拉普拉斯变换及其性质

L[e t cos(0t )u (t )] 1 ( j0 ) t ( j0 ) t L (e e )u (t ) 2 1 1 1 ( ) 2 s j0 s j0 s ( s ) 2 0 2
当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
F{ f (t )e
t
} f (t )e


t jt
e
dt f (t )e ( j ) t dt


它是 +j的函数，可以写为
F ( j )
F( +j)的傅里叶反变换为
t 1

第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.5 连续时间LTI系统
§5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F ( j ) f (t )e


j t
dt
1 f (t ) 2



F ( j )e j t d
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存 在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样 即得到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件

f (t )e ( j ) t dt
1 f (t )e F {F ( j )} F ( j )e jt d 2 1 即 f (t ) F ( j )e( j )t d 2 1 j f (t ) F ( s)e st ds s t F ( s) f (t )e dt 2 j j
•收敛域
0 2 s 0 2
•收敛域
Re[s] > 0
10
Re[s] > 0
四．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin(0t )u (t )] 1 ( j0 )t ( j0 ) t L (e e )u (t ) 2 j 1 1 1 ( ) 2 j s j0 s j0
8
四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t
n n
nu(t)
st
1 1 st 1 n n 1 st e s2 t e dt 0 0 s s 0 s n n 1 st n2 t e dt 2 2 1 2 s 0 2 L t L t 2 3 s n n n 1 s s s 所以 L t L t s n3 n 1 3 3 2 6 t 3 L t 2 3 4 L st L t t e d t s s s s 0
(2) lim U (t )e σ t 0
t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(3) lim cos(0t )e σ t 0
t
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4) lim e a t e σ t lim e ( a ) t 0
L[sin(0t )u (t )] 1 j0t -j0t L (e e )u (t ) 2 j 1 1 1 ( ) 2 j s j0 s j0
L[cos(0t )u (t )] 1 j0t L (e e-j0t )u (t ) 2 1 1 1 ( ) 2 s j0 s j0 s 2 s 0 2
15
二．延时性质（时域平移）
1 例： 已知单位斜变信号 t u (t ) 的拉普拉斯变换为 2 s 求 f1 (t ) t t0，f 2 (t ) (t t0 )u (t )，f 3 (t ) t u (t t0 )， f 4 (t ) (t t0 ) u (t t0 )
5.1 拉普拉斯变换 二．拉普拉斯变换的定义
F ( s)

f (t )e s t dt
j
f (t )
2 j j
1
F ( s)e st ds
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。 以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
4
5.1 拉普拉斯变换
F ( s ) F1 ( s ) F1 ( s )e Ts F1 ( s )e 2Ts 1 F ( s) Ts 1 1 e
结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以
例：周期冲击序列 T (t )u (t )的拉氏变换为
1 1 e Ts
5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
三 拉 氏 变 换 的 收 敛 域
•记为：ROC(region of convergence) •实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t ) eσ t 0
t
(σ σ0 )
收敛区
jω
收敛轴
收敛坐标
σ0
O
σ
6
2.指数函数
1 L e α t eα t e st d t e 0 sα (α s ) 0
3.单位冲激信号

(σ α )
L (t ) (t ) e st d t 1
0
0

全 s 域平面收敛
L (t t0 ) (t t0 ) e st d t e st0
1 1 f1 (t ) F1 (s) f2 (t ) F2 (s) (s 1)(s 2) s 1
例：已知
求
பைடு நூலகம்
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
F ( s) L f (t )
1
f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j f (t ) L f (t ) F ( s) e s t d s 2 π j σ j
记作
f (t ) F ( s)， f (t ) 称为原函数，F ( s) 称为象函数
lim f (t )e t 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛
因子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰
13
二．延时特性（时域平移）
若
L f (t ) F ( s) L f (t t0 )u (t t0 ) F (s)e
st0
则
注意：
(1)一定是
f (t t0 )u (t t0 )的形式的信号才能用时移性质 t0 0。 f (t t0 )，f (t )u (t t0 )，f (t t0 )u (t )等
•收敛域
0 ( s ) 2 0 2
•收敛域
Re[ s ] > -
11
Re[ s ] > -
5.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质
延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理
初值定理和终值定理
卷积定理
12
一．线性性质
若 则
L f1 (t ) F1 ( s ), L f 2 (t ) F2 ( s ), K1 , K 2为常数 L K1 f1 (t ) K 2 f 2 (t ) K1F1 ( s ) K 2 F2 ( s )
解：4种信号的波形如图
f1 (t ) t t0
f 2 (t ) (t t 0 )u (t )
的拉普拉斯变换
0
t0
t
0
t0
t
f 3 ( t ) t u (t t 0 )
f 4 (t ) ( t t 0 ) u ( t t 0 )
0
0
t0
t
16
t0
t
二．延时性质（时域平移）
t0 st0 s t0 1 st0 F4 ( s ) e e 2 s s
17
二．延时性质（时域平移）
时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。
f (t ) fT (t )u (t ) f1 (t )u (t ) f1 (t T )u (t T ) f1 (t 2T )u (t 2T )
例
信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
(1)
解:
f (t ) (t )
(2) f (t ) U (t ) (4) f (t ) e atU (t ) a0
(3) f (t ) cos 0tU (t )
(1) lim (t )e σ t 0
t
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
14
二．延时性质（时域平移）
1 f (t ) 0
例：已知
0<t <t0
其余
求
F( s)
解： 因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )
F ( s) L[ f (t )] L[u (t )] L[u (t t0 )] 1 1 st0 1 e (1 e st0 ) s s s
t n st e s

L t t e d t 0
1 st t e s
0

0
e dt
st
1 t de st s 0
9
所以
n! t n n 1 L s
四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
t t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
L u(t ) 1 e d t
st 0

1 st e s
0
1 s
(αs )t
(σ 0)
F ( ) f (t ) e jω t d t
0
考虑到实际信号都是有起因信号
所以
采用
0
系统，相应的单边拉氏变换为
F ( s ) L f (t ) f (t ) e s t d t 0 1 σ j 1 f (t ) L f (t ) F (s) e s t d s 2 π j σ j
只有信号
f 4 (t )
可以用延时性质
1 s t0 1 1 F1 ( s) L t t0 2 t0 2 s s s 1 s t0 F2 ( s) L (t t0 )u (t ) F1 ( s) 2 s 1 st0 F4 ( s) L (t t0 )u (t t0 ) 2 e s F3 ( s ) L tu (t t0 ) L (t t0 )u (t t0 ) t0u (t t0 )