第三章矩阵分析及矩阵函数

解
因为
dy y y
y T
dX
x1
,
x2
,L
,
xn
故只需求出 y , k 1, 2,L , n即可。 xk
nn
由于y
aij xi x j
aij xi x j
i1 j 1
ik jk
2 ik
aik xi
2akk xk2 , 故
y xk
2 aik xi 2akk xk
ik
n
数，则1
d dX
aT
X
bT
X
daT X
dX
dbT X
dX
;
2
d dX
f
X
aT
X
df X
dX
aT
X
f
X
daT X
dX
;
3
d dX T
Aa X
da X
A dX T
;
4
d dX
aT
X
bX
daT X
dX
bX
dbT X
dX
aX
;
5
例1 设向量X x1 t , x2 t ,L , xn t T 及
对称矩阵At
aij
t
都是可微的，求
nn
二次型X T AX的导数。
例2
设函数矩阵A
t
1
t2 ,
t 0
试计算：1 A' t ，A'' t ，A''' t ；
2 d
dt
At ;3 A1 t ' 。
定义2 设函数矩阵At = aij t mn
2 aik xi
i 1
2
n j 1
akj
x
j
, 从而
dy dX
2 AX。
3.向量函数对向量的微分
定义4 设a1 X , a2 X ,L , am X 对xi i 1, 2,L , n 的偏导数都存在，定义向量函数aT X 对X的导数为
一个n m阶矩阵，它的第i列向量就是ai X 对X的导
a1 X
x1
数,即
daT X
dX
a1 X
x2 M
a1 X
xn
a2 X
x1
a2 X
x2 M
a2 X
xn
L
am X
x1
L
am
X
x2
，
M
M
L
am X
xn
nm
同理，a X 对X T的导数定义为
a1 X
x1
da X
a2
X
dX T
x1 M
am X
x11
f
df dX
x21
M
f xm1
f x12 f x22
M f xm 2
L
f
x1n
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L
f x2n 。
M M
L
f xmn
性质4 设f X ，g X 为矩阵X的
数量函数，如果 df 及 dg 存在，则 dX dX
1
d dX
f
X
g
X
df X
dX
dg X
dX
;
2
d dX
f
X
g
f x2
,L
f , xn
。显然
df dX
T
T
df 。 dX
一般地，若 y f X
f x11, x12 ,L , x1n，x21, x22 ,L , x2n，L ，xm1, xm2 ,L , xmn 对每个xij有偏导数，则定义y f X
对矩阵X
xij
的导数为
mn
f
中的每个元素aij t 在a,b上是可
积的，则称函数矩阵At 在a,b
上可积,且定义
b Atdt a
b a
aij
t
dt
。
mn
例3
设函数矩阵At
=
sin t cos t
求
t At dt,
t2
A
t
dt
＇
。
0
0
cos sin t
t
，
2.数量函数关于矩阵的微分
定义３ 设y f X f x1, x2 ,L , xn
x1
a1 X L
x2
a1 X
xn
a2 X L
x2
a2
X
xn
。
M
M
M
am X L
x2
am X
xn
mn
显然有：1 daT X
dX
da X
dX T
T
,
2
dX dX T
E
dX T 。 dX
性质6 设A为s m阶常数矩阵，f X 为向量X
的数量函数，a X ，b X 为X的m维列向量函
可微，其导数定义如下：
A' t= aij' t ,同样，At的高阶导数定义为：
A'' t=
A' t
'
,L
, An t =
n1
At
'
。
性质1 设函数矩阵At，Bt都可微，则 1设k任意常数，则kAt' kA' t;
2若At与Bt可以相加，则 At Bt' A' t B' t;
3若At与Bt可以相乘，则At Bt' A' t Bt+At B' t。 特别地，若A t 或B t 为常数矩阵A或B，则 ABt' AB' t，At B' A' t B。
性质2 设Au可微的函数矩阵，u f t
是一元可微函数，则
A
f
t
' t
A'u
u
f
'
t
。
性质3 设At及其逆矩阵A1 t都是可微的，则 A1 t' A1 t A' t A1 t。
第三章 矩阵分析及矩阵函数
§3.1 基本概念
§ 3.2 函数矩阵的微分和积分 § 3.3 向量和矩阵的范数 § 3.4 矩阵函数
§3.2 函数矩阵的微分和积分
1.函数矩阵的微分和积分
定义1 设函数矩阵At 中所有元素aij t
在t0点或在某区间内可微，则称函数矩阵
At 在t0点或在某区间内是可微的。若At
m i 1
n j 1
xij 2
,求
dy dX
。
解
由于 f xij
2xij
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
dy
dX
f xij
mn
2 xij
2X。
mn
性质5
设 X
xij
，B
mn
bij
，
nm
A
aij
，则
mm
1 d tr XX T 2X ; dX
对x1, x2 ,L , xn有偏导数，定义y f X
对向量X x1, x2 ,L , xn T 的导数为
T
df dX
f x1
,
f x2
,L
,
f xn
gradf ,
而数量函数y f X 对向量X T x1, x2 ,L , xn
的导数定义为
df dX T
f x1
,
2 d tr BX d tr X T B BT ;
dX
dX
3 d tr XAX T A AT X。 dX
例5 设二次型 y f X
n
X T AX aij xi x j , 其中， i, j 1
X
x1, x2 ,L , xn
T ，A
aij
,
nn
且AT A, 求 dy 。 dX
X
f
X
dg X
dX
g
X
df X
dX
。
例4 设矩阵及其数量函数分别为
x11
X
x21
M
x12 L x1n
x22 L
x2n
,
M M M
xm1 xm2 L xmn
y f X x112 x122 L x1n2 x212
x222 L x2n2 L xm12 xm22 L xmn2