证券价格与布朗运动

t


2
t/
Yi
i 1
❖ 则随着Δ趋于0，和式
t/
Yi
越来越接近正态随机变量，故
i 1
是ln (S(t)/ S(0))一个正态随机变量，并且
E
ln

S (t ) S (0)


t


2
t/
E(Yi )
i1
t 2
❖ 随机变量只有不到0.3%的可能取值在均值3倍标准差以外。
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正态随机变量
❖ 两个相互独立的正态随机变量的和仍然是正态随机变量。 ❖ 若X1，X2为相互独立的随机变量，且X1~N (μ1, σ12) ，
X2~N (μ2, σ22) ，则 ❖ X1+X2 也服从正态分布，且 ❖ E(X1+X2)= E(X1)+E(X2)= μ1 + μ2 ❖ Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2)= σ12+ σ22 ❖ 即X1+X2~N (μ1 + μ2, σ12+ σ22)
❖故
P(| X | a ) P(| X | a)
P(| X | ) P(| X | 1) 0.6826
P(| X | 2 ) P(| X | 2) 0.9544
P(| X | 3 ) P(| X | 3) 0.9974
PZ 0.31965 0.6354
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布朗运动
❖ 1827年英国植物学家罗伯特•布朗（Robert Brown） 首次提出布朗运动来描述散布在液体或气体中微粒的不 规则运动。
❖ 1905年阿尔伯特•爱因斯坦（Albert Einstein）首次 给出了这种运动的解释。


0


P
Z

0.0165
0.0730

PZ 0.226
PZ 0.226 0.5894
❖ 连续两周价格上升的概率为(0.5894)2=0.3474.
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对数正态随机变量
❖ （2）求两周后证券价格高于今天的价格，即求
P
S(2)

S (0)
1

P
S(2)

S
(1)
S (1) S (0)
1


P
ln

S (2) S (1)


ln

S (1) S (0)


0

P Z
0.0330
0.0730 2
PZ 0.31965
❖ 1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就 可以取负值，但这与实际是不符的。
❖ 2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固 定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不 太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与 另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。
❖ 根据标准正态分布的密度函数的对称性我们有
❖ P(Z<-x)= P(Z>x)
❖ 即Φ(-x)=1-Φ(x)
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正态随机变量
❖ 例 一个年级学生的IQ测验成绩服从均值为100，标准 差为14.2的正态分布。问随机抽取一名该年级学生其IQ 成绩大于130的概率是多少？
❖ 解 设X为随机抽出的该年级学生的IQ成绩，则：
机变量， ❖ 则称价格集服从漂移参数为μ ，波动参数为σ的几何布朗
运动。
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几何布朗运动
❖ 如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦μ ， σ的值确 定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与 历史价格无关。
❖ 涉及未来时刻t以后的价格与当前价格比值的所有概率都 与当前价格无关。
❖ 即如果Y为对数正态的，则它可以表示为 ❖ Y=eX ，其中X~N (μ, σ2) ❖ 可以证明
2
E(Y ) e 2
Var(Y ) e22 2 e2 2 e2 2 (e 2 1)
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对数正态随机变量
❖ 例 给定初始时间，设S(n)为某证券在n周后的价格(n>0)， 一个模拟这些价格变化的常用模型是假设价格比率 S(n)/S(n-1)是独立同分布的对数正态随机变量，设参数 μ=0.0165，σ=0.0730，求以下事件的概率：
❖ 布朗运动：价格集合S(y)：0≤y≤+∞，若对任意非负的实 数y，t，随机变量S(y+t)-S(y)独立于时刻y及此前的所有 价格，并且它是一个均值为μt，方差为tσ2的正态随机变 量，则称价格集合为漂移参数为μ ，方差参数为σ2的布朗 运动。
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几何布朗运动
❖ 用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些 缺陷，比如：

t p
t 2 t 1 (1 ) t

2
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几何布朗运动
❖ 现在求方差，由于
❖故
ln


S (t ) S (0)


t

2
t/
Yi
i 1
var

ln

S (t ) S (0)
P{X 40} P{ X 50 40 50}
25
25
P{ X 50 2} 25
(2) 0.0228
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对数正态随机变量
❖ 设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为μ，方差为σ2的 正态分布，则称Y为以μ和σ为参数的对数正态随机变量。
❖ 1918年美国数学家诺伯特•维纳（Norbert Wiener） 发表一系列文章，给出了布朗运动简练的数学定义以及 对它的某些数学性质的说明。
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布朗运动
❖ 1900年，法国数学家Bachelier也独立地介绍了布朗 运动，他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品价 格运动的模型。
为μ，方差为σ2，记 Sn
。 X n
i1 i
❖ 中心极限定理 对足够大的n，Sn近似于均值为n μ ，方差
为nσ的正态随机变量，即对任意x，我们有
P

Sn

n

x

(x)
n
❖ 且随着n的逐步增大，近似程度变得越来越高。
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中心极限定理
❖ 一个n重贝努利试验，假设每次试验只有成功和失败两种 结果，我们用随机变量Xi来表示，若第i次试验成功则 Xi=1，若第i次试验失败则Xi=0。且各次试验成功的概率 皆为p。
❖ 比如一种证券在一个月后增长一倍的概率与该证券现在 的价格是$10还是$25是没有关系的。
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几何布朗运动
❖ 前面我们曾经讲过，若随机变量Y为以为参数的对数正态 随机变量，则
2
E(Y ) e 2
❖ 若已知证券的初始价格为S(0)，时刻t价格的期望值仅依 赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于S(t)我 们有
❖ 设随机变量
X
X n
i1 i
❖ 则X服从参数为n，p的二项分布，且
E[X ] np, var(X ) np(1 p)
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中心极限定理
❖ 例：掷一均匀硬币100次，求出现正面的次数小于40的 概率。
❖ 解：设X为出现正面的次数，则X服从参数n=100，p=1/2 的二项分布。且np=50，np(1-p)=25，故：
t( 2 )
E[S(t)] e 2 S(0)
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几何布朗运动
❖ 用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单位 内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1-p） 下跌d倍，其中
u e , d e ,
p 1 (1 ) 2
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正态随机变量
❖ 例：条件与上例题同，现问从六年级学生中随机抽取4人， 他们的平均IQ分数高于130的概率是多少？
❖ 解：设 X 表示随机抽取四人的平均IQ分数，于是 X ~ N(100,14.22 / 4)
❖故


P{X
130}
P


X 100 14.2
了曲线的陡峭与舒缓程度。
❖ E(X)=μ
❖ Var(X)=σ2
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正态随机变量
❖ 标准正态随机变量： μ=0， σ2=1。
❖ 设为Z一标准正态随机变量，定义在实数域上的函数Φ(x)
称为标准正态分布函数，即
x1
x2
(x) P{Z x}
e 2 dx
2
几何布朗运动
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南开大学数学科学学院 白晓棠
Contents
1
正态随机变量
2
对数正态随机变量
3
布朗运动
4
几何布朗运动
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正态随机变量
❖ 连续性随机变量X都对应一个函数f(x)，称为X的概率密度 函数，它按下面的方式决定与X有关的概率：对任意实数 a<b，曲线f(x)下方x轴上方位于区间[a,b]的部分的面积等 于X取值于a,b之间的概率。即：
❖ P(a≤X≤ b) =a与b之间f(x)与x轴所围成
的面积 ❖ 即右图中阴影区域面积
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正态随机变量
❖ 正态随机变量X的密度函数f(x)由两个参数μ和σ决定，密 度函数的具体形式为：
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
❖ 正态概率密度函数是关于x =μ对称的钟形曲线，参数决定
X ~ N(100,14.22)
❖故
P{X 130} P{ X 100 130 100}
14.2
14.2
P{ X 100 2.113} 14.2
1 (2.113) 0.017
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3σ原则
❖ 例 设X为正态随机变量X~N (μ, σ2)，则
❖ 当Δ取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的 价格集就近似为一个几何布朗运动。
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几何布朗运动
❖ 下面证明当Δ取得越来越小时，上述简单过程趋近于几何 布朗运动。
❖ 首先定义随机变量Yi，若iΔ时的价格上涨，则令Yi=1，否
则令Yi=0.
n
❖ 证券价格在前n次变化过程中上涨的次数为Yi ，下跌的
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几何布朗运动
❖ 几何布朗运动可以克服上述缺点 ❖ 仍用S(y)（0≤y≤+∞）表示y时刻某证券的价格，若对任何
非负实数y ，t， ❖ （1）随机变量S(y+t)/ S(y)独立于y时刻及此前的所有价
格； ❖ （2）ln (S(y+t)/ S(y))是均值为μ t ，方差为tσ2的正态随
n
i 1
次数为 n Yi ，故在时刻nΔ的证券价格S(nΔ)可以表示
为：
Βιβλιοθήκη Baidui 1
n
n
Yi n Yi
S (n) S (0)u i1 d i1
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几何布朗运动
❖ 将上述形式整理一下
n
S
(n)

d
n
S
(0)(
u
Yi ) i1
d
❖ 若记n=t/Δ，则上述方程可以改写为
❖ （1）此后两星期证券价格连续上升； ❖ （2）两周后的证券价格高于今天的价格。
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对数正态随机变量
❖ 解 （1）设Z为标准正态随机变量，求第一周证券价格 上升的概率即求
P

S (1) S (0)

1

P
ln

S (1) S (0)

130 100
14.2

4
4
P{Z 4.23}
1 (4.23) 0.0002
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中心极限定理
❖ 大量独立同分布的随机变量之和所构成的随机变量近似 于一个正态随机变量。
❖ 设X1，X2，…为独立同分布的随机变量，它们的均值皆
t/
S (t )

d
t/
(
u
Yi ) i1
S (0)
d
❖ 两边取对数得

ln
S(t)
S
(0)


t
ln d

ln

u d

t/
Yi
i1

t

2
t/
Yi
i1
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几何布朗运动
❖ 既然

ln
S (t ) S (0)