高考数学二轮复习 专题02 函数的图像与性质教学案 理

专题02 函数的图像与性质
函数单调性的判断和应用及函数的奇偶性、周期性的应用，识图用图是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数的概念、图象、性质综合在一起考查．
预计2018年高考仍将综合考查函数性质，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用，另外函数的性质还常常与向量、不等式、三角函数、导数等知识相结合，所以在备考过程中应加强这方面的训练．
1．函数
(1)映射：集合A(A 中任意x)――→对应法则f
集合B(B 中有唯一y 与A 中的x 对应)． (2)函数：非空数集A―→非空数集B 的映射，其三要素：定义域A 、值域C(C ⊆B)、对应法则f.
①求函数定义域的主要依据： (Ⅰ)分式的分母不为零； (Ⅱ)偶次方根被开方数不小于零； (Ⅲ)对数函数的真数必须大于零；
(Ⅳ)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
(Ⅴ)正切函数y ＝tan x 中，x 的取值范围是x∈R，且x ≠k π＋π
2
，k ∈Z.
②求函数值域的方法：无论用什么方法求值域，都要优先考虑定义域，常用的方法有基本函数法、配方法、换元法、不等式法、函数的单调性法、函数的有界性法、导数法．
③函数图象在x 轴上的正投影对应函数的定义域；函数图象在y 轴上的正投影对应函数的值域．
2．函数的性质 (1)函数的奇偶性
如果对于函数y ＝f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，那么函数f (x )就叫做奇函数(或偶函数)．
(2)函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、
x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有f′(x)>0(f′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等．
(3)函数的周期性
设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则函数f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期．
(4)最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
3．函数图象
(1)函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：
①会画各种简单函数的图象；
②能依据函数的图象判断相应函数的性质；
③能用数形结合的思想以图辅助解题．
(2)利用基本函数图象的变换作图
①平移变换：
h>0，右移|h|个单位
y＝f(x)――→
y＝f(x－h)，
h<0，左移|h|个单位
k>0，上移|k|个单位
y＝f(x)＋k.
y＝f(x)――→
k<0，下移|k|个单位
③对称变换：
y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称
y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称
y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称
y ＝－f (－x )．
4．对函数性质的考查主要依托基本初等函数及其基本变换来进行，对于某些抽象函数来说，一般通过恰当赋值，结合基本定义来研究.
考点一 函数表示及定义域、值域
例1、(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－1
2，所以函数f (2x ＋1)的定
义域为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12，选B. 答案：B
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋log 22－x ， x ＜1，
2x －1
， x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【变式探究】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －b ，x ＜1，
2x
， x ≥1.
若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )
A ．1 B.7
8
C.34
D.12
解析：基本法：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，
当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝25
2－b ， 即252－b ＝4＝22
，得到52－b ＝2，即b ＝12
；
当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝15
2－3b －b ＝152－4b ， 即152－4b ＝4，得到b ＝78＜3
2，舍去． 综上，b ＝1
2，故选D.
答案：D
考点二 函数的奇偶性 对称性
例2、【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是
A ．[2,2]-
B ．[1,1]-
C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.
【变式探究】(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2
)为偶函数，则a ＝________.
(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结
论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：基本法：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B.|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.
速解法：y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．
故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．
f(x)|g(x)|＝奇，C正确．
答案：C
【变式探究】已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0 B．1
C．2 016 D．4 032
答案：D
考点三函数单调性、周期性与对称性
例3、(1)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.
解析：基本法：∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)对任意x恒成立，
令x＝1，得f(1)＝f(3)＝3，
∴f(－1)＝f(1)＝3.
速解法：由题意y＝f(x)的图象关于x＝0和x＝2对称，则周期T＝4.
∴f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝3.
答案：3
(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 1
2
a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )
A ．[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 D ．(0,2] 解析：基本法：∵f (log 1
2
a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，
∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.
∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴1
2
≤a ≤1.
综上可知1
2
≤a ≤2.
答案：C 【方法技巧】
1.基本法是利用单调性化简不等式．速解法是特例检验法． 2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一样．常用的方法有：
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．
【变式探究】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
x
x ＜0，a －3x ＋4a x ≥0
满足对任意x 1≠x 2，都有
f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0成立，则a 的取值范围是________．
解析：基本法：因为对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2
x 1－x 2
＜0成立，所以f (x )是减函
数，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜a ＜1，a －3＜0，
a 0≥a －3×0＋4a ，
解得0＜a ≤14，即a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14. 答案：⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14
考点四 比较函数值的大小
例4、(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b
解析：基本法：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log 33＜log 32＜log 33，log 51＜log 52＜log 55，log 23＞log 22，
∴12＜a ＜1,0＜b ＜1
2，c ＞1， ∴c ＞a ＞b .故选D.
速解法：分别作出y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 5x 的图象，在图象中作出a 、b 、c 的值，观察其大小，可得c ＞a ＞b .
答案：D
(2)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝，则( )
A ．x ＜y ＜z
B ．z ＜x ＜y
C ．z ＜y ＜x
D ．y ＜z ＜x
【变式探究】设a ＝，b ＝2，c ＝3，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞c ＞a
D ．c ＞a ＞b
解析：基本法：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，
a ＝
＞0，∴a ＞b ＞c ，选A.
答案：A
考点五 指数函数、对数函数图象的变换与应用
例5、【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z
【答案】D
【解析】令235(1)x
y
z
k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴
22lg lg 3lg 9
13lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 【变式探究】(1)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a
的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－
2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
答案：C
(2)当0＜x ≤12时，4x
＜log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，
22 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)
解析：基本法：易知0＜a ＜1，则函数y ＝4x
与y ＝log a x 的大致图象如图，则只需满足log a 12＞2，解得a ＞2
2
，
∴
2
2
＜a ＜1，故选B.
速解法：若a ＞1，∵x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，显然log a x ＜0，原不等式不成立，∴0＜a ＜1. 若a ＝12，当x ＝12时，log a x ＝1,4x
＝412＝2，显然不成立，∴故只能选B.
答案：B
【变式探究】若关于x 的不等式4a x －1
＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，
则a 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案：B
1.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤
的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4]
D ．[1,3]
【答案】D
【解析】因为()f x 为奇函数且在(),-∞+∞单调递减，要使()11f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足()121f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[]1,3，选D.
2.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z
【答案】D
【解析】令235(1)x
y
z
k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴
22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8
x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32
x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D.
3.【2017北京，理5】已知函数1()3()3
x x
f x =-，则()f x
（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数
【答案】A
4.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()2
1y mx =-的图象与y x m =
+的
图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是
（A ）(])
0,123,⎡+∞⎣
U （B ）(][)0,13,+∞U
（C ）(
)
23,⎡+∞⎣
U （D ）(
[)23,+∞U
【答案】B
【解析】当01m <≤时，
1
1m
≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =∈+ ，此时有
且仅有一个交点；当1m >时，101m <
< ，2(1)y mx =-在1
[,1]m
上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2
(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B.
5.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，
0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为
（A ）a b c << （B ）c b a <<
（C ）b a c <<
（D ）b c a <<
【答案】C
1.【2016高考新课标3理数】已知43
2a =，25
4b =，13
25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A
【解析】因为4
223
3
5
244a b ==>=，1223
3
3
2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 2.【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）
A.
11
x y ->
B.sin sin 0x y ->
C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +> 【答案】C
【解析】A ：由0>>y x ，得
y x 11<，即01
1<-y
x ，A 不正确； B ：由0>>y x 及正弦函数的单调性，可知0sin sin >-y x 不一定成立； C ：由1210<<
，0>>y x ，得y x )21()21(<，故0)2
1
()21(<-y x ，C 正确； D ：由0>>y x ，得0>xy ，但xy 的值不一定大于1，故ln ln =ln 0x y xy +>不一定成立，故选C.
3.【2016高考新课标1卷】函数2
2x
y x e =-在[]2,2-的图像大致为
（A ）（B ）
（C ）（D ）
【答案】D
4.【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数
1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C
【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11
1x y x x
+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C 。

5.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜
x ＜1时，()4x f x =，则5
()(1)2
f f -+= .
【答案】-2
【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以
(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，
1
25111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5
()(1)22
f f -+=-.
6.【2016高考浙江理数】已知a >b >1.若log a b +log b a =52
，a b =b a
，则a = ，b = . 【答案】4 2
【解析】设log ,1b a t t =>则，因为215
22
t t a b t +=⇒=⇒=，
因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==
7.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1
(2
)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______.
【答案】13(,)22
8.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'
2222
(
,)y x
P x y x y
-++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'
C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点'
A ，则点'
A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'
C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③
【解析】对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22
P '-的伴随点为
(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0
f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222
(
,)0y x
f x y x y -=++与
2222(
,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222
(,)0y x
f x y x y
-=++与曲线
2222
(
,)0y x
f x y x y
--=+
+的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222
(
,)y x
x y x y
-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
9.【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3
()1f x x =- ；当
11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1
（C ）0
（D ）2
【答案】D 【解析】当12x >
时，11()()22f x f x +=-,所以当1
2
x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以
()3
(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦
，故选D.
10.【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,
log (1)13,03)a
x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）
在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）（0，
23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]U {34}（D ）[13，23）U {3
4
} 【答案】C
11.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，
,10,
()2
,01,
5x a x f x x x +-≤<⎧⎪
=
⎨-≤<⎪⎩
其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 ▲ . 【答案】2
5-
【解析】51911123
()()()()22222255
f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，
因此32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ===-=-+=-
12.【2016高考江苏卷】函数y =2
32x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]
3,1-
【解析】要使函数有意义，必须2
320x x --≥，即2
230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故
答案应填：[]
3,1-，
13.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a
f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩
.
①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.
【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
()f x 是R 上的增函数，
()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）
A ．sgn[()]sgn g x x =
B ．sgn[()]sgn g x x =-
C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =
D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】
B
【2015高考安徽，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有
一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）
①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤
【解析】令3
()f x x ax b =++，求导得2
'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以
3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0
a <时，若3a =-，则2
'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以
()=(1)132f x f b b -=-++=+极大， ()=(1)132
f x f b b =-+=-极小，
要
使
方
程
仅
有
一
根
，
则
()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者
()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三
次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =
B
．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-
【答案】D 【解析】函数y x =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x
y e e -=-是奇函数，故选D ．
【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
．
【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）2
1y x =+ 【答案】A
【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项
x
e x y +=x
x y 1+
=x
x y 212+
=2
1x y +=A
与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.
【2015高考新课标1，理13】若函数f (x )=2ln()x x
a x ++
为偶函数，则a = 【答案】1
【解析】由题知
2
ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.
【2015高考安徽，理9】函数()()
2
ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则下列结论成立的是
（ ）
（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <
【答案】C
【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）
D
P
C
x
(D)
(C)
(B)
(A)x
y
π4π
2
3π
4
π
2
2
π
3π
4
π
2
π
4
y
x
x
y
π
4
π
2
3π
4
π
2
2
π
3π
4
π
2
π
4
y
x
【答案】B
1．（2014·安徽卷）设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，
f(x)＝0，则f
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
23π
6
＝( )
A.
1
2
B.
3
2
C．0 D．－
1
2
【答案】A 【解析】由已知可得，f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
23π
6
＝f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
17π
6
＋sin
17π
6
＝f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
11π
6
＋sin
11π
6
＋sin
17π
6
＝f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
5π
6
＋sin
5π
6
＋sin
11π
6
＋sin
17π
6
＝2sin
5π
6
＋sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
π
6
＝sin
5π
6
＝
1
2
.
2．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2
C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)
【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
3．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x2＋1，x>0，
cos x，x≤0，
则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，
f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；
当x >0时，令f (x )＝x 2
＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；
∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)． 4．（2014·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2
－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C 【解析】由x 2
－x >0，得x >1或x <0. 5．（2014·山东卷）函数f (x )＝
1
（log 2x ）2
－1
的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C 【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2
－1＞0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞0，
x ＞2或x ＜12
.
故选C. 6．（2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2
C ．y ＝2－x
D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
7．（2014·福建卷）已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋1，x >0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)
【答案】D 【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，
f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；
当x >0时，令f (x )＝x 2
＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；
∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．
8．（2014·四川卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧－4x 2
＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．
【答案】1 【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
＋2＝1.
9．（2014·四川卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数
φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝
b ”；
②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ； ④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋
x
x 2
＋1
(x >－2，a ∈R)有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
10．（2014·四川卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
【解析】(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.
所以g′(x)＝e x－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，
则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a ≤1
2时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；
当a ≥e
2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题
意．
所以12<a <e 2
.
此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有
g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.
由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.
当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，
从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.
故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.
由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．
综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．
11．（2014·福建卷） 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋1，x >0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
12．（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】C 【解析】因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
13．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】C 【解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
14．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x －1)＞0，则x的取值范围是________．
【答案】(－1，3) 【解析】根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－2<x－1<2，解得－1<x<3.
15．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
A B
C D
16．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1
2(|x
－a 2
|＋|x －2a 2
|－3a 2
)．若∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33
，33
因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，
观察图象可知，要使∀x ∈R，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2
－(－4a 2
)≤1，解得－66
≤a ≤
6
6
.故选B. 17．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )
A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B. ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 【答案】B 【解析】 画出函数f (x )的图像，如图所示．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实数，则函数f (x )，g (x )有两个交点，则k ＞1
2
，且k ＜1.故选B.
18．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a
(x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
A B
C D 图1­2
【答案】D 【解析】 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选D.
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2
＋1 D ．y ＝2
－|x |
解析：选B.y ＝x 3
是奇函数，y ＝－x 2
＋1和y ＝2－|x |
在(0，＋∞)上都是减函数，故选B.
2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2
解析：选A.∵f (2x ＋1)是偶函数，∴f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)⇒f (x )＝f (2－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.
3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x
－e －x
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ＜0，
f x －1＋1，x ≥0，则f (2 016)＝( )
A ．2 014 B.4 029
2
C ．2 015 D.4 035
2
解析：选 D.利用函数解析式求解．f (2 016)＝f (2 015)＋1＝…＝f (0)＋2 016＝f (－1)＋2 017＝2－1
＋2 017＝4 0352
，故选D.
5．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2
＋3，则f (7)＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－101
D ．101
6．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的一个零点所在的区间是( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)
解析：选B.因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以f (x )在(1,2)上必存在零点．故选B.
7．函数f (x )＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －1x 的图象是( )
解析：选B.要使函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 有意义，需满足x －1x
＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞1，
所以排除A 、D ；当x ＞10时，x －1x
一定大于1，ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 大于0，故选B.
8．设12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＜1，那么( )
A ．a a
＜a b
＜b a
B ．a a
＜b a
＜a b
C ．a b
＜a a
＜b a
D ．a b
＜b a
＜a a
解析：选C.由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
是减函数，由已知12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜1，得0＜a ＜b ＜1.
当0＜a ＜1时，y ＝a x
为减函数，所以a b
＜a a
，排除A 、B ；又因为幂函数y ＝x a
在第一象限内为增函数，所以a a
＜b a ，选C.
9．下列四个命题：
①∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 0；
②∃x 0∈(0,1)，
③∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
＞
x ； ④∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＜
x .
其中真命题是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
解析：选C.根据指数函数的图象和性质，可知①③是错误的，②④是正确的，故选C. 10．若a＝2x，b＝x，c＝x，则“a＞b＞c”是“x＞1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件。