函数的奇偶性与反函数

f ( x) = ±1 等。 f (− x)
例 1、判断下列函数的奇偶性： （1） y = 2 x + 3 x ； （2） y = x + 1 − x − 1 ；
（3） y = x 2 + x + 1 ；
⎧ x 2 + 2 x − 1 ( x > 0) ⎪ （4） f ( x) = ⎨0 ( x = 0) ； ⎪ − x 2 + 2 x + 1 ( x < 0) ⎩
∴ f ( x) = f (− x) = (− x)2 − 3(− x) − 1 = x 2 + 3x − 1
⎧ x 2 + 3x − 1 ∴ f ( x) = ⎨ 2 ⎩ x − 3x − 1
x>0 x≤0
（2）方法一（利用图象）见视频 方法二：设 x < 0 ∴ −x>0
∴ g (− x) = − g ( x)
⎧1 − x 2 ≥ 0 （5）解：定义域为 ⎨ 2 ⎩x −1 ≥ 0
∴ x2 = 1
即 { x x = ±1}
∴ f ( x) = 0
∴ f ( x) 即是奇函数且偶函数
⎧1 − x 2 ≥ 0 （6）解：定义域 ⎨ ⎩x+2 −2≠0
∴ f ( x) =
{ x −1 ≤ x < 0或0 < x ≤ 1}
）
例题 8、函数 f ( x) 的定义域为 R，若 f ( x + 1) 与 f ( x − 1) 都是奇函数，则（ A． f ( x) 是偶函数 C． f ( x) = f ( x + 2) B． f ( x) 是奇函数 D． f ( x + 3) 是奇函数
二、反函数
设 y = f ( x)( x ∈ A, y ∈ B) ，则 x = f 说明： （1） 求反函数的步骤： ①判定 ②反解 x = f −1 ( y ) ③改写 y = f −1 ( x)
例6
例 7、C【解析】对于 a = 0 时，有 f ( x ) = x 是一个偶函数
2
A
例题 8、D
- 第 6页 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
【解析】∵ f ( x + 1) 与 f ( x − 1) 都是奇函数，
∴ f (− x + 1) = − f ( x + 1), f (− x − 1) = − f ( x − 1) ，
- 第 4页 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
参考答案
一、函数的奇偶性 例1 （1）解：∵ x ∈ R 关于原点对称 ∴ f ( x) 为奇函数 （2）解： x ∈ R 关于原点对称 又 f (− x) = −2 x + 3 − x = −(2 x + 3 x ) = − f ( x)
推广： f ( x) ， g ( x) 一奇一偶或者同为偶函数时结果又如何？
例 3、 （1）已知偶函数 f ( x) 的定义域是 R，当 x ≤ 0 时， f ( x) = x 2 − 3 x − 1 ，求 f ( x) 的解析式. （2）已知奇函数 g ( x) 的定义域是 R，当 x > 0 时， g ( x) = x 2 + 2 x − 1 ，求 g ( x) 的解析式.
例 4、任意一个定义域关于原点对称的函数 f ( x) 均可表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
- 第 2页 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
例 5、函数 f ( x) 满足 f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x) f ( y )( x ∈ R , y ∈ R ) ，且 f (0) ≠ 0 ，判定函数 f ( x) 的 奇偶性.
又 f (− x) =
1 − x2 = − f ( x) −x
1 − x2 1 − x2 = x+2−2 x
∴ f ( x) 是奇函数
例2
证明：∵ f ( x), g ( x) 都是奇函数
∴ f (− x) = − f ( x)
- 第 5页 -
g ( − x) = − g ( x )
版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
- 第 3页 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话：400-650-7766
−1
( y )( x ∈ B, y ∈ A) 是反函数.
（2） 反函数的定义域、值域是原函数的值域、定义域. ，奇 （3） 原函数与反函数的图象关于 y = x 对称，且具有相同的单调性（单调区间不一定相同） 函数如果存在反函数，其反函数一定是奇函数. 例 9、 （1）函数 y = − x ( x ≤ 0) 的反函数是（ A． y = x ( x ≥ 0)
2
） B． y = − x ( x ≥ 0)
2
C． y = x ( x ≤ 0)
2
D． y = − x
2
( x ≤ 0)
（2）已知 y = x x + 2 x ，求 f −1 ( x) （3）设 P(1, 2) 在 f ( x) = ax 2 + b( x ≥ 0) 的图象上，又在它的反函数图象上，求 f −1 ( x)
①∴ f (− x) + g (− x) = − [ f ( x) + g ( x)] ②又 f (− x) ⋅ g (− x) = f ( x) ⋅ g ( x) 例3 解： （1）方法一（利用图象）见视频 方法二： ∀ x > 0 −x<0
∴ f ( x) + g ( x) 是奇函数 ∴ f ( x) ⋅ g ( x) 是偶函数
f (− x) = (− x) 2 + 2(− x) − 1 = x 2 − 2 x − 1
∴ f (− x) = − f ( x)
对于 x = 0 f ( x) = 0 也满足 f (− x) = − f ( x) 综上 ∀ x ∈ R 均有 f (− x) = − f ( x) ∴ f ( x) 是奇函数
- 第 1页 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 咨询电话1 − x 2 + x 2 − 1 ；
（6） f ( x) =
1 − x2 . x+2 −2
例 2、已知 f ( x) ， g ( x) 均为奇函数，且定义域相同. 求证： f ( x) + g ( x) 为奇函数， f ( x) i g ( x) 为偶函数.
D．h2＞h4＞h1
引申：用草图表示从上述四种容器底部匀速流出酒时，高度 h 与时间 t 的函数图象。 （渗透凹凸性） 例 7、若函数 f ( x) = x +
2
a (a ∈ R) ，则下列结论正确的是（ ） x A． ∀a ∈ R ， f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数 w. B． ∀a ∈ R ， f ( x) 在 (0, +∞) 上是减函数 C． ∃a ∈ R ， f ( x) 是偶函数 D． ∃a ∈ R ， f ( x) 是奇函数
函数的奇偶性与反函数
教 师：苗金利
第5讲
一、函数的奇偶性
函数的奇偶性与反函数
1、 奇函数、偶函数的定义 一般地，如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f (− x) = − f ( x) ，那么函数 f ( x) 就叫 做奇函数（odd function） ； 如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( − x) = f ( x) ，那么函数 f ( x) 就叫做偶函数 （even function）. 如果函数 f ( x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x) 具有奇偶性. 注意： （1） 一个函数有奇偶性的必要条件是它的定义域关于原点对称. （2） 函数不一定具有奇偶性. （3） 函数的奇偶性是整个定义域上的性质.（整体性质） 说明：常数函数的奇偶性： （1） f ( x) = c(c ≠ 0) ⇒ 偶函数 （2） f ( x) = 0 ⇒ 奇且偶函数 当心：判定奇偶性时，灵活应用等价形式，如： f ( x) ± f ( − x)， 2、 函数的奇、偶性与函数的图象： 函数 f ( x) 是奇函数 ⇔ 函数图象关于原点对称； 函数 f ( x) 是偶函数 ⇔ 函数图象关于 y 轴对称.
x>0 x=0 x<0
例4
证明：∵ f ( x) =
f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) + 2 2 f ( x) + f (− x) 2 G ( x) = f ( x) − f (− x) 2
则设 F ( x) = 则 F (− x) =
f ( − x ) + f ( x) f ( − x) − f ( x ) f ( x ) − f ( − x) = F ( x) G (− x) = = = −G ( x) 2 2 2 ∴ F ( x) 是偶函数 G ( x) 是奇函数
∴ 结论得证
例5 解：取 x = 0
y∈R
∴ f ( y ) + f (− y ) = 2 f (0) f ( y )
f (0) + f (0) = 2 f 2 (0) ∴ 2 f (0) = 2 f 2 (0)
又取 x = y = 0
∵ f (0) ≠ 0 ∴ f (0) = 1 故 f ( y ) + f (− y ) = 2 f ( y ) 则 f (− y ) = f ( y ) 则 f ( x) 是偶函数
∴ 函数 f ( x) 关于点 (1, 0) 及点 (−1, 0) 对称，
函数 f ( x) 是周期 T = 2[1 − ( −1)] = 4 的周期函数.
∴ f (− x − 1 + 4) = − f ( x − 1 + 4) ， f (− x + 3) = − f ( x + 3) ，
即 f ( x + 3) 是奇函数。故选 D 例题 9、 （1）B 【解析】由原函数 x ≤ 0 可知 AC 错，原函数 y ≥ 0 可知 D 错，选 B.
2 2 ∴ g ( x ) = − g ( − x) = − ⎡ ⎣(− x) + 2(− x) − 1⎤ ⎦ = −x + 2x + 1
x = 0 时， g (0) = − g (0)
⎧ x2 + 2x − 1 ⎪ ∴ g ( x) = ⎨ 0 ⎪− x 2 + 2 x + 1 ⎩
∴ g (0) = 0
例 10、求值域： （1） y = x − 1 − 2 x （2） y =
a + bx (a > b > 0), x ∈ [ −1,1] a − bx x2 − x + 1 （3） y = 2 x + x +1
说明：函数的值域 （1） 函数的值域受定义域和对应法则的限制. （2） 求值域的常见方法：配方法、反函数法、判别式法、换元法、函数的单调性等.
⎧ x2 + 2x （2）解： y = ⎨ 2 ⎩− x + 2 x
∴ x=
x≥0 x<0
由 x2 + 2 x = y 得
( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ( x < 0, y < 0 )
−2 + 4 + 4 y = −1 + 1 + y 2
例 6、四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相 等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左 到右依次为 h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A．h2＞h1＞h4
B．h1＞h2＞h3
C．h3＞h2＞h4
注：也可用特值否定 （4）方法一：作图（见视频） 方法二： ∀ x > 0
−x<0
f ( x) = x 2 + 2 x − 1
f (− x) = −(− x) 2 + 2(− x) + 1 = − x 2 − 2 x + 1
∴ f (− x) = − f ( x)
又∀ x < 0
∴ −x>0
f ( x) = − x 2 + 2 x + 1
∵ f ( − x) = − x + 1 − − x − 1 = x − 1 − x + 1 = − ( x + 1 − x − 1 ) = − f ( x) ∴ f ( x) 为奇函数 （3）解： ∀ x ∈ R f (− x) ≠ f ( x) 且 f (− x) ≠ − f ( x) ∴ f ( x) 为非奇非偶函数