

高三数学二轮复习之选填专项训练-立体几何--三视图

立体几何--三视图立体几何中关于三视图的求解是高考中考察的一个重点，主要考察学生的空间想象能力及计算能力，通过三视图确定直观图，并确定出相应几何体的体积、表面积。

在确定直观图的过程中，主要是应用投影的思想在长方体或者正方体中确定空间几何体的各个顶点，过程中要注意实线、虚线的区别。

1.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()．A．8 B．62C．10 D．8 22.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A. 3 B．2C．2 3 D．63.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为3m4.如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．A ．18 3B ．12 3C ．9 3D ．6 35.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2m ）为（A ）48+122 （B ）48+242 （C ）36+122 （D ）36+2426.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.307、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 C 、3 D 、18..某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .俯视图侧（左）视图正（主）视图111229.一个多面体的三视图如图所示，则多面体的体积是（）侧视图俯视图11222211A.233B.476C.6D.710.如图，水平放置的三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，其正视图是边长为a 的正方形．俯视图是边长为a 的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为（） A ．2a B221a C ．322a D ．32a11、如图三棱锥V ABC -，底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =,已知其正视图的面积为23，则其左视图的面积为 ( ) A ．32 B ．33 C ．34D ．3612．一个几何体的直观图、正视图、侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（）13.一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬VAB C（第7题）行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是14.一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是__________15.11。

高考数学专题突破学生版-几何体的体积、面积和三视图与直观图(考点讲析)

专题7.1几何体的体积、面积和三视图与直观图（考点讲析）提纲挈领A.4B.8C.12D.16 【典例2】（2018年全国卷II 文）在正方体中，的中点，则异面直线所成角的正切值为（）A.C.【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可．(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．热门考点02 空间几何体的直观图1.用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图．【典例3】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2+ B. 12 C. 22D ．1+ 【典例4】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【特别提醒】解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.热门考点03 空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【典例5】（2018·全国高考真题（文））中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【典例6】（2018年理新课标I卷）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在左视图上的对应点为设A.D. 2【典例7】（2018年文北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【总结提升】1.三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．2.三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．3.命题的角度一般有：（1）已知几何体，识别三视图；（2）已知三视图，判断几何体；（3）已知几何体三视图中的某两个视图，确定另外一个视图热门考点04 空间几何体的表面积圆柱的侧面积 rl S π2=圆柱的表面积 )(2l r r S +=π圆锥的侧面积 rl S π=圆锥的表面积 )(l r r S +=π圆台的侧面积 l r r S )(+'=π圆台的表面积 )(22rl l r r r S +'++'=π球体的表面积 24R S π=柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【典例8】（2018届湖北省华师一附中高三9月调研）已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）A. 22R πB. 294R πC. 283R πD. 232R π 【典例9】（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．热门考点05 空间几何体的体积圆柱的体积 h r V 2π=圆锥的体积 h r V 231π=圆台的体积 )(3122r r r r h V '++'=π 球体的体积 334R V π= 正方体的体积 3a V =正方体的体积 abc V =【典例10】（2019年高考全国Ⅲ卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【典例11】（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【总结提升】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.热门考点06 三视图与几何体的面积、体积若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.【典例12】（2019·浙江高考真题）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A ．158B ．162C ．182D ．32【典例13】（2019·浙江高三月考）已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示则该几何体的体积为____3cm ，表面积为_____2cm .【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.热门考点07 几何体的展开、折叠、切、截、接问题解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【典例14】（2018届河南省林州市第一中学高三8月调研）如图，已知矩形ABCD 中， 483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为（）A. 5009πB. 2503πC. 10003πD. 5003π【典例15】(2019年高考天津卷理)已知四棱锥的底面是边长的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【典例16】（广东省深圳市高级中学2019届高三（6月）适应）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【典例17】（2019·福建高三月考）已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为3，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____．【总结提升】 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．巩固提升1．（2018·上海市七宝中学高二期中）一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是（）A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形的平行六面体C.底面是正方形且两个相邻侧面是矩形D.每个侧面都是全等的矩形2．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）如图所示的直观图的平面图形ABCD 中，2AB =，24AD BC ==，则原四边形的面积( )A. B. C.12 D.103．（2019·浙江诸暨中学高二月考）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（）A. B. C. D.4．（2019·安徽高二月考）在四面体PABC 中，PC PA ⊥，PC PB ⊥，22AP BP AB PC ====，则四面体PABC 外接球的表面积是（） A.193π B.1912π C.1712π D.173π 5．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长是（）A.4B.6C.D.6．（2019·上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_______.7．（2019·上海市复兴高级中学高二期末）某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.8．（2019·上海市民办市北高级中学高二期中）在ABC ∆中，3cm AC =，4cm BC =，5cm AB =，现以BC 边所在的直线为轴把ABC ∆（及其内部）旋转一周后，所得几何体的全面积是________2cm .9．（2019·上海高二期末）底面是直角三角形的直棱柱的三视图如图格中的每个小正方形的边长为1，则该棱柱的表面积是________10．（2018·上海市行知实验中学高二期中）若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______．11．（2019·上海市向明中学高二月考）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是:①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形，11 则其中判断正确的个数是_________.12．（2018·上海市南洋模范中学高三开学考试）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为________．13．（2019·上海曹杨二中高二期末）如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.14．（2019·上海曹杨二中高二期末）正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.15．（2018·上海市七宝中学高二期中）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，AED ∆、EBF ∆、FCD ∆分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为________.16．（2017·上海交大附中高二期中）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，延长1D D 至P ，使得1DD DP =.A C P作正方体的截面图形；（1）经过11（2）求出截面为底面D为顶点的多面体的表面积.12。

(2021年整理)高考数学三视图题型总结

（完整）高考数学三视图题型总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高考数学三视图题型总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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1 ．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 【答案】A 2 ．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ，2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ )A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C3 ．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）A．4B．14 3C．163D．6【答案】B4．某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为( ）A．5603B．5803C．200D．240【答案】C5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（) A．B．C．D．【答案】A6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为___3π_____。

12211正视图俯视图侧视图第5题图1121【答案】3π 7．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm 。

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高三数学选择填空难题突破—复杂的三视图问题
一．方法综述
三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.
三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.
还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱
柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.
根据几何体的三视图确定直观图的方法：
（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；
（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；
（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；
（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；
（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。

对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体。

二．解题策略
类型一构造正方体（长方体）求解
【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体三视图，则该几何体的体积为（ 64.A 364.B 【答案】 D
【指点迷津】由三视图求几何体的体积是高考常考内容，关键有三视图得到原几何体。

由三视图可在棱长为4的正方体中截得该几何体三棱锥。

【举一反三】
1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A. B.
C.
D . 【答案】 B
2131V ABC -P ⨯⨯=2
16321
3
4
.A
3
8
.B
3
2
8
.C
3
2
4
.D
【答案】B
3、【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3（B）2（C）2（D）2
【答案】B
【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为3
2
2
2
22
2
2=
+
+
=
l。

故选B。

类型二旋转体与多面体组合体的三视图
232
【例2】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积
是28π
3
，则它的表面积是()
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
【举一反三】
1、(2016·
A.
【答案】 C
而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26
π.故选C 。

2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A
、 B 、
C 、
D 、【答案】A
【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，故选A .
1
3π+23π+123π+223π+2111112(12)12323
V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+
（3）设外接球球心M ，半径R,M 在高PE 所在直线上，因为4<32,
所以()(2224R R -+=,解得R=174
，所以外接球表面积为4289π。

【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取三棱锥ABC P -中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。

（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。

【举一反三】
1、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）
π200.A π150.B π100.C π50.D
【答案】 D
2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A ．
【答案】 D
【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC⊥平面ABC,△ADC 为等边三角形.取AC 的中点为E,连接DE 、BE,则有DE⊥AC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥EB.由图中数据知
AE=EC=EB=1,DE= ,AD= =2=DC=DB,AB=BC= ,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为8π16π
O,则它落在高线DE 上,连接OA,则有AO 2=AE 2+OE 2=1+OE 2,AO=DO=DE-OE= -OE,所以AO= ,故球O 的半径为 ,故所求几何体的外接球的表面积S=4π( )= π,故选D.
3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
类型四与三视图相关的最值问题
【例4（A ）【答案】 C
12π3π
【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面。

根据题意，用长方体的棱长表示
【举一反三】
1
A.32 .B
【答案】C
【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，
其中，
平面，B D CD 。

作，BD //EC ，且、交于点，连接，则。

设，根据图中的几何关系，有
，，两式联立消去得
，再由均值不等式
，得。

故选C 。

2
【答案】33，316
3（1（2
【答案】 8 234 【解析】三棱锥的底面积13462S =⨯⨯=，1164833
V Sh ==⨯⨯=，其四个面的面积分别为
113462S =⨯⨯=，22211533422S =⨯⨯+=，2231434102
S =⨯⨯+=， ()2241425222342S =⨯⨯-=，∴面积最大为234．
三．强化训练
1．【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
（A ）（B ）（C ）
（D
）
【答案】 B
【答案】A
64C
【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为
()1182224412333
ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A 。

3.【2018广西贺州桂梧高中联考】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2A. 163【答案】C
4.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三
棱柱构成，如下图，则该几何体
为，故选平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和
B. 5、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是( )
A ．27π
B ．36π
C ．45π
D ．54π
【答案】C
12(24)2122
⨯+⨯⨯=
6、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（）
A 、34 41.
B 23.
C 17.D
【答案】 C
【解析】由三视图可在正方体中截得该几何体，其中A A 4
1G A 11=，正方体棱长为4，所以GB=5，BC=4，41932AG AC GC 22=+=+=，34B D 24C D 17G D 111===，，。

所以不可能为23。