高考《解三角形》试题分析

高考《解三角形》题型分析

陆丰市甲子中学数学教师——胡桢烁

考情分析

（一）目标：要求学生掌握正弦定理、余弦定理及其变形

(二) 难点：要求学生能够在掌握正余弦定理的基础上结合前面的三角函数知识进行

进一步的综合分析。

知识结构

（一） 特定情况下的解三角形

1、正弦定理的运用，以下两种情况一般用正弦定理 （1）已知两角一边， （2）已知两边及一边对角

2、余弦定理的运用，以下两种情况一般用余弦定理 （1）已经三边，

（2）两边及这两条边的夹角

（二）、高考热点：边角关系的转化

（三）利用正弦、余弦定理的变形将边的关系转化成角的关系，将角的关系转化成边的关系。 （四）、利用正弦、余弦定理解决生活中的实际问题。

重点与难点

高考全国卷新课标主要考察学生对正弦定理、余弦定理的熟练程度以及利用三角公式进行恒等变形的能力．考题以化简、求值或判断三角形的形状为主．与以往广东卷以三角函数作为考查重点有所不同，但在考察中，诱导公式，辅助角公式这些重要的公式也是极为重要的，也常常渗透在解三角形中，在高三的复习中也应该强化这些知识。

典型例题：

注：以下题型一律默认所对的边，的内角为C B A ABC c b a ,,,∆ （1） 类型一：将角的关系转化成边的关系的题型：

===∆C B C c b ABC cos ,2,581则中，、例

257

1cos 2cos 542cos ,cos 2,2sin ,2sin cos sin 2sin 2sin sin ,22=

-===⋅===

===B C b c B B b c R

b B R

c C B

B C B C B C ，所以所以代入上式，可得

将所以所以解：因为

)4

sin()2()1(,2,1,32π

+

===∆A a B A c b ABC 求的值

求中，、例

3

2,3,1,222cos ,2sin ,2sin cos sin 2sin 2sin sin ,22

222

22===-+⋅=-+======a b c ac

b c a b a ac b c a B R b B R a A B

B A B A B A 代入解得因为代入上式，可得将所以所以解：因为

分析：这道题是一道较为基础的题目，而且已知边的关系较多，故我们思考的方向是引导学生将角的关系转化成边的关系，这样题目就迎刃而解，注意用到的最关键的知识是正余弦定理的变形的替换，这是解决整道题的关键所在。

对比以上两道题：两道题都有相似之处，用到了一个技巧，就是知道A=2B 之后，两边取正弦第一题只用正弦定理进行代换，第二道又得用上余弦定理的推论。

（2） 类型二：将边的关系转化成角的关系的题型：

()是等腰三角形

所以所以代入解：将的形状判断、若例ABC B C B C B A A C B

A A C A R a C R c ABC

B a A c ∆==-=-===∆=,0sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin 2,sin 2,cos cos 3

4

1tan ,sin cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos sin )sin(sin sin cos sin sin ,sin 2,sin 2,sin 2,sin cos 4π

=

==+=++=++====∠+=B B B B B C C B C B C B B

C C B C B B

C C B A C R c B R b A R a B

B c

C b a ，即即代入解：将求、若已知例

分析：不难发现例3和例4是将边的关系转化成角的关系，可以发现已知条件里面没有给出边的长度关系，所以我们处理的时候化成角的关系，当然还得运用到诱导公式，这是解决的关键。

（3） 类型三：利用三角形的诱导公式，二倍角公式，辅助角公式及两角和差公式，三角形

面积公式解题

的面积

，求且若求角若所对的边的长分别是是斜三角形，内角：已知例题这个重要关系

、利用ABC A A B C c C

C a A c c b a C B A ABC B A C ∆=-+==∆+=2sin 5)sin(sin ,21)2()1(cos 3sin ,,,,,5)sin(sin 1

()4

3

5sin 211,21

1021252cos 5sin 5sin ,cos sin 25cos 2sin cos sin 25sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin 5)sin(sin ,2sin 5)sin(sin 23

)1(2

22222=

==-+=-+===⨯=⋅=-++=-++=-+=

C ab a a a a ab c b a C a

b A B A A A B A A A B A B A B A B A

A B A B A A B C C 所以三角形的面积为解得由余弦定理：即即所以所以）因为（不难求得解：π

的大小。

求角若证明：）

（（且满足的对边分别为的内角、已知例C a c a

b B A A

B A c b a

C B A ABC ,7)2(2)1(cos 22sin )

2sin ,,,,,6==++=+∆[][]a A A B A A

A B A A B A B A A A A B A B A A A A B A A B A B A A A A B A B A A

B A 2b 2sinA,sinB ,sin 2)sin sin 2sin cos cos )sin cos sin sin 2cos )sin cos sin 2sin 2sin cos cos )sin cos sin 2sin 2)sin cos 22sin )

2sin ===-+=+-+++=+++=+++++=++++=+即所以（

即）（（所以）（（所以）（）（（所以）（（

所以）

（（证明： 的最大值

求）若（的值

求且的对边分别为的内角、在例bc a A C B A c b a C B A ABC ,322cos 2sin )1(3

1cos ,,,,,72=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆

9

11cos 22cos 11cos 22)cos(12cos 2sin 222-

=-++=-++-=

+⎪⎭⎫

⎝⎛+A A A C B A C B 解：

=

∠=+==∆A B B b a c b a C B A ABC 则若的对边分别为的内角、在例2cos sin ,2,2,,,,,8 A

B

b A a B B B B B 即可求根据正弦定理，，解：,sin sin ,4242

4sin 2cos sin ===+=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=+ππππ